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出版者:中国科学技术大学出版社

作者:李炯生

出品人:

页数:447 页

译者:

出版时间:2010年01月

价格:48.00元

装帧:平装

isbn号码:9787312022982

丛书系列:中国科学技术大学精品教材

图书标签:

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《矩阵的故事：从几何直观到抽象思维》 一、 穿越时空的对话：数学的基石如何塑造我们的世界 想象一下，如果我们能窥视那些伟大数学家在数个世纪前构建数学大厦的瞬间，会是怎样的景象？《矩阵的故事》并非简单地罗列公式与定理，它旨在带您踏上一场智识的探索之旅，揭示线性代数——这个看似抽象的数学分支——如何悄无声息地渗透并重塑了我们理解和改造世界的方方面面。本书的出发点，并非冰冷的研究报告，而是力求以一种引人入胜的方式，带领读者领略线性代数的核心思想，感受其背后蕴含的深刻逻辑与优雅结构。 我们并非一开始就沉浸在繁复的符号运算之中。相反，本书的开篇将以最直观的几何语言，唤醒您对空间、方向以及变换的本能感知。您将看到，线性代数并非凭空产生，而是源自人类对现实世界最基本的需求：描述位置、度量距离、预测运动。从二维平面上点与线的关系，到三维空间中向量的伸缩与旋转，每一个概念都将以清晰的几何图景呈现，让您在脑海中构建起立体的数学思维模型。我们将探索，如何用简单的向量来代表一个点，用一组数字来刻画一种方向，而这些看似朴素的工具，却能为我们理解更复杂的问题提供坚实的基础。 这种几何直观并非数学的终点，而是通往更深层抽象的阶梯。《矩阵的故事》将逐步引导您理解，为什么向量的组合（线性组合）能够描绘出整个空间，为什么“线性”这个词语所代表的“保持结构不变”的特性如此重要。您将看到，一旦我们拥抱了这种抽象的语言，许多原本难以捉摸的问题便会迎刃而解。例如，如何在一个复杂的系统中追踪多个变量的变化？如何找到描述系统行为的最简便方式？答案往往就藏在那些由数字构成的矩阵和向量之中。 本书的叙述将贯穿历史的脉络，但并非枯燥的年代记。我们不会去追溯每一位先贤的生平细节，而是精选那些对线性代数发展至关重要的思想火花。您将了解，当数学家们面对方程组的求解难题时，如何一步步摸索出系统的、有效的策略；您将看到，随着科学技术的发展，尤其是物理学和工程学的兴起，对能够处理海量数据和复杂系统计算的需求，如何催生了矩阵这一强大的数学工具。这种历史的回溯，旨在告诉您，我们今天所学的知识，是无数智慧的结晶，是人类理性思维不断突破的证明。 二、 核心概念的深度解析：化繁为简的思维工具 《矩阵的故事》最核心的价值，在于它能够将线性代数中那些可能令人望而生畏的概念，以一种逻辑严谨又不失趣味的方式呈现出来。我们不会回避深度，但会确保每一份深度都服务于理解。 向量：空间的语言，信息的载体。 我们将深入探讨向量的本质，不仅仅是带有方向和大小的箭头，更是承载信息的多维数据点。您将学会如何对向量进行加减运算、数乘运算，理解这些基本操作在几何上和代数上分别代表什么。更重要的是，您将理解向量空间的概念——这是一个由所有可能的向量组成的集合，它具有独特的结构，可以容纳各种各样的数据和模型。从地理坐标到人口统计，从图像像素到声音波形，本质上都可以用向量来表示，而向量空间的理论则为我们提供了分析和处理这些数据的统一框架。 矩阵：变换的引擎，方程的指挥家。 矩阵，作为线性代数的核心之一，将被赋予生命。它不再是仅仅是数字的堆砌，而是代表着一种强大的“变换”能力。您将直观地理解，一个矩阵如何能够对向量进行缩放、旋转、剪切，甚至映射到不同的空间。这种几何上的理解，是掌握矩阵运算的关键。本书将详细讲解矩阵的加法、减法、乘法，以及它们在几何变换中所扮演的角色。例如，您将看到，将两个变换矩阵相乘，实际上是将这两个变换顺序地应用于向量，这在计算机图形学、机器人学等领域至关重要。 线性方程组：世界的规则，待解的谜团。 线性代数最经典的应用之一便是解决线性方程组。本书将从最简单的二元一次方程组出发，逐步推演到高维、多变量的复杂系统。您将了解，求解线性方程组的过程，本质上是在寻找能够同时满足所有约束条件的“解”。我们将深入探讨高斯消元法、LU分解等经典求解方法，并从向量和矩阵的角度来解读这些方法的原理。更重要的是，您将理解，线性方程组的解的“唯一性”、“存在性”以及“无穷多解”等情况，都与系统的内在性质密切相关，而这些性质可以通过矩阵的秩、行列式等概念来判断。 行列式：矩阵的“签名”，空间的“尺度”。 行列式，这个看起来有些神秘的数字，却承载着矩阵的丰富信息。本书将以几何直观的方式解释行列式的含义：在二维空间中，它代表着由两个向量构成的平行四边形的面积（带符号）；在三维空间中，它代表着由三个向量构成的平行六面体的体积（带符号）。