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出版者:Prentice Hall

作者:Brian F. Goetz

出品人:

页数:360

译者:

出版时间:2010-3-21

价格:USD 36.67

装帧:Paperback

isbn号码:9780132296137

丛书系列:

图书标签:

• Basic Mathematics
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深入解析高等代数与微积分核心概念：一本面向初学者的理论与实践指南 本书旨在为那些初次接触高等数学核心领域的学习者提供一个坚实的基础。我们摒弃了传统教材中常见的繁复和晦涩的语言，力求用清晰、直观的方式阐述高等代数和微积分这两个数学分支的基石。本书的结构经过精心设计，确保读者在理解抽象概念的同时，能够迅速将其应用于实际问题解决之中。 第一部分：代数结构的奠基——从集合到群 本部分聚焦于数学的语言——集合论，并以此为基础，逐步构建起抽象代数的核心框架。我们深知，对于许多初学者而言，“抽象”一词常常意味着难以捉摸，因此，我们采用了大量的具体例子和几何直观来辅助理解。 第一章：集合、关系与函数 我们将从最基础的集合论概念入手，包括集合的定义、运算（并、交、差、补集）以及德摩根定律。重点在于理解集合之间的关系：等价关系、偏序关系。我们花了大量篇幅阐述函数的概念，包括函数的性质（单射、满射、双射），以及函数的复合与反函数。特别地，我们将使用范图（Venn Diagrams）和箭头图（Arrow Diagrams）来可视化这些抽象操作，帮助读者建立直观的图像。 第二章：整数环与域的初步探索 在这一章中，我们将进入数系的基础。我们不会止步于对自然数和整数的简单回顾，而是深入探讨模运算（Modular Arithmetic）。这是连接基础算术与更高级代数结构的关键桥梁。我们将详细解析同余关系，以及它如何构成整数环 $mathbb{Z}$ 上的等价类。 关键概念解析： 贝祖等式（Bézout's Identity）及其在求解线性丢番图方程中的应用。 实践导向： 如何使用欧几里得算法高效求最大公约数（GCD），以及如何利用扩展欧几里得算法求模逆元。这些工具是密码学和数论的基石。 第三章：群论的引入——对称性的数学语言 群（Group）是抽象代数中最基础也是最重要的结构。我们采用一种自下而上的方式介绍群的公理体系（封闭性、结合律、单位元、逆元）。 实例驱动学习： 我们将大量使用对称群 $S_n$（例如，旋转一个三角形或正方形）和二面体群 $D_n$ 作为实例，让读者直观感受到这些抽象结构是如何描述现实世界中的对称性的。 子群与陪集： 拉格朗日定理的证明被分解为易于理解的步骤，重点在于理解陪集（Cosets）的概念，它们是划分群结构的基本工具。 同态与同构： 我们区分了结构保持映射（同态）与结构完全一致的映射（同构）。理解同构的重要性在于，它允许我们将一个复杂的结构映射到一个我们已经熟悉或更易于处理的结构上进行分析。 第二部分：连续性的核心——微积分的理论框架 本部分将微积分从单纯的“求导和积分”提升到严谨的数学分析层面，强调极限、连续性和收敛性的概念。 第四章：极限与连续性——精确的收敛定义 对于微积分初学者，最常遇到的挑战是如何准确定义“无限接近”。我们用 $epsilon-delta$ 语言对极限进行了严谨的阐述，并辅以大量的图形示例来解释其几何意义。 单调有界定理： 这个定理是构造实数系的重要支柱，我们将探讨它如何保证数列的极限存在，进而为后续的级数收敛奠定基础。 连续性的深入理解： 连续函数的性质，特别是介值定理（Intermediate Value Theorem）和极值定理（Extreme Value Theorem）。这些定理不仅是理论工具，更是保证优化问题（如求最大值和最小值）有解的关键。 第五章：导数的理论基础与应用 虽然导数的计算规则相对直接，但理解其背后的“瞬时变化率”的严谨定义至关重要。 平均变化率到瞬时变化率的过渡： 我们将使用割线的斜率趋近于切线斜率的直观过程，来严格推导导数的定义。 微分中值定理的几何意义： 罗尔定理（Rolle's Theorem）、均值定理（Mean Value Theorem）的几何解释是理解导数在函数性质分析中作用的关键。我们将展示如何利用均值定理证明许多代数不等式。 泰勒级数： 我们将导数概念延伸到更高阶，详细介绍泰勒定理及其在函数逼近中的应用。我们强调了余项的意义，这决定了我们逼近的精度。 第六章：黎曼积分与微积分基本定理 本部分致力于揭示微分与积分之间深刻的对偶关系。 积分的构建： 我们将黎曼积分的构建过程（上和、下和）分解为一系列可管理的步骤，强调积分是对“面积”的精确度量。 微积分基本定理（FTC）： 这是本部分的核心。我们分两部分详细证明了FTC，第一部分建立了微分与积分的逆运算关系，第二部分则提供了计算定积分的实际方法。理解FTC，意味着理解了微积分的完整循环。 反常积分： 随着对一般函数和积分区域的考虑，我们将自然过渡到瑕积分（Improper Integrals），讨论其收敛与发散的判别标准。 本书的编写风格注重概念的连贯性和逻辑的严密性，旨在培养读者像数学家一样思考问题的能力，而非仅仅停留在机械的公式套用层面。每一章的结尾都设有“概念回顾与自检”，帮助读者巩固本章所学的核心思想。

