因式分解.分式//题源初中数学 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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isbn号码:9787543427402

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好的，这里是为一本名为《因式分解与分式》的初中数学教材撰写的一份详细图书简介，内容完全基于对该主题的深入理解，不涉及您指定的原书内容。 --- 图书简介：《代数之梯：因式分解与分式运算精解》 —— 构筑初中代数思维的坚实基石 引言：代数世界的大门 代数，是数学思维的精髓所在，它将具象的算术推向抽象的逻辑殿堂。在这门学科的初级阶段，因式分解与分式运算无疑是承上启下的两大核心支柱。它们不仅是中学代数体系中的重要组成部分，更是高中乃至高等数学学习中不可或缺的先决技能。 本书《代数之梯：因式分解与分式运算精解》旨在为初中阶段的学生提供一个系统、深入且富有启发性的学习框架，带领读者跨越理解的难点，真正掌握这些核心代数工具。我们深知，对许多学生而言，因式分解的“逆向思维”与分式的“通分约分”看似繁琐，实则蕴含着深刻的代数结构美感。本书的编写目标正是引导读者洞察其背后的数学原理，实现从“机械套用公式”到“灵活运用思想”的转变。 第一篇章：因式分解的艺术与逻辑 (The Art and Logic of Factorization) 因式分解，本质上是多项式的“还原”过程，是将一个复杂表达式拆解成若干基本因子乘积的过程。它与多项式乘法是互逆的操作，是解决方程、化简表达式、乃至解析函数图像性质的重要手段。 模块一：基础概念与方法论溯源 本篇章首先建立坚实的理论基础。我们会清晰界定“因子”、“公因式”的概念，并强调因式分解必须确保最终表达式的乘积形式与其原形式完全等价。我们不满足于简单的展示，而是深入剖析每种方法的“适用场景”与“思维路径”。 1. 提取公因式： 这是最基本也是最常用的方法。我们着重探讨如何识别复杂多项式中的最大公因式，包括系数和变量部分的提取，特别是在涉及多个变量或指数较高的情形下的系统化处理步骤。 2. 经典公式法的精深运用： 平方差公式 $left(a^2 - b^2 ight)$、完全平方公式 $left(a^2 pm 2ab + b^2 ight)$ 是因式分解的“黄金法则”。本书将通过大量的范例，展示如何通过“配凑”与“变形”技巧，将看似不符合公式的形式转化为可直接套用的结构。例如，如何识别“隐藏的平方差”，或如何利用完全平方公式来简化四项式。 模块二：进阶分解技巧的深度解析 当基础公式无法直接奏效时，我们需要更精妙的策略。本部分是本书的重点之一，旨在培养学生的“观察力”和“构造力”。 3. 分组分解法： 面对四项、六项等偶数项多项式，分组是关键。我们详细阐述了“两两分组”、“三一分组”以及“奇偶分组”的适用条件和操作逻辑。更重要的是，我们将探讨分组后如何快速发现新的公因式，或如何利用已掌握的公式进行二次分解。 4. 十字相乘法： 这是处理二次三项式 $left(ax^2 + bx + c ight)$ 时效率最高的工具。本书详细拆解了十字相乘法的原理，包括系数的分解与交叉相乘的校验过程。对于 $a eq 1$ 的复杂情形，我们提供了系统化的配对与检验流程图，避免盲目尝试。 5. 拆项与添项法（配方法）： 这是体现数学创造力的环节。