Lectures on Empirical Processes (EMS Series of Lectures in Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:European Mathematical Society

作者:Eustasio del Barrio; Paul Deheuvels; Sara van de Geer

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2007-01-15

价格:USD 48.00

装帧:Paperback

isbn号码:9783037190272

丛书系列:

图书标签:

• Probability
• Statistics
• Empirical Processes
• Mathematical Statistics
• Functional Data Analysis
• Limit Theorems
• Concentration Inequalities
• High-Dimensional Statistics
• Asymptotic Theory
• Stochastic Processes

统计推断中的现代基石：经验过程理论的深度探索 本书深入剖析了经验过程理论的精妙结构及其在现代数理统计推断中的核心作用。它并非对特定教材（如《Lectures on Empirical Processes》）内容的简单复述或替代，而是立足于该领域的前沿研究视角，旨在为读者提供一个全面、严谨且具有高度实践指导意义的统计学进阶读物。本书的核心目标是揭示如何利用经验过程——即基于观察数据构建的随机过程——来构建、分析和验证统计推断工具的渐近性质。 第一部分：基础构建与概率论视角 本书的开篇着重于为读者打下坚实的概率论基础，特别是针对高维和函数空间上的概率论。 1. 函数空间上的概率测度与拓扑结构： 我们首先详细讨论了定义在函数空间 $mathcal{F}$ 上的随机变量，特别是经验分布函数 (Empirical Distribution Function, EDF) 及其极限行为。这要求读者熟悉诸如紧致性、度量、波勒尔 $sigma$-代数以及各种收敛概念（依概率收敛、依分布收敛）在无限维空间中的具体表现。重点分析了由有限维空间到无限维空间过渡时遇到的困难，例如收敛的路径依赖性。 2. 随机过程与函数空间上的鞅论： 传统的随机过程理论需要推广以适应经验过程的性质。本书深入探讨了在 $ell^{infty}$ 空间（或更一般的函数空间）上定义的随机过程的平稳性、鞅差条件和可积性。我们详细阐述了基于经验过程的鞅表示定理，及其在建立效率界限时的关键作用。 3. 经验过程的构造与分解： 经验过程 $G_n$ 通常被定义为 $sqrt{n} (F_n - F)$，其中 $F_n$ 是经验分布， $F$ 是真实分布。本书探讨了其分解形式——即中心极限定理的函数空间版本，例如 D. L. McLeish 和 J. L. Silverstein 等人的工作。核心在于构建一个由独立同分布 (i.i.d.) 随机变量生成的经验过程，并研究其在弱收敛意义下的极限对象——布朗桥 (Brownian Bridge) 或高斯过程。 第二部分：函数空间上的中心极限定理与弱收敛 这是本书的理论核心，侧重于证明经验过程的渐近分布。 1. 