您将理解，行列式的绝对值越大，表示矩阵所对应的线性变换对空间“拉伸”或“压缩”的程度越大；行列式为零，则意味着变换将高维空间“压扁”到了低维空间，例如将二维平面压成一条直线，此时系统通常没有唯一解。行列式在判断矩阵是否可逆、求解线性方程组等方面扮演着关键角色。 特征值与特征向量：系统的“灵魂”，内在的“模式”。 这是线性代数中一个尤为深刻的概念。特征值和特征向量揭示了矩阵所代表的线性变换在特定方向上的“不变性”。想象一下，当一个向量经过矩阵变换后，其方向不发生改变，仅仅是长度发生了伸缩，那么这个向量就是该矩阵的一个特征向量，而那个伸缩的比例就是对应的特征值。在物理学中，特征值往往对应着系统的固有频率、能量状态；在数据分析中，它们则揭示了数据的主要“模式”或“主成分”。本书将通过生动的例子，帮助您理解这些“特殊”向量和“特殊”数值的意义，它们是理解系统动力学和数据结构的金钥匙。 子空间、基、维数：理解空间的层次与结构。 为了更有效地分析复杂的向量空间，我们需要引入子空间、基和维数的概念。子空间可以看作是向量空间中的“局部”空间，它们自身也拥有良好的线性结构。基则是一组“最少”的向量，它们可以线性表示出空间中的任何一个向量，并且线性无关。维数就是构成基所需的向量个数，它决定了空间的“大小”或“自由度”。这些概念如同给混乱的城市规划出了清晰的区域划分和交通网络，使我们能够更加有序地理解和操作数据。 三、 应用场景的广泛展现：从理论到实践的飞跃 《矩阵的故事》并非一本纯粹的理论书籍。我们深知，数学的魅力在于其强大的应用能力。因此，本书将穿插大量来自不同领域的实际应用案例，展现线性代数是如何解决现实世界中的挑战。 计算机图形学：虚拟世界的构建者。 您是否曾惊叹于电影中逼真的3D动画，或是玩过画面流畅的游戏？这些都离不开线性代数的强大支持。矩阵被用来描述物体的旋转、缩放、平移，以及摄像机的视角变换。投影矩阵可以将3D场景映射到2D屏幕上，而着色和光照的计算也常常涉及向量和矩阵运算。本书将解释，当您在游戏中移动角色时，背后究竟发生了怎样的矩阵变换。 数据科学与机器学习：智能的基石。 在当今大数据时代，线性代数更是扮演着不可或缺的角色。从图像识别、语音识别到自然语言处理，几乎所有的机器学习算法都建立在对高维数据的线性代数处理之上。您将看到，如何用向量表示文本，如何用矩阵分解技术（如奇异值分解SVD）来发现数据中的潜在模式，如何利用线性回归模型来预测趋势。特征值分解在主成分分析（PCA）中的应用，将帮助您理解如何从海量数据中提取最关键的信息。 工程与物理学：精确的模拟与预测。 在航空航天、土木工程、电子工程等领域，线性代数被广泛用于模拟和分析复杂的物理系统。例如，结构的应力分析、电路的电流电压计算、控制系统的稳定性分析，都可能转化为求解大规模线性方程组的问题。本书将介绍，如何利用线性代数的方法来优化设计，预测系统的行为，并确保其安全性与稳定性。 经济学与金融学：风险的量化与决策的优化。 在金融领域，投资组合的构建、风险的评估、期权定价模型等，都大量运用了线性代数。例如，协方差矩阵用于衡量不同资产之间的相关性，而投资组合的优化问题常常可以转化为一个二次规划问题，其求解离不开线性代数的方法。本书将展示，如何用数学工具来量化不确定性，并做出更明智的经济决策。 图论与网络分析：连接的智慧。 现实世界中的许多系统，如社交网络、交通网络、通信网络，都可以用图来表示。图的邻接矩阵和关联矩阵是线性代数在图论中的重要应用，它们可以帮助我们分析网络的连通性、中心节点、信息传播路径等。本书将揭示，如何利用矩阵的幂次来计算图中任意两点之间的路径数量，以及如何利用特征向量来揭示网络的内在结构。 四、 学习体验的精心设计：化挑战为乐趣 《矩阵的故事》深知学习的乐趣在于理解与突破。本书在设计上力求做到： 由浅入深，循序渐进： 从最基本的概念入手，每一步的推进都有清晰的逻辑联系，绝不会出现“跳跃式”的讲解。 理论与实践相结合： 丰富的例题和应用场景，让读者能够将学到的理论知识应用于实际问题，感受数学的强大力量。 可视化呈现： 尽可能利用图示和几何直观来解释抽象概念，让学习过程更加生动有趣。 清晰的数学语言： 尽管追求通俗易懂，但本书绝不牺牲数学的严谨性，力求在准确性与易读性之间找到最佳平衡。 鼓励独立思考： 提供一些思考题和挑战，鼓励读者主动探索，将所学知识融会贯通。 结语： 《矩阵的故事》是一次邀请，邀请您走进线性代数这个奇妙的世界。它不是一本急于求成的速成指南，而是一份精心绘制的地图，指引您探索数学的深邃之处。无论您是初次接触线性代数的学生，还是希望巩固和拓展知识的应用者，本书都将为您提供一份充实而富有启发性的阅读体验。让我们一起，通过矩阵的语言，去理解这个由数字、空间和变换构成的精彩世界，并用这套强大的思维工具，去创造属于我们自己的未来。