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说实话，一开始买这本书我是抱着试试看的心态，因为基础数学这块儿对我来说一直是个“老大难”问题。但拿到手之后，我简直爱不释手。手册的编排非常人性化，每一章节都紧密对应教材的内容，我可以很方便地找到我想参考的题目。最让我印象深刻的是，它在讲解一些复杂的概念时，会用很多生活中的例子来类比，把抽象的数学问题变得非常直观易懂。比如，在讲解概率的时候，它会用掷骰子、抽扑克牌的例子，让我一下子就明白了其中的道理。还有一些函数图像的绘制，手册里会一步步指导你如何找到关键点，如何分析曲线的变化趋势，这对于我这种“看图苦手”来说，简直是福音。而且，手册中的解答并没有过于专业术语化，很多时候是用非常朴实的语言来解释，让我这个非数学专业背景的人也能轻松理解。它就像一位经验丰富的老师，知道我可能会在哪里遇到困难，并提前准备好了最有效的解决方法。

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刚拿到这本《Student Solutions Manual for Basic Mathematics》，简直是数学学习的一剂强心针！之前学一些基础数学概念的时候，遇到难题常常卡住，翻遍教材也找不着思路，感觉学习过程十分受阻。这本习题解答手册的出现，彻底改变了我的学习体验。它的排版清晰，步骤详细，对于每一个练习题都给出了详尽的解题过程。我特别喜欢它的一点是，它不仅仅是简单地给出答案，而是层层递进地剖析解题思路，哪里可能出错，每一步计算的依据是什么，都解释得明明白白。有时候，一个简单的概念，可能因为我理解上的偏差而导致后续题目出错，而这本手册就能帮我 pinpoint 到那个关键点，让我恍然大悟。尤其是在一些比较抽象的代数问题上，它提供的图形辅助和类比说明，更是帮助我突破了思维定势。很多时候，我只需要看一两个例题的解答，就能立刻融会贯通，然后信心满满地去挑战更复杂的题目。这不仅仅是一本习题解答，更像是一位耐心的数学导师，随时随地在我身边指导。

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这本书绝对是我数学学习路上的“神助攻”！作为一名正在努力提升数学成绩的学生，我深知练习题的重要性，但有时候遇到瓶颈，真的会让人感到沮丧。这本《Student Solutions Manual for Basic Mathematics》恰恰解决了我的痛点。它里面的题目覆盖面很广，从简单的算术运算到稍微复杂的代数应用，都能够找到相应的练习。我最看重的是它详细的解题步骤，不仅仅是给出最终答案，而是把每一个计算过程都掰开了揉碎了讲清楚。很多时候，我只需要对照着手册的解答，就能发现自己之前错在哪里，以及正确的思路应该是什么样的。手册中的一些解题技巧和方法，是我在课堂上可能没有学到的，它们让我能够更高效地解决问题。我还会时不时地翻阅手册，巩固之前的知识点，特别是那些我曾经觉得比较难理解的章节。这本手册让我觉得，数学学习不再是一件枯燥乏味的事情，而是充满探索和发现的过程。

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我是一名大学新生，刚开始接触高等数学，但之前基础数学的一些薄弱环节一直让我有些担忧。幸运的是，我找到了这本《Student Solutions Manual for Basic Mathematics》。它里面的内容对我来说简直是如虎添翼。不仅仅是针对教材上的练习题，很多时候，它还会提供一些延伸性的讲解，让我对一些基础概念有了更深入的理解。我尤其欣赏它对于那些“为什么”的解释。比如，在讲到方程组的解法时，它不仅给出了具体的步骤，还会解释不同方法背后的逻辑，以及它们各自的优缺点。这种深入浅出的讲解方式，让我不再是被动地记忆公式，而是真正地理解了数学的内在逻辑。而且，手册中的题目难度梯度设计得很好，从最基础的计算题到稍微复杂一些的应用题，都能涵盖到。当我完成一道题，看到手册中详细的解答，并且确认自己的思路和步骤都是正确的时候，那种成就感是无法言喻的。它极大地增强了我的学习信心，也让我对数学这门学科产生了更浓厚的兴趣。

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我之前对数学一直有些畏惧，觉得它太抽象，太难理解。直到我遇到了这本《Student Solutions Manual for Basic Mathematics》，我才发现，原来基础数学可以如此有趣和容易上手。这本书的讲解方式非常独特，它不像传统的习题解答那样，只是简单地给出答案，而是会花很多篇幅去解释每一个步骤背后的逻辑。我特别喜欢它在解释一些概念的时候，会用一些图示或者流程图，让整个解题过程变得非常清晰明了。而且，手册中的一些例题都非常有代表性，能够涵盖到该章节的重点和难点。当我遇到一道难题，自己尝试了几次都解不出来的时候，我就会翻开这本手册，然后一步步地跟着它的解析来。每一步都解释得非常到位，让我能够恍然大悟，并且学会以后遇到类似的问题，该如何去解决。这本书极大地提升了我学习数学的效率和信心，让我不再害怕数学，反而开始享受它带来的乐趣。

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