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深入理解代数与几何的交汇点：解析几何导论 本书简介 《解析几何导论》旨在为读者提供一个全面而深入的解析几何基础，这是一门连接代数与几何的桥梁学科，是高等数学乃至更深层次科学研究中不可或缺的基石。本书不仅严格遵循数学的逻辑结构，更注重培养读者运用代数工具来描述和分析几何对象的能力，并反之亦然。我们相信，通过对解析几何的精深学习，读者将能建立起更直观、更具洞察力的空间想象力。 第一部分：平面上的代数与几何重逢 本书的开篇聚焦于二维笛卡尔坐标系，为读者打下坚实的基础。我们从坐标系统的建立入手，详细阐述了点的位置如何通过有序实数对来唯一确定，这是连接几何图形与代数方程的第一个关键步骤。 直线的几何与代数表述 我们深入探讨了直线的各种代数形式：点斜式、两点式、斜截式以及一般式。每一种形式的推导都伴随着清晰的几何意义解释。重点分析了斜率的概念，它不仅代表了直线的倾斜程度，更在物理学和工程学中扮演着速率或变化率的角色。本书不仅计算两直线是否平行或垂直，更通过其法向量和方向向量的性质，引入了更抽象的线性代数思想的萌芽。 圆锥曲线的优雅统一 圆锥曲线——圆、椭圆、抛物线和双曲线——是解析几何的灵魂所在。本书采用统一的几何定义——到焦点的距离与到准线的距离之比（离心率 $e$）——来系统地导出它们的标准方程。 圆： 作为离心率为零的特殊椭圆，我们详细分析了圆心和半径的确定方法，并讨论了圆的标准方程和一般方程之间的转换。 椭圆： 重点解析了长轴、短轴、焦点和离心率对椭圆形状的影响。通过参数方程的引入，我们展示了如何描述椭圆上的动态点。 抛物线： 作为离心率为一时最基础的曲线，我们详尽讨论了开口方向、顶点和焦点的定位，这对于理解光线反射和卫星轨道至关重要。 双曲线： 分析了其渐近线如何限制曲线的形态，以及实轴、虚轴与焦点之间的精确关系。 在讨论完标准方程后，本书进入到一个关键的环节：一般二次方程 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ 的几何解释。我们利用判别式 $B^2 - 4AC$ 来区分曲线的类型，并使用旋转和平移的技巧（配方法和坐标轴旋转公式）来消除交叉项 $Bxy$，从而将复杂曲线简化为标准形式。这一过程要求读者熟练掌握三角函数知识，特别是旋转角度的计算。 第二部分：三维空间的扩展与向量的引入 解析几何的威力在三维空间中得到了极大的释放。本书将二维的代数结构自然地扩展到三维笛卡尔坐标系 $(x, y, z)$ 中。 三维空间中的点、距离与方程 我们首先确立了三维坐标系，并推导出任意两点间的距离公式。随后，本书详细分析了三维空间中的基本几何元素： 1. 平面方程： 重点讲解了平面的一般方程 $Ax + By + Cz + D = 0$ 中系数 $(A, B, C)$ 作为平面法向量的几何意义。通过点法式，读者可以直观理解法向量如何“塑造”平面。 2. 空间直线方程： 直线在三维空间中需要由两个平面的交线来定义，因此我们介绍了直线的点向式（利用方向向量）和两点式，并重点讲解了如何将直线表示为两个线性方程的交集。 向量代数：连接几何与代数的强大工具 为了更有效地处理三维空间中的方向和投影问题，本书系统地引入了向量代数。 向量的定义与运算： 向量的加减法、标量乘法、分量表示法。 点积（数量积）： 点积不仅用于计算两个向量的夹角，更重要的是，它为正射影提供了代数手段。我们展示了如何用点积来计算一个向量在另一个向量方向上的投影长度。 叉积（向量积）： 叉积的独特之处在于其结果仍是一个向量，且该向量垂直于原始的两个向量所构成的平面。本书详细讨论了叉积的几何意义——其模长等于由两个向量构成的平行四边形的面积，这在计算力矩和磁场强度等物理量时至关重要。 通过向量的工具，空间中两条直线之间的夹角、直线与平面之间的夹角，乃至两个平面之间的夹角，都可以通过它们的法向量或方向向量的点积或叉积简洁地计算出来。 第三部分：曲面与高维几何的初步探索 本书的最后部分将视野投向更广阔的空间，介绍如何在三维空间中表示和分析曲面。 二次曲面：三维空间中的圆锥曲线泛化 与二维的圆锥曲线类似，三维空间中的二次曲面也由二次方程表示。我们分类讨论了最常见的几种曲面： 1. 球面： 基于三维距离公式，推导球面的标准方程，并分析其球心和半径。 2. 椭球面： 解释了在三个坐标轴上不同半轴长度如何决定椭球的形状，以及如何通过截面来分析其内部结构。 3. 抛物面（单曲/双曲）： 分析了抛物面（如抛物面天线）的开口方向，以及双曲抛物面（如鞍形曲面）的特点。 4. 椭圆柱面、双曲柱面与圆锥面： 讨论了这些曲面如何通过“拉伸”二维曲线得到的，强调了当方程中缺少某一变量时所暗示的几何含义（即沿该轴方向的平移不变性）。 截面分析法 为了理解复杂的二次曲面，本书强调了截面分析法。通过令 $x=k$, $y=k$, 或 $z=k$（其中 $k$ 为常数），我们可以观察曲面在平行于坐标平面的平面上的“切片”，从而将复杂的三维问题转化为易于理解的二维解析几何问题。 总结 《解析几何导论》致力于提供一个严谨、直观且富有应用潜力的解析几何知识体系。它要求读者不仅要掌握代数运算，更要培养对图形本质的深刻理解。通过对坐标系、曲线、曲面以及向量代数的系统学习，读者将为未来在微积分、线性代数、微分几何、物理学和工程制图等领域中遇到的空间问题做好充分的准备。本书的最终目标是使读者能够自信地在代数语言中构建模型，并在几何直觉中验证结果。

