Theory and Problems of Matrices pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Mcgraw-Hill

作者:Jr. Frank Ayres

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1967-06

价格:USD 11.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780070026568

丛书系列:

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《矩阵理论与解题实践》 本书旨在为广大读者，特别是高等院校数学、物理、工程、计算机科学以及经济学等领域的学生和研究人员，提供一套系统、详实且富有实践指导的矩阵理论学习资源。本书内容紧密围绕矩阵的定义、性质、运算及其在解决实际问题中的应用展开，力求在理论深度与解题技巧之间取得平衡，帮助读者构建扎实的矩阵理论基础，并熟练掌握各类矩阵问题的分析与求解方法。 第一部分：矩阵基础概念与运算 本部分将从最基础的定义入手，详细阐述矩阵的构成要素，包括行、列、元素、阶数等。我们将介绍各种特殊矩阵的类型，如零矩阵、单位矩阵、对角矩阵、上（下）三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵、正交矩阵、幂等矩阵、可逆矩阵等，并深入探讨它们的定义、性质以及在不同场景下的意义。 矩阵的四则运算是矩阵理论的基石。本书将详细讲解矩阵的加法、减法（包括条件）、数乘、乘法（强调矩阵乘法不满足交换律，并深入分析其维度要求和几何意义）。此外，我们还将介绍矩阵的转置运算，详述转置矩阵的性质，以及其与矩阵加法、乘法运算的相互关系。 第二部分：矩阵的行列式与逆矩阵 行列式作为矩阵的一个重要数值特征，在判断矩阵可逆性、求解线性方程组等方面扮演着关键角色。本书将系统介绍行列式的计算方法，包括代数余子式展开法（按行或按列展开）、利用行（列）变换化为三角矩阵求行列式的方法，以及特殊情况下的行列式计算技巧。我们将深入探讨行列式的各种性质，如行列式按行（列）展开的性质、行列式与行（列）变换的关系、行列式乘积的性质等。 逆矩阵是可逆矩阵独有的性质，是解决线性方程组、研究矩阵方程的重要工具。本书将详细讲解求解逆矩阵的几种主要方法，包括伴随矩阵法和初等行（列）变换法。我们将深入分析逆矩阵的定义、存在条件（与行列式非零的关系），以及逆矩阵的性质，如逆矩阵的唯一性、乘积的逆、转置矩阵的逆等。 第三部分：矩阵方程与线性方程组 矩阵是描述和解决线性方程组的强大工具。本部分将系统介绍如何利用矩阵的语言来表示线性方程组，并深入探讨线性方程组的解的存在性与唯一性问题，这与系数矩阵的秩密切相关。 我们将详细介绍求解齐次线性方程组和非齐次线性方程组的多种方法。对于齐次线性方程组，我们将重点讲解利用高斯消元法（或称行初等变换）求解基础解系和通解，并探讨其解空间的维度。对于非齐次线性方程组，我们将介绍如何通过增广矩阵的秩与系数矩阵的秩的关系来判断解的存在性，并利用高斯消元法求得特解和通解。 此外，本书还将深入讲解矩阵方程的求解，包括形如 $AX=B$、$XA=B$、$AXB=C$ 等基本形式的矩阵方程，以及如何利用逆矩阵或矩阵的性质来推导和求解这些方程。 第四部分：矩阵的秩与特征值、特征向量 矩阵的秩是一个衡量矩阵“有效信息”多少的重要概念，它与线性方程组的解、向量空间的维度等有着密切联系。本书将详细介绍矩阵秩的定义，并讲解计算矩阵秩的常用方法，如通过行初等变换将矩阵化为行阶梯形矩阵或简化行阶梯形矩阵来确定秩，以及利用子式的概念来定义秩。我们将深入探讨矩阵秩的性质，包括秩与矩阵维度、子式、线性无关行（列）向量个数之间的关系。 特征值与特征向量是研究矩阵线性变换性质的核心概念。本书将严谨地定义特征值和特征向量，并提供详细的计算方法。我们将引导读者通过求解特征方程（即 $|A - lambda I| = 0$）来求得特征值，再将特征值代回特征方程组来求解对应的特征向量。本书还将深入探讨特征值与特征向量的性质，例如实对称矩阵的特征值必为实数，且对应不同特征值的特征向量线性无关；相似矩阵具有相同的特征值；矩阵的迹等于其特征值之和；矩阵的行列式等于其特征值之积等。 第五部分：矩阵的相似对角化与应用 当一个矩阵可以被相似地转化为一个对角矩阵时，其性质将变得非常容易分析。本书将详细讲解相似对角化的条件，即一个 $n imes n$ 的矩阵 $A$ 能够相似对角化，当且仅当它有 $n$ 个线性无关的特征向量。我们将推导相似对角化的过程，即找到一个可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = D$（其中 $D$ 是对角矩阵），并分析对角矩阵 $D$ 的元素与原矩阵 $A$ 的特征值之间的关系，以及矩阵 $P$ 的列向量与 $A$ 的特征向量之间的关系。 相似对角化在多个领域具有广泛的应用。本书将通过具体例子展示如何利用相似对角化来简化矩阵的幂运算，从而高效地计算高次幂矩阵；如何将其应用于求解线性递推关系，例如斐波那契数列的计算；以及在二次型分析、微小振动等问题中的应用。 第六部分：特殊矩阵与高级主题（选讲） 除了上述基础理论，本书还将对一些特殊的矩阵类型进行更深入的探讨，并引入一些高级概念。例如，我们将介绍奇异值分解（SVD）的基本思想和意义，它在降维、数据压缩、图像处理等现代应用中扮演着极其重要的角色。我们还将可能涉及一些关于矩阵函数的概念，以及更广泛的线性代数理论中的进阶主题，以期为读者的进一步学习和研究奠定基础。 解题实践与案例分析 贯穿全书的，是大量的例题和习题。每讲完一个重要概念或方法，都会配以精心设计的例题，详细解析解题思路、步骤和技巧。例题的难度涵盖从基础到综合，旨在帮助读者理解理论知识如何应用于实际问题。 本书的习题设计同样丰富多样，包括概念检验题、计算题、证明题以及应用题。习题的答案部分提供了详细的解答过程，方便读者对照检查、反思错误，并从中学习不同的解题策略。对于一些具有挑战性的问题，我们还会提供解题提示或关键思路。 本书的特点 系统性强： 内容由浅入深，逻辑清晰，覆盖矩阵理论的核心知识点。 理论与实践结合： 既有严谨的数学推导，又辅以大量的例题和习题，强调实际应用。 讲解详实： 对每个概念的定义、性质、定理的证明都力求清晰易懂，对解题过程的分析细致入微。 普适性高： 适合作为数学、物理、工程、计算机科学、经济学等专业的教材或参考书。 强调数学思想： 不仅传授解题技巧，更注重引导读者理解矩阵理论背后的数学思想和方法。 本书的出版，希望能够成为广大读者学习矩阵理论的得力助手，激发读者对数学的兴趣，并帮助他们在各自的领域中更好地运用矩阵工具解决实际问题。