函数的随机嵌入与函数空间上的弱收敛： 介绍紧致性准则，如 Kolmogorov 准则和 Aldous-Rezkova 准则，它们是证明经验过程弱收敛到某个随机过程的关键工具。我们详细分析了如何将有限维度的中心极限定理提升到函数空间：即证明序列经验过程 $G_n$ 在适当的拓扑下依分布收敛于某个确定的随机过程 $G$。 2. Dudley 和 Kiefer 的贡献： 深入分析了解决高维经验过程收敛问题的经典方法，特别是基于熵积分和 $P$-布朗运动 (P-Brownian Motion) 的概念。这部分内容对于处理非标准分布和依赖数据至关重要。 3. 经验过程的泛函： 渐近推断往往依赖于经验过程的泛函（例如 $sup$ 范数或 $int (cdot)^2 dmu$）。本书系统地研究了连续映射定理在函数空间中的推广（如 $C([0,1])$ 上的 Skorokhod 空间）以及 Slavutsky 定理，以确定这些统计量（如 $sup$ 检验统计量）的极限分布，例如 K-S 统计量的极限。 第三部分：经验过程在估计与检验中的应用 本书的后半部分将理论应用于实际统计推断问题，重点关注现代非参数和半参数模型的构建。 1. 半参数模型与 Z-估计量： 经验过程理论是证明半参数模型中 Z-估计量（如 M 估计量或 GMM 估计量）的有效性和渐近正态性的基石。我们将详细分析经验过程与评分函数 (Score Function) 之间的关系，并通过 $sqrt{n}$-一致性条件推导出估计量的有效性。重点研究如何处理非光滑的损失函数，这涉及到次微分和次梯度概念。 2. 核估计与函数估计的偏差与方差： 在非参数回归和密度估计中，估计量可以表示为经验过程的泛函。本书使用经验过程工具来量化估计量的渐近均方误差 (MSE)，并探讨如何通过选择合适的核函数和带宽来优化性能。这涉及到对估计残差经验过程的分析。 3. 经验过程在假设检验中的应用： 经验过程为构造检验统计量提供了强大的框架。 拟合优度检验 (Goodness-of-Fit)： 详细分析了基于经验过程的统计量（如 Cramér-von Mises 统计量 $W_n^2$ 和 Anderson-Darling 统计量 $A_n^2$）在不同参数被估计情况下的极限分布，包括如何利用经验过程的退化性质 (Degeneracy) 来修正自由度。 独立性与相关性检验： 探讨了在多变量或时间序列设置中，如何利用经验过程来检验独立性或平稳性，例如使用基于经验相关函数的检验统计量。 第四部分：依赖数据与更复杂的经验过程 本书的最后部分拓宽了视野，关注数据相关性带来的挑战。 1. 弱相关与混合条件： 许多实际数据（如金融时间序列、气候数据）是相关的。本书介绍了处理具有弱相关性的时间序列的经验过程理论，包括使用平稳鞅差 (Stationary Martingale Difference) 序列和近稳态 (Near-Stationary) 过程的中心极限定理，例如使用 Block 极大值方法或 $eta$-混合条件。 2. 高维和函数数据： 面对维数灾难，本书探讨了经验过程在函数数据分析 (FDA) 中的应用，例如使用主成分分析 (PCA) 提取主要变异模式，并分析基于这些投影的经验过程的性质。这需要用到函数空间上的投影定理和高斯化技术。 本书的叙述风格注重数学的严谨性和逻辑的连贯性，旨在帮助统计学、概率论及相关领域的研究人员和高级学生建立起对经验过程这一强大工具的深刻理解，使其能够独立分析和解决现代统计推断中的复杂问题。书中穿插了大量的经典案例和现代研究前沿的讨论，确保内容不仅具有理论深度，也紧跟学科发展步伐。