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我曾经对微积分充满了畏惧，觉得它是一个只属于少数天才的领域。然而，《Calculus With Analytic Geometry》这本书彻底改变了我的看法。作者用一种非常平易近人的语言，将微积分的精髓娓娓道来。我最喜欢的一点是，书中并没有过分强调数学的严谨性，而是将重点放在了概念的理解和直观的认识上。例如，在解释导数时，作者并没有直接给出复杂的定义，而是通过物理上的速度变化来引入，让我能够轻松地理解“变化率”的概念。 解析几何部分更是给了我一个全新的视角。我之前只是零散地学习过一些几何知识，而这本书将代数和几何巧妙地结合起来，让我看到了它们之间的深刻联系。我开始能够通过代数方程来描绘和理解各种几何图形，比如直线、圆、抛物线等等。书中关于曲线的逼近和切线的讨论，更是让我看到了微积分在分析几何图形方面的强大能力。我从来没有想过，原来如此抽象的数学概念，可以被如此清晰地呈现出来，并且如此富有实际意义。这本书让我对学习数学充满了信心，也让我开始期待更深入的探索。

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这本书简直是一场数学的冒险，让我沉浸在无穷的探索之中。我一直对微积分这个领域感到好奇，但又害怕它深奥难懂。然而，当我翻开《Calculus With Analytic Geometry》的那一刻，我的顾虑就烟消云散了。作者用一种非常直观和生动的方式，将抽象的数学概念具象化，仿佛在我眼前搭建了一座座通往理解的桥梁。我特别喜欢它在解释导数和积分时使用的类比，例如将导数比作瞬时速度的变化率，将积分比作累积的面积。这些生动形象的比喻，让原本枯燥的公式变得鲜活起来，也让我更容易抓住核心思想。 书中的例题设计得非常巧妙，不仅覆盖了各种基本题型，还引入了一些需要思考和联想的进阶问题。我喜欢它不直接给出答案，而是引导我一步步分析，让我自己去发现解题思路。这种“授人以鱼不如授人以渔”的教学方式，让我受益匪浅。每当我成功解决一道难题时，那种成就感是无与伦比的。而且，书中的图形和图表也非常精美，清晰地展示了函数的性质和几何意义，帮助我更好地理解那些复杂的曲线和曲面。解析几何的部分更是给我打开了新的视野，我开始看到代数和几何是如何在微积分的世界里完美融合的，它们相辅相成，共同描绘出数学的壮丽图景。