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这本书的叙事风格非常独特，它没有采用那种枯燥乏味的教科书腔调，而是带有一种老派数学家特有的严谨与洞察力。作者在讲解过程中，时不时会穿插一些历史典故或理论诞生的背景，这使得原本抽象的数学概念变得有血有肉，极大地激发了我的学习热情。例如，他对高斯消元法优劣性的历史性评价，让我对这个看似简单的操作有了全新的认识。不过，这种“娓娓道来”的风格，在某些需要快速掌握核心要点的章节中，显得有些冗长。有时我希望能有一个更精炼的“要点总结”部分，让我能迅速抓住本节的精华，然后再回头去细细品味作者的深邃论述。总体而言，它更像是一部数学思想的漫谈录，而非纯粹的速成手册。

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这本书在内容深度上的挖掘非常到位，它不仅仅停留在对基础概念的简单介绍，而是深入到了矩阵理论的诸多前沿和复杂应用场景。我特别欣赏作者在阐述特征值分解和奇异值分解（SVD）时的那种层次感，从几何直观到代数推导，再到实际工程中的应用实例，逻辑链条异常清晰。然而，有一个地方让我感到有些困惑：在讨论某些高级主题，比如矩阵的函数理论时，作者似乎默认读者已经完全掌握了复变函数的基础知识。对于那些数学背景略有欠缺但对应用感兴趣的读者，过渡显得有些突兀，可能需要额外查阅其他参考资料来弥补知识的鸿沟。如果能在这些地方增加一些更详尽的背景回顾或者脚注提示，这本书的普适性会大大增强。

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我花了大量时间研究了书中的习题部分，这是衡量一本数学教材优劣的关键指标。这套习题的难度梯度设计得非常巧妙，从基础的计算验证，到需要深思熟虑的证明题，再到一些启发性的开放式问题，种类齐全，覆盖面广。特别是那些“问题与分析”类的题目，它们不再是简单的公式套用，而是真正考验你对矩阵空间结构理解深度的试金石。但我发现，与习题配套的解答和详细步骤相对缺乏。虽然这有利于鼓励读者独立思考，但对于那些在解题过程中卡住，急需确认思路是否正确的学习者来说，这是一个不小的挑战。一本优秀的习题集，若能提供详尽的解题思路甚至是不同解法的探讨，那才算得上是真正的大师之作。

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这本书的装帧设计着实吸引了我，封面采用了沉稳的深蓝色调，搭配简洁的白色和金色的字体，透露出一种严谨而经典的学术气息。内页的纸张质量也相当不错，触感细腻，即便长时间阅读也不会感到刺眼。不过，在初次翻阅时，我发现它的排版略显拥挤，尤其是公式和定理的密集排列，对于初学者来说，可能会在视觉上造成一定的压力。我希望能有更多的留白空间，让复杂的数学结构能够更好地呼吸，同时也方便读者在旁边做笔记和批注。此外，目录的设计虽然详尽，但如果能增加一个主题索引，对需要快速查找特定概念的读者来说，会更加方便。总的来说，作为一本工具书，它的外观和手感是令人满意的，但细节处的排版优化能让阅读体验更上一层楼。

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我对书中涉及的数值稳定性分析部分非常感兴趣，这部分内容是理论联系实际的桥梁。作者对条件数、迭代收敛性和误差传播的讨论，展现了其深厚的数值分析功底。他没有回避矩阵计算中固有的不精确性，而是直面这些挑战，并提供了切实可行的稳定化策略。然而，在涉及现代计算工具的应用方面，我感觉略显不足。例如，对于如何利用MATLAB或Python中的特定库（如NumPy或SciPy）来高效、稳定地实现书中所述的算法，书中提及甚少。如果能在每一章的末尾，增加一小节关于“计算实践”的内容，指导读者如何将这些精妙的理论转化为可运行的代码，那这本书的实用价值和对现代工程领域的指导意义，将得到质的飞跃。

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