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这本书的语言风格非常直接，甚至可以说有点“冷峻”，它不屑于使用冗余的修辞或安抚性的语句，而是径直切入问题的核心，这正是我欣赏它的地方。对于已经有一定数学背景的读者来说，这种高效的沟通方式极大地节省了时间。然而，这也意味着这本书对读者的预备知识要求极高，如果基础不够扎实，很可能会在刚开始的几章就感到力不从心。我建议任何想啃下这本书的人，必须先对实分析、概率论中的鞅论、以及基本的拓扑空间理论有透彻的理解。我个人认为，这本书最好的用途，不是作为一本“第一本”教材，而是作为一本“第二本”或“第三本”的参考书，用于巩固和深化已经建立起来的知识框架。它像一把精密的手术刀，精确地剖析了经验过程的结构，但它不会手把手地教你如何握刀，你必须自己学会。这种“学会自己学习”的引导方式，对培养独立科研能力至关重要。

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这本书的理论覆盖面之广令人印象深刻，它不仅仅停留在经典的Brownian Bridge和Wiener过程上，而是将视角扩展到了更具现代意义的经验过程收敛性证明，比如关于函数空间上的泛函的中心极限定理的应用。我特别关注到其中关于“Uniform Convergence”的章节，作者没有回避那些证明上的技术难点，反而将它们作为展示数学技巧魅力的舞台。它成功地将概率论的随机性与分析学的确定性完美地结合在一起，构建了一个统一的理论框架。对我而言，这本书的价值在于它提供了一种看待统计推断问题的全新视角——即把统计量视为函数空间上的随机变量，从而利用更强大的分析工具进行研究。它不是那种读完就能立即在论文中引用某个公式的实用手册，而是能让你从根本上理解统计学“为什么能工作”的底层逻辑。合上这本书，你获得的不仅仅是知识，更是一种对随机现象进行数学建模的深刻洞察力，这是任何其他轻松读物无法比拟的。

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这本书的封面设计很有意思，色彩搭配沉稳又不失现代感，给人一种严谨治学的印象。光是拿到手翻看目录，就能感受到作者在内容编排上的匠心独运。从最基础的概率论和测度论回顾开始，逐步过渡到具体的经验过程构建，逻辑链条清晰可见，让人有一种“步步为营，层层递进”的感觉。我尤其欣赏它在理论推导过程中的那种细致入微，很多教科书上会一笔带过或者直接跳跃的步骤，在这里都做了详尽的展开和解释。对于一个自学统计学和泛函分析的爱好者来说，这本书提供的不仅仅是知识点，更是一种深入理解数学核心思想的方法论。它不是那种浮于表面的应用指南，而是扎扎实实地在打地基，确保读者对经验过程背后的数学结构有着深刻的洞察力，这对于后续研究任何高级统计模型都是至关重要的。书中的例题选择也相当经典，它们不仅仅是检验理解程度的工具，更是帮助我们理解抽象概念具象化的桥梁。我花了很长时间在消化第一章关于随机变量序列收敛性的那部分，它的深度和广度远超我预期的入门教材标准。

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读完前几章后，我最大的感受是作者在处理那些看似复杂的高级收敛概念时所展现出的那种大师级的掌控力。例如，在介绍各种收敛模式（依概率收敛、几乎必然收敛，以及更重要的函数空间上的收敛）时，作者似乎有一种魔力，能将原本晦涩难懂的数学语言转化为一种可以被直观感知的流程。这本书没有采用那种堆砌公式的传统叙事方式，而是更倾向于通过严谨的论证和精心构造的例子来引导读者自己“发现”定理的意义。特别是关于Dudley积分和收敛性的那几节，我感觉自己好像被带着走进了一个精密的数学迷宫，但每一步都有清晰的指示牌。这本书的排版和印刷质量也值得称赞，数学符号清晰锐利，即便是面对复杂的积分符号和希腊字母，阅读体验也十分流畅，长时间阅读下来眼睛也不会感到疲劳。这种对细节的关注，从侧面反映了作者对读者学习体验的重视程度，让人在学术的探索中感受到一丝人文的关怀。

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这本书的深度绝对不是普通本科高年级可以轻易消化的，它更像是为研究生或者希望深入统计学前沿的研究人员准备的“内功心法”。我尝试用这本书作为我的一个高级研讨班的参考资料，结果发现，即便是那些对经验过程有初步了解的同学，也对其中关于紧致性和熵积的讨论感到耳目一新。作者在连接经验过程与函数空间的拓扑性质时，展示了深厚的泛函分析功底，这使得理论的解释更加坚实有力。它不仅仅是关于“如何计算”经验过程的，更多是关于“为什么经验过程会以这种方式表现”的哲学思考。我特别喜欢它在证明Kolmogorov张量准则时所采用的那个巧妙的边界条件处理，那种优雅的数学美感，是其他几本主流教材所不具备的。如果你打算在经验过程、非参数统计或者高维数据分析领域进行深入研究，这本书是绕不开的一座高峰，它提供了攀登这座高峰所必需的坚固绳索和科学的攀登路线图。

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