当多项式结构复杂，无法直接套用公式时，通过恰当的“拆分中间项”或“添加与相减”技巧，构造出能使用平方差或完全平方公式的结构。我们将展示如何通过分析待分解多项式的特征（如缺少某项或系数关系）来决定拆项的方向。 模块三：综合应用与问题解决 因式分解并非孤立的技能，它是解决更复杂问题的“钥匙”。 解方程： 利用因式分解法求解高次方程（特别是四次方程的降次求解）。 表达式的化简与求值： 在代入特定数值求复杂代数表达式的值时，因式分解往往能极大简化运算量，体现了数学的简洁之美。 与图形的联系： 初步探讨因式分解在解析几何中对抛物线零点（与 $x$ 轴的交点）的确定作用。 第二篇章：分式运算的规则与严谨性 (The Rigor of Rational Expression Operations) 分式，即两个多项式的比值形式，是代数表达式的延伸。它的运算规则与分数运算高度相似，但由于分子、分母都是代数式，必须时刻关注定义域（即分母不为零的限制条件）的约束。 模块一：分式的基本性质与化简 本章首先确立分式运算的“宪法”——分式的基本性质。 1. 分式的基本性质的推导： 我们不仅陈述性质，更会推导其合理性，即分子、分母同乘或同除一个不为零的代数式，分式的值不变。这有助于学生理解为什么在通分或约分时需要特别注意对“零”的排除。 2. 符号的约定与处理： 负号在分式中的位置问题（分子、分母或整体）及其等价转换，是初学者常见的困惑点。本书提供了清晰的指导，确保学生能够规范地处理负号，避免因符号错误导致的运算失误。 3. 最简分式的概念与约分： 约分是化简分式的核心步骤，它依赖于对分子和分母进行因式分解。因此，本章与前一章紧密衔接——只有彻底分解了因子，才能准确地找到公因式进行约分。我们强调约分的标准是：分子和分母互质（即没有除1以外的公共因式）。 模块二：分式的加减乘除——运算的流程化 分式的运算需要遵循严格的顺序和规则，本书将加减乘除的流程进行了系统化梳理。 4. 分式的乘除法： 乘法是“先分解、后相乘”，除法是“先分解、后颠倒相乘”。重点在于强调在进行任何运算前，必须将分子和分母都化为最简因式分解的形式，并进行必要的约分，以减少后续计算的复杂性。 5. 分式的加减法（通分艺术）： 这是分式运算中最具挑战性的部分。通分即找到分子、分母的最小公倍式。本书系统讲解了如何确定“最简公分母”（LCM），特别是当分母涉及负号或非标准顺序排列时，如何进行标准化处理，确保找到的公分母是最简洁的。我们将详细演示通分后的合并、符号处理和最终化简的完整流程。 模块三：含分式方程的应用与限制 6. 分式方程的解法与增根的辨析： 分式方程的解法核心在于“去分母”，即将方程两边同乘以所有分母的最小公倍式，转化为整式方程求解。然而，关键在于验根。本书详细分析了增根产生的原理（即使原分母为零的解），并提供了系统性的验根步骤，确保解的有效性。 结语：迈向更高层次的代数思维 《代数之梯：因式分解与分式运算精解》不仅仅是一本习题集或公式汇编。我们致力于通过严谨的逻辑推导、精选的例题分析和多层次的练习设计，培养读者对代数结构本质的深刻理解。掌握了因式分解的灵活多变和分式运算的严谨精确，学生便能自信地迎接更复杂的二次函数、解析几何乃至微积分的挑战，真正体会代数思维的魅力与力量。 --- 本书特色： 方法溯源： 每种技巧都追溯其数学原理，而非孤立记忆。 步骤可视化： 复杂运算设计了清晰的操作流程图。 易错点警示： 针对学生易犯的符号错误和增根问题，设置专项提示。 深度衔接： 强调因式分解是分式运算的基础，体现知识间的内在联系。

