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出版者:Cambridge University Press

作者:Sam Howison

出品人:

页数:340

译者:

出版时间:2005-04-11

价格:USD 166.99

装帧:Hardcover

isbn号码:9780521842747

丛书系列:Cambridge Texts in Applied Mathematics

图书标签:

• 数学
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深入探索：离散数学与现代算法基础 图书名称： 离散结构与计算逻辑 作者： [虚构作者姓名] 出版社： [虚构出版社名称] 页数： 约 780 页 ISBN： [虚构 ISBN] --- 内容概述： 《离散结构与计算逻辑》是一本面向计算机科学、信息技术以及对严格逻辑推理和抽象结构感兴趣的学生的综合性教材。本书旨在为读者打下坚实的数学基础，使他们能够理解和设计高效的算法，分析复杂系统的可行性，并以一种严谨的、结构化的方式思考问题。 本书摒弃了过于侧重于传统微积分或连续函数分析的路径，而是将全部精力集中在离散数学的核心领域——计数、证明、图论、集合论、逻辑推理以及代数结构的基础之上。我们相信，在当代计算科学日益发展的背景下，对这些离散对象的深刻理解，比对微积分的熟练掌握更为关键。 全书共分为五大部分，层层递进，从最基础的集合与逻辑开始，逐步过渡到高级的组合计数和图论应用。 --- 第一部分：逻辑与证明的基石（Foundations of Logic and Proof） 本部分是全书的起点，重点在于培养读者的形式化思维能力。我们不仅仅停留在布尔代数的简单运算上，而是深入探讨了命题逻辑（Propositional Logic）和谓词逻辑（Predicate Logic）的结构、有效性和完备性。 关键主题包括： 1. 命题演算： 真值表、逻辑联结词的性质、重言式（Tautology）和矛盾式（Contradiction）的识别。 2. 谓词逻辑与量词： 范围、约束和量化推理。我们详细讨论了如何将自然语言的陈述精确地翻译成一阶逻辑公式，并探讨了其在数据库查询和知识表示中的初步应用。 3. 证明方法论： 详尽介绍了数学证明的各种基本技术，包括直接证明、反证法（Proof by Contradiction）、数学归纳法（Mathematical Induction）——包括强归纳法和结构归纳法。此外，还引入了构造性证明和存在性证明的细微差别。 4. 递归关系与定义： 严格定义了递归结构，并展示了如何使用归纳法来证明涉及递归定义的陈述的正确性。 特色： 每一章都包含大量“逻辑陷阱”案例，帮助读者识别常见的逻辑谬误（Fallacies），从而提高批判性思维能力。 --- 第二部分：集合、函数与计数（Sets, Functions, and Counting） 本部分是建立离散对象模型的关键。它超越了基础的集合论介绍，将重点放在了如何使用集合的语言来构建和分析计算对象。 关键主题包括： 1. 集合论的严谨性： 集合的运算、笛卡尔积、幂集，以及使用集合论来形式化关系和函数的定义。 2. 函数与映射： 单射（Injective）、满射（Surjective）和双射（Bijective）函数的严格定义及其在编码和变换中的角色。 3. 组合学的核心： 详细讲解了排列（Permutations）和组合（Combinations）的原理，特别是带有重复和限制条件的计数问题。 4. 鸽巢原理（Pigeonhole Principle）： 介绍了基本形式和推广形式，并展示了它在证明某些结构必然存在性上的强大威力。 5. 生成函数（Generating Functions）： 作为解决复杂计数问题的强大工具，我们详细介绍了如何使用形式幂级数来表示和操作序列，并将其应用于求解线性递推关系。 特色： 引入了早期计算机科学中关于集合表示和数据结构（如哈希表设计的基础）的初步讨论，将抽象计数与实际应用联系起来。 --- 第三部分：关系、序与代数结构（Relations, Order, and Algebraic Structures） 本部分开始探索结构化对象，为理解数据组织和抽象机器提供数学框架。 关键主题包括： 1. 关系分析： 关系的基本性质（自反性、对称性、传递性），以及等价关系（Equivalence Relations）和划分（Partitions）的构造。我们重点讨论了偏序关系（Partial Orders）和格（Lattices）的初步概念。 2. 图论的引入： 这一主题被视为一种特殊的二元关系。介绍了图、路径、连通性、树结构。 3. 布尔代数（Boolean Algebra）： 从集合运算推广到代数结构，深入探讨了布尔代数在线路设计、逻辑电路和数据库查询优化中的基础作用。 4. 初级群论： 介绍了群、子群、同态（Homomorphisms）的概念。重点在于理解群作为对称性（Symmetry）的数学描述，而非复杂的群论计算。这为后来的密码学和编码理论打下基础。 特色： 提供了大量关于关系数据库模式设计中如何应用等价关系进行规范化的实例分析。 --- 第四部分：图论的深度应用（In-Depth Graph Theory） 图论是离散数学中最活跃的分支之一，本部分将其作为独立模块进行深入剖析，侧重于算法设计中的应用。 关键主题包括： 1. 图的表示： 邻接矩阵（Adjacency Matrix）与邻接列表（Adjacency List）的优缺点及其在不同算法中的性能考量。 2. 连通性与遍历： 深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）的数学原理，以及它们在图的结构分析中的应用。 3. 特殊图类： 二分图（Bipartite Graphs）、平面图（Planar Graphs）及其欧拉公式。 4. 路径与连通性算法基础： 介绍欧拉路径（Eulerian Paths）和哈密顿回路（Hamiltonian Cycles）的存在性判定条件。 5. 最短路径问题： 讨论了迪杰斯特拉（Dijkstra's）算法和弗洛伊德-沃沙尔（Floyd-Warshall）算法的数学基础，重点在于证明其贪婪选择的正确性。 特色： 图论部分紧密结合了网络路由、社交网络分析和任务调度等实际场景，强调图论模型如何转化为可计算的解决方案。 --- 第五部分：高级计数与递归分析（Advanced Enumeration and Recurrence Analysis） 本部分回归组合学，但引入了更强大的工具来处理复杂的计数问题，特别是那些在算法复杂度分析中经常出现的递归结构。 关键主题包括： 1. 容斥原理（Principle of Inclusion-Exclusion）： 详尽讲解其原理和应用，包括德莫根定律在计数中的推论。 2. 常系数线性齐次递推关系： 详细推导了求解这类关系式的特征方程方法，并展示了如何将其应用于分析特定算法（如归并排序、快速排序的平均情况分析）的运行时间。 3. 非齐次递推关系： 引入特解和通解的概念，解决更广泛的算法分析需求。 4. 生成函数的深度应用： 展示生成函数如何统一处理组合计数和线性递推关系的求解。 特色： 本章将组合数学的理论与算法分析的实践紧密结合，使读者能够清晰地看到抽象的数学结构如何直接决定了程序的效率边界。 --- 目标读者与学习价值： 《离散结构与计算逻辑》的目标读者是希望在计算机科学领域获得扎实理论基础的本科生和研究生。本书旨在培养读者在面对未知问题时，能够迅速将其抽象化、形式化，并运用严谨的数学工具进行分析和求解的能力。通过对逻辑、结构和计数的深入理解，读者将能更自信地步入算法设计、形式化验证、数据结构优化以及理论计算机科学的研究领域。本书的重点在于推理的严谨性和结构的抽象性，而非数值计算的技巧。