评分☆☆☆☆☆

考研的时候读的就是这本书，在网站上看到别人说这本书是“亚洲第一难”，应该说它是比一般的线性代数教科书难。但我觉得这难是因为它的内容很丰富，很充实。它的习题更是丰富，这点我非常喜欢。 时间比较久了，也就记得这么点印象了。  

评分☆☆☆☆☆

考研的时候读的就是这本书，在网站上看到别人说这本书是“亚洲第一难”，应该说它是比一般的线性代数教科书难。但我觉得这难是因为它的内容很丰富，很充实。它的习题更是丰富，这点我非常喜欢。 时间比较久了，也就记得这么点印象了。  

评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

这本《高等数学精讲》真是让我爱不释手，从拿到书的那一刻起，就被它深入浅出的讲解方式所吸引。作者显然对数学的理解非常透彻，他没有停留在枯燥的公式堆砌上，而是巧妙地将抽象的概念与生动的实例相结合。比如，在介绍微积分的核心思想时，他用了一个非常形象的例子来解释极限的逼近过程，这比我之前看过的任何教材都来得直观。尤其值得称赞的是，书中的习题设计得非常巧妙，难度循序渐进，从基础的计算到复杂的应用题，层层递进，让人在解题的过程中真正理解知识点的内在逻辑。我特别喜欢它对概念推导过程的详细阐述，每一步都有理有据，让人感觉茅塞顿开。对于那些过去一直对数学感到畏惧的读者来说，这本书绝对是一个强有力的“拐杖”，它能帮你稳稳地迈出坚实的第一步。