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初次接触《Calculus With Analytic Geometry》，我的期待值并没有很高，毕竟市面上的微积分书籍琳琅满目，大多都过于理论化，让人望而却步。但这本书却给了我意外的惊喜。它并没有一上来就抛出大量的定理和证明，而是从一些非常基础且贴近生活的例子入手，循序渐进地引导读者进入微积分的世界。我尤其欣赏作者在介绍极限概念时所做的铺垫，通过一些简单的数列和函数的趋近过程，让我对“无限”有了更直观的感受，这对于理解后续的导数和积分至关重要。 书中的语言风格非常平实，没有太多华丽的辞藻，但却精准地传达了数学的思想。它更像是一位耐心的老师，在你遇到困难时，会用最简单明了的方式为你解惑。我发现，当我遇到难以理解的公式时，翻阅书中的插图和图示，总能找到新的思路。这些图示不仅仅是装饰，更是理解数学概念的钥匙。它让我意识到，微积分并非是抽象的符号游戏，而是描述现实世界运行规律的强大工具。解析几何的部分也为我提供了理解更高阶微积分概念的基石，我开始能够将代数方程与几何图形联系起来，理解它们之间的内在联系。

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《Calculus With Analytic Geometry》这本书，与其说是一本教材，不如说是一本引领我走进数学殿堂的向导。它没有复杂的术语堆砌，也没有令人望而生畏的数学符号。相反，它以一种非常友好的方式，向我展示了微积分的魅力。我特别喜欢书中对“面积”和“体积”的计算过程，通过积分，原本难以度量的区域变得触手可及。作者巧妙地运用了“分割”和“累加”的思想，将复杂的计算化繁为简，让我深刻理解了积分的本质。 解析几何的部分更是让我的思维得到了极大的拓展。我开始能够用代数的方式来描述几何图形，用几何的视角来理解代数方程。书中关于直线、圆、椭圆等基本图形的解析，为我理解更复杂的函数图形打下了坚实的基础。我尤其佩服作者在解释多变量函数时，如何将三维空间的几何图形与代数方程联系起来，这让我对函数有了更立体、更全面的认识。这本书没有给我带来压力，反而激起了我对数学的浓厚兴趣。它让我明白，微积分并非只能存在于书本中，而是渗透在我们生活的方方面面。

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坦白说，我购买《Calculus With Analytic Geometry》时，是抱着一种“试试看”的心态，因为我对微积分的印象停留在高中时期的模糊概念，总觉得它离我遥不可及。然而，这本书真的颠覆了我对微积分的认知。它并没有刻意去强调数学的严谨性，而是更侧重于概念的理解和应用。我尤其喜欢书中对“变化”这一核心概念的反复强调，通过对瞬时变化率和累积变化的深入探讨，让我逐渐认识到微积分的强大之处。 书中的案例分析非常丰富，从物理学中的速度与加速度，到经济学中的边际成本与总成本，都得到了生动的诠释。这让我切实感受到微积分并非是束之高阁的理论，而是能够解决实际问题的利器。解析几何的部分为我搭建了一个几何语言的框架，让我能够更直观地理解函数的图形，以及它们是如何通过代数方程来描述的。作者在处理复杂曲线和曲面时，运用了大量的可视化技术，这对于我这样视觉型学习者来说，无疑是一场及时雨。我甚至觉得，在某些时刻，这本书比老师讲得还要透彻，因为它给了我足够的空间去独立思考和消化。

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不赖，问题和解说算是清晰明了

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