Finsler Metrics-- A Global Approach pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer-Verlag

作者:Marco Abate

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1994-10

价格:USD 33.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780387584652

丛书系列:

图书标签:

• Finsler geometry
• Riemannian geometry
• Differential geometry
• Metric geometry
• Global analysis
• Curvature
• Geodesics
• Topology
• Mathematical physics
• Conformal geometry

黎曼几何与测地线几何的深度探索 一本聚焦于经典黎曼几何基础、测地线理论以及微分拓扑在几何学中应用的专著 本书旨在为读者提供一个全面而深入的视角，审视微分几何领域的核心概念，特别是那些构成现代几何学基石的理论框架。我们着重探讨经典黎曼几何的构建、测地线流的动力学特性，以及如何利用微分拓扑工具来理解和分类流形结构。本书的内容严格围绕已有的、被广泛接受的几何学理论展开，不涉及特定类型的 Finsler 结构，而是将精力集中在黎曼几何的内在逻辑和普遍方法论上。 第一部分：微分流形与黎曼几何的奠基 本书的开篇将细致地构建微分几何的数学基础。我们将从点集拓扑回顾出发，逐步引入流形的概念，包括光滑结构、切丛、张量场以及张量分析的必备知识。 1. 流形基础与张量分析 光滑结构与坐标变换： 详述局部坐标系如何描述流形上的局部结构，以及坐标变换下的张量分量变化规则。特别强调向量场、微分形式（$p$-形式）的定义及其在微分几何中的运算，如外导数和楔积。 切丛与向量场： 深入分析切丛 $TM$ 的结构，阐明向量场作为切向量在流形上的延拓，并讨论李导数在研究向量场之间的可交换性中的作用。 张量代数与张量分析： 详细介绍协变张量、反变张量和混合张量，并介绍张量场的缩并、提升和下降操作。理解张量分析是后续建立黎曼度量的基础。 2. 黎曼度量与联络 黎曼度量的引入： 本章的核心是黎曼度量 $g$ 的定义——一个处处正定的二阶对称协变张量。讨论度量如何赋予流形局部欧几里得结构，并定义长度、角度和体积形式。 度量诱导的结构： 阐明黎曼度量如何自然地导出上指标和下指标之间的转换关系（即通过度量张量的逆 $g^{mu u}$），以及如何定义垂直空间（正交补）。 仿射联络与协变导数： 介绍联络的概念，它是对切向量在流形上“平行移动”的一种推广。重点阐述 Levi-Civita 联络的唯一性，即它是唯一满足无挠率（Torsion-free）和度量兼容（Metric-compatible）的联络。详细推导 Christoffel 符号的计算公式及其与度量张量的关系。 3. 曲率的几何解释 黎曼曲率张量： 本部分是黎曼几何的灵魂。我们通过考虑向量场在曲线上平行移动时方向的变化来定义黎曼曲率张量 $R(X, Y)Z$。详细分析黎曼曲率张量的代数性质，如第一和第二 Bianchi 恒等式，以及它们与 Ricci 张量和数量曲率的关系。 Ricci 张量与数量曲率： 定义 Ricci 张量 $ ext{Ric}(X, Y)$ 作为黎曼曲率的缩并，它是衡量流形“平均曲率”的关键量。随后定义数量曲率 $S$。讨论这些量在 Einstein 方程（仅作为背景知识提及其在引力理论中的地位）中的作用，但在本书中，我们将其视为流形内部几何性质的度量。 截面曲率的几何直觉： 深入分析截面曲率 $K(pi)$，它是固定二维平面上的黎曼曲率的度量。通过与欧几里得空间和球面曲率的对比，为读者提供关于正、负曲率的直观理解。 第二部分：测地线几何与动力学 在建立了局部几何结构之后，本书转向研究流形上的运动规律——测地线理论。 4. 测地线方程与极小化性质 测地线的定义： 将测地线定义为“无加速度”的曲线，即其切向量的协变导数为零的曲线。详细推导在局部坐标系下，测地线方程可以写成的常微分方程形式，并解释 Christoffel 符号在其中的作用。 测地线流的性质： 将测地线看作流形上的一个向量场（测地线流），研究其动力学特性。讨论测地线流的完备性，即何时测地线可以无限延伸。 变分原理： 阐述测地线是连接两点之间“能量”泛函（或长度泛函）的临界点，即满足欧拉-拉格朗日方程。通过引入 Jacobi 场的概念，分析附近测地线的偏离行为，这是理解曲率如何影响路径的关键。 5. 拓扑学视角下的测地线 测地线上的指数映射： 将指数映射 $exp_p: T_p M o M$ 定义为从切空间到流形上的映射，它是局部地研究流形结构的关键工具。分析指数映射的局部性质，包括其在何处失效（即奇点的出现），这与曲率和焦点的存在直接相关。 焦点的概念： 详细讨论焦点的几何意义，即指数映射的非单射点。利用焦点的存在来理解测地线在曲面上汇聚或发散的方式。 拓扑阻碍： 探讨测地线的全局性质，例如是否存在穿过整个流形的闭合测地线。介绍 Birkhoff 极值原理在寻找闭合测地线时的局限性，并引入 Morse 理论的初步概念，说明拓扑结构如何约束测地线的存在。 第三部分：微分拓扑工具在几何中的应用 本书的最后一部分将展示如何利用成熟的微分拓扑工具来分析和分类黎曼流形。 6. 联络的推广与结构方程 外微分系统： 将微分几何问题框架化为外微分系统的研究。重新审视曲率和挠率的定义，使用 Cartan 的结构方程（不引入 Finsler 结构，而是专注于黎曼几何中的标准形式），这些方程将张量方程转化为关于联络形式和度量形式的微分代数关系。 完备化与分类： 利用 Cartan-Ambrose-Singer 构造，探讨一个流形是否由其局部几何数据（曲率和其所有协变导数）唯一决定。讨论黎曼流形的局部等距性，即如何通过局部曲率信息确定流形的“几何类型”。 7. 拓扑不变量与黎曼流形 高斯-邦内特定理： 详细推导高斯-邦内特定理，该定理将二维黎曼流形的积分曲率（基于数量曲率的积分）与流形的拓扑不变量（欧拉示性数）联系起来。这一成果是几何与拓扑完美结合的典范。 Chern-Weil 理论的背景： 介绍 Chern-Weil 理论的初步思想，即如何利用流形的联络来构造具有拓扑意义的类（如陈类），这些类是流形在更高维度上保持不变的几何量度。重点阐述这些工具如何帮助我们识别具有不同拓扑特征的黎曼流形。 通过以上三个部分，本书为读者构建了一个稳固的黎曼几何知识体系，从基础的微分流形出发，深入到测地线的动力学，并最终利用拓扑工具对流形结构进行高层次的分析。全书聚焦于经典、成熟且具有普遍性的数学框架。

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