Stratified Lie Groups and Potential Theory for Their Sub-Laplacians pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Berlin Heidelberg

作者:A. Bonfiglioli

出品人:

页数:828

译者:

出版时间:2009-12-09

价格:USD 109.00

装帧:Paperback

isbn号码:9783642090998

丛书系列:

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• 数学
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《亚流形几何与微分算子》 本书深入探讨了在黎曼流形上定义的亚流形及其相关的微分算子，特别是拉普拉斯算子在这些几何结构中的行为。我们将从基础的黎曼几何概念出发，逐步引入亚流形的定义，包括其嵌入方式、法向量丛以及相关的联络。重点将放在那些具有特殊结构的亚流形，例如常曲率子流形、测地完备子流形等，并分析这些几何性质如何影响其上的微分算子。 核心内容之一是对亚流形上拉普拉斯算子（Laplacian）的分析。我们将研究不同类型的拉普拉斯算子，包括全纯拉普拉斯算子、博赫纳拉普拉斯算子，以及它们在亚流形上的表现。本书将详细介绍这些算子的性质，如椭圆性、自伴性以及在特定几何条件下算子的特征值和特征向量的分布。此外，我们还将探讨拉普拉斯算子的正则性理论，包括索伯列夫空间中的解的存在性、唯一性以及光滑性。 本书将重点关注与这些微分算子密切相关的势论（Potential Theory）。我们将在亚流形上建立经典势论的概念，如调和函数、超调和函数、Green函数以及它们在亚流形上的存在性与性质。我们将研究亚流形上的平均值性质、最大模原理等，并将这些概念推广到更一般的几何环境中。此外，本书还将探讨解析延拓、Kelvin变换等经典势论工具在亚流形上的应用，以及如何利用这些工具解决与亚流形上偏微分方程相关的问题。 本书的另一重要组成部分是探讨亚流形上的微局部分析（Microlocal Analysis）。我们将介绍傅里叶积分算子（Fourier Integral Operators）、伪微分算子（Pseudodifferential Operators）等工具，并展示它们如何被应用于分析亚流形上微分算子的性质，特别是其局部行为和奇异性的传播。我们还将研究亚流形上算子的谱隙，以及它与几何曲率的联系。 此外，本书还将涉及亚流形与李群（Lie Groups）的联系，特别是指数映射、李代数的性质以及在李群上定义的测地线。我们将探讨李群的子群结构，以及在这些子群上定义的算子的性质。书中还会触及一些非交换几何（Noncommutative Geometry）的思想，研究如何将经典微分几何和分析推广到非交换的设定中，例如利用C-代数来描述几何空间。 本书的论证将建立在严格的数学分析和几何推理之上，旨在为研究人员和高年级学生提供一个全面而深入的理解。通过本书的学习，读者将能够掌握分析工具在几何问题中的应用，并为进一步研究更复杂的几何对象和微分算子打下坚实的基础。本书涵盖的内容包括但不限于： 黎曼流形与子流形： 黎曼度量、曲率张量、测地线、嵌入、法向量丛、法联络。 微分算子： 拉普拉斯-贝尔特拉米算子、博赫纳拉普拉斯算子、全纯拉普拉斯算子、热核、薛定谔算子。 偏微分方程： 椭圆型方程、抛物型方程、双曲型方程，以及它们在流形上的解的存在性、唯一性、正则性。 势论： 调和函数、超调和函数、Green函数、泊松核、泊松方程，以及其在流形上的推广。 泛函分析： 索伯列夫空间、希尔伯特空间、谱理论、算子代数。 微局部分析： 伪微分算子、傅里叶积分算子、奇点传播。 李群与李代数： 指数映射、伴随表示、李子群、齐性空间。 几何分析方法： 极限定理、热核方法、谱分析。 本书的读者群主要包括对微分几何、偏微分方程、数学物理以及相关交叉学科感兴趣的研究生和研究人员。希望本书能够启发新的研究方向，并为理解复杂几何结构上的分析问题提供有力的工具。