评分☆☆☆☆☆

我最近在准备一个非常重要的专业考试，急需一本能快速梳理核心知识点的参考书，朋友推荐了这本《概率论与数理统计：方法与应用》。说实话，一开始我抱着试试看的心态，但翻开后立刻被它的结构所震撼。这本书的组织结构非常清晰，每一个章节都以“核心概念回顾—典型例题分析—易错点辨析”的模块展开，效率极高。它不像某些厚重的教材那样，把不重要的细节也塞进去，而是精准地抓住了考试中最常考、最核心的部分。我尤其欣赏它在处理复杂概率模型时的那种系统性思维，作者似乎已经预料到了我们学习过程中可能遇到的所有困惑，并提前给出了细致的注解。这本书读起来完全没有负担感，更像是在与一位经验丰富的导师进行一对一的辅导，让我在短时间内对整个学科的脉络有了全面的掌握。

评分☆☆☆☆☆

作为一名计算机科学专业的学生，我对《离散数学及其应用》这本书的评价是：严谨而富有启发性。离散数学是连接纯数学与计算机理论的桥梁，而这本书完美地履行了这一职责。它的逻辑严密性达到了教科书的最高标准，书中对集合论、图论、数理逻辑等基础理论的阐述，逻辑链条几乎找不到任何断点。我发现，许多我过去模糊不清的概念，比如归纳法在证明中的应用，或者特定图结构的性质，在这本书里都得到了极其清晰和规范的论证。更让我惊喜的是，它在介绍完理论后，立刻会给出相关的算法设计和复杂度分析的例子，比如使用图论来优化网络路由，这让抽象的数学概念立刻拥有了鲜活的生命力。这本书不仅是学习知识，更是一种培养严密逻辑思维方式的训练。

评分☆☆☆☆☆

对于长期从事工程设计的朋友们来说，一本实用的《工程数学基础》简直是不可或缺的工具书。我用过不少市面上的同类书籍，但很多都停留在理论层面，实际操作性不强。然而，这本《工程数学基础》完全不同，它似乎是为实际问题量身定做的。书中大量穿插了结构力学、电路分析等领域的实际应用案例，比如如何用微分方程来模拟悬臂梁的挠度变化，或者如何用傅里叶分析来处理周期性信号的分解。这些案例的引入，极大地激发了我将数学工具应用于实际工作的热情。而且，书中对数学建模的步骤讲解得非常到位，它教会的不仅仅是如何计算，更重要的是如何将一个现实世界的问题，抽象化、模型化，并最终求解的过程。这本书的价值，已经超越了单纯的教材范畴，更像是一本解决实际工程难题的“操作手册”。

评分☆☆☆☆☆

读完这本《多元微积分与空间几何》，我的直观感受是：视野被极大地拓宽了。过去我总觉得三维空间的想象力是一个瓶颈，但这本书通过其精美的三维图示和清晰的坐标变换解释，彻底打破了我的认知局限。作者在讲解向量场、曲面积分和散度定理时，使用了大量结合物理学概念的类比，比如水流和电磁场的描述，这使得原本晦涩的理论变得易于理解和可视化。我特别喜欢其中关于雅可比行列式在多重积分变量替换中的几何意义的解释，那段文字配图精妙绝伦，让我瞬间理解了面积（或体积）在变换过程中如何被“拉伸”或“压缩”。这本书的编排节奏把握得恰到好处，既有足够的深度来满足深入研究的需求，又有足够的广度来展示多元微积分在现代科学中的广泛应用，是一本真正能提升读者空间思维能力的优秀著作。

评分☆☆☆☆☆

号称亚洲线代第一难书。。。。其实没读完=-=.....就是因为这本书认识了一个朋友

评分☆☆☆☆☆

写的又难又蠢，口口声声说自己继承了华派打洞技巧然后二次型证明死用空间分解...对比清华的叙述你写的很不代数...基本的东西都讲不到位题难有什么用

评分☆☆☆☆☆

内容不适合阅读-_-#，习题很好。 另，此书总是被茂神吐槽哈哈~

评分☆☆☆☆☆

不是读的第一本线代教材，所以不敢说新手友好. 内容全面，可时刻备查是它的优点. 如果想要习题答案，貌似章神主页可以下载，是科大一位学长组织编的《囧哥秘籍》（之类的名字） 第二版看起来比第一版舒适，可能是自己见过的东西稍微多了些吧. 作为一本面向数学系的教科书，我现在感觉这本还是优于李尚志的. 后者太科普了，弄巧成拙（当然要是用心全看了肯定不吃亏吧）

评分☆☆☆☆☆

很满意