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读完这本书后，我最大的感受就是，它成功地将那些原本被视为枯燥、纯粹的数学技巧，赋予了生动的“应用场景”和“思维工具”的意义。以前我对因式分解这个概念的理解，仅仅停留在“反向展开”的层面，觉得它就是一种为了解方程而存在的机械操作。但这本书似乎在告诉我，分解的本质是一种“结构简化”的能力，它教会我如何在复杂的问题中，快速识别出隐藏的共同因子，从而剥茧抽丝。比如在处理一些看似复杂的有理式运算时，如果能迅速地将分子和分母进行有效的因式分解，整个运算过程就变得异常简洁高效。这种思维方式的转变，远比记住几个公式本身要宝贵得多，它不仅提升了我的运算速度，更重要的是，培养了一种“化繁为简”的解决问题的哲学，这在处理其他学科的难题时也同样适用。

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这本书在理论深度上的探讨，也远超出了普通初中教材的范畴，非常适合那些有志于在数学上更进一步的学生。它不仅仅停留在“如何分解”的技巧层面，还巧妙地引入了与“根与系数的关系”之间的微妙联系。例如，在讲解十字相乘法时，作者并没有简单地告诉我们“交叉相乘再相加”的步骤，而是深入解释了为什么这个操作实际上是在寻找使得二次三项式等于零的两个根，并用 Vieta's formulas 的思想进行侧面印证。这种跨越章节的知识点连接，极大地拓宽了我的视野，让我明白了数学知识体系内部的紧密关联性。这本书真正做到了，在教授基础技能的同时，不忘播下更深层次数学思维的种子，这让阅读体验从“应试”转向了“求知”，充满了探索的乐趣。

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这本书的例题设计简直是鬼斧神工般的精妙。它不是那种堆砌大量重复、简单练习题目的类型，而是每一组例题都像是一个精心设计的“关卡”，难度梯度设置得极为科学。第一类题让你巩固最基础的提取公因式；紧接着的第二类，会立刻引入分组分解的概念，迫使你尝试不同的组合方式；而到了第三类，往往会出现需要先进行一些“变形”或者“凑项”才能分解的“陷阱题”，这些题目有效地考察了读者对概念灵活运用的程度。我特别喜欢它在每道典型例题下方，用非常简洁的几句话点明了这道题目的核心考点和解题的关键步骤，这种“微总结”的设计，让我在复习时不需要翻阅厚厚的笔记，就能快速抓住要点，极大地提高了我的复习效率，感觉就像拥有了一个私人定制的、时刻待命的辅导老师。

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这本书的逻辑推进速度和深度控制得极其精准，简直是为我量身定做的学习材料。我之前学代数时，总是在一些基础的乘法公式上绕不清楚，尤其是涉及到负数和多项式的混合运算，总感觉自己像是在走迷宫。然而，这本书在讲解多项式乘法时，用了一种非常直观的“面积模型”来辅助理解，把抽象的代数运算具象化了，那感觉就像是给我的思维装上了一副清晰的导航系统。更让我惊喜的是，它并没有止步于最基本的分配律，而是迅速过渡到了更高级的，比如通过配方法来理解完全平方公式的本质，并且清晰地解释了为什么某些情况下需要“凑项”或者“补项”，这种层层递进的结构，让我在不知不觉中，把那些原本让我头疼的运算细节都融会贯通了，现在做题时那种犹豫和不确定感几乎消失不见了，取而代之的是一种对数学结构清晰的把握感。

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这本书的装帧设计实在是太吸引人了，封面色彩搭配得很有艺术感，那种深邃的蓝配上跳跃的黄，让人一眼看上去就觉得内容会非常专业、有深度。内页纸张的质感也处理得很好，摸上去很舒服，长时间阅读也不会觉得眼睛疲劳，这对于我们这些需要反复研读数学概念的人来说太重要了。而且，排版布局简直是教科书级别的典范，公式的呈现清晰明了，关键步骤的标注也做得恰到好处，不像有些资料那样把公式挤在一起，让人看了就头疼。我特别欣赏它在概念引入部分的处理方式，没有直接抛出复杂的定理，而是通过一系列生活化的例子或者几何图形的直观展示，引导读者自己去发现规律，这种“授人以渔”的教学理念，真的让我这个数学基础不太扎实的读者都感到豁然开朗，仿佛自己真的参与了数学家们当年发现这些原理的过程。

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