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说实话，这本书的难度曲线是相当陡峭的，尤其是在处理其核心——关于次拉普拉斯算子（Sub-Laplacians）的谱理论部分。我不得不承认，我花了相当长的时间来消化关于赫尔曼（Hörmander）条件如何精确地决定了次椭圆性和可解性之间的微妙平衡。它没有提供那种唾手可得的“快速通道”去理解这些概念，而是要求读者必须具备扎实的傅里叶分析和群作用的基础知识。但一旦你跟上了节奏，你会发现作者在构建一个极其优雅的理论大厦。书中对“层化”（Stratified）这一概念的引入和深化，简直是教科书级别的典范。它不仅解释了如何从欧几里得空间上的标准拉普拉斯量推广到这些更奇异、更非对称的结构上，还巧妙地将调和分析中的卷积估计与李群的代数结构联系了起来。对于希望在非对称扩散过程或信号处理的底层数学原理上有所建树的研究者来说，这简直是一本不可替代的工具书，它提供的不仅仅是结果，更是思考问题的方式。

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这本书的封面设计，那种深沉的靛蓝色配上烫金的衬线字体，第一眼就给人一种学术殿堂的庄重感。我是在一个关于非交换几何的研讨会上偶然翻到它的，当时我正在寻找能将抽象代数结构与更具体的分析工具结合起来的资源。这本书的厚度令人望而生畏，但翻开内页，那种清晰、精确的排版立刻安抚了我的焦虑。作者似乎有一种将极度复杂的概念梳理得井井有条的天赋。我特别欣赏它在引入新的微分几何构造时，总是先用一个非常直观的、甚至可以说是“物理”的比喻来打底，然后再步步为营地搭建起严格的数学框架。这种教学上的细致入微，使得那些初接触拓扑群或特定李群结构的人也能找到切入点，而不是一开始就被无穷维的范畴论吓退。它不仅仅是堆砌公式，更像是在引导读者理解为什么某些结构必须如此构造，背后的几何直觉是什么。虽然内容本身是尖端的，但阅读体验却出奇地顺畅，仿佛有一位耐心的导师在你身边，随时准备为你解答那些最隐晦的符号背后的深意。

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我注意到这本书的一个显著特点是其对历史背景的把握。作者似乎非常重视追溯这些数学思想的源头，尤其是在对李群的表示论和其在量子力学中的应用进行梳理时。他们并没有满足于给出当前最先进的结论，而是花费大量篇幅去比较不同学派（比如欧几里得几何学派和更注重代数结构的学派）在处理类似问题时的优势与局限。这种对比性的叙述方式，极大地丰富了读者的理解层次。比如，当他们讨论到如何用完备化（completions）来处理非紧致群上的分析问题时，穿插了对早年研究人员如何克服这种紧致性缺失所进行努力的描述。这使得整本书读起来，不仅仅像是一本冷冰冰的参考手册，更像是一部关于数学分析如何在复杂几何背景下不断自我完善的编年史。对于我这种对数学哲学略感兴趣的读者来说，这极大地提升了阅读的趣味性和深度。

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从排版和符号的规范性来看，这本书达到了顶尖的学术出版水准。每一个希腊字母、每一个上下标的运用都经过了深思熟虑，几乎没有出现歧义。特别是对于那些在同一个章节中反复出现的特定算子或张量，作者设计了一套非常一致的、易于追踪的标注系统。这在处理涉及到复杂指标和多重微分算子的长篇推导中，起到了至关重要的作用。我过去阅读其他类似主题的书籍时，经常因为符号的随意切换而被迫频繁回溯查阅定义，但在这本书中这种情况极少发生。这种严谨性在需要进行大量手写笔记和公式推导验证的读者群体中，会得到极高的评价。可以说，作者在内容创作之外，在“可读性工程”上也投入了巨大的心力，确保读者可以将注意力完全集中在数学推理本身，而不是纠结于符号的意义。

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这本书在方法论上的融合性令人印象深刻。它巧妙地将纯粹的泛函分析工具与李群的内在几何属性无缝衔接起来，形成了一个自我强化的理论框架。我发现它特别擅长处理那些“介于两个世界之间”的问题——那些既需要深刻的代数洞察力，又要求精细的分析估计的难题。例如，在讨论某些特定群上的黎曼几何性质时，作者并未简单地套用已有的框架，而是展示了如何利用该群结构特有的“非交换性”来推导出更强、更具针对性的不等式。对于那些试图跨越纯数学和应用数学边界的学者来说，这本书提供了一个极佳的范例，说明如何利用最高深的理论工具来解决特定领域中的难题。它不只是一个知识的汇编，更像是一份关于如何进行前沿数学研究的行动指南，展示了如何在一个高度抽象的领域中保持实用性和洞察力。

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