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这本书的内容深度和广度都超出了我的预期，它不仅仅停留在教科书式的知识传授，更像是邀请读者参与到一场数学思维的探险中。我特别喜欢其中关于优化理论和数值方法的章节，作者似乎对“效率”有着近乎偏执的追求，每一个算法的引入都伴随着对收敛速度和计算复杂度的深入分析。这种批判性的视角，让读者在学习“如何做”的同时，也能思考“为什么这样做最好”。我记得在提到蒙特卡洛模拟时，书中引入了好几个跨学科的案例，从金融风险评估到粒子物理实验，这种宏大的视野令人赞叹。不过，也正因为这种广度，某些特定领域的深度讲解略显不足，比如在处理大规模非线性系统的迭代求解时，一些前沿的并行计算策略几乎没有涉及，这或许是篇幅所限，但对于追求尖端技术的读者来说，可能会觉得意犹未尽。总体而言，它更像是一本高阶的“思维手册”，而非某一特定领域的“圣经”。

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我关注这本书主要是因为它在工程数学领域的声誉，实际阅读后，我发现它的最大价值在于其对“模型选择”的讨论。在许多应用数学书籍中，我们被教导如何解决一个给定的模型，但这本书却花费了大量的篇幅来探讨“在面对一个现实问题时，我们应该选择哪种数学工具，以及选择该工具背后的经济学或物理学合理性是什么？”。这种元认知层面的探讨，极大地提升了我的应用能力。例如，在处理信号去噪问题时，书中没有直接给出傅里叶变换或小波变换的公式，而是先从信息失真和噪声模型的角度进行了深入的对比分析，这让我对这两种方法的适用边界有了更深刻的理解。我特别赞赏其对“模型简化”的艺术性的描述——即如何在保持足够精度的前提下，牺牲不必要的复杂性。这种对实践智慧的捕捉，远超了一般教材的范畴，让这本书更像是一本经验丰富的导师的心得记录。

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这本书的装帧设计着实吸引人，拿到手沉甸甸的，封面的字体排版显得既专业又带有一丝古典的韵味。我原以为这会是一本晦涩难懂的理论大部头，但翻开第一章后，发现作者的叙述方式相当有条理。他们似乎非常注重将抽象的概念与实际的应用场景联系起来，这对于我这种更偏向工程实践的读者来说，简直是福音。书中的插图和图表制作得非常精良，很多复杂的公式推导都有详尽的步骤分解，这一点我非常欣赏。比如，在讲解偏微分方程在流体力学中的应用时，作者没有直接抛出复杂的边界条件，而是先用一个简单的物理模型进行了铺垫，使得理解门槛大大降低。当然，对于那些已经对高等数学有深入研究的专家来说，可能某些基础部分的讲解显得有些啰嗦，但对于初学者或者希望巩固基础的人来说，这种详尽性无疑是极大的帮助。总的来说，这本书的结构搭建得非常稳固，像是为一本复杂的工具书打下了坚实的地基，让人对后续内容的深度抱有很高的期待。

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说实话，这本书的阅读体验有点像在攀登一座设计精巧但难度不低的阶梯。前三分之一的章节，内容组织得如行云流水般顺畅，公式推导清晰，逻辑链条紧密，让人信心倍增。然而，一旦进入到随机过程和概率论的高级主题时，难度曲线陡然拉升，几乎是以一个垂直的角度向上。我不得不承认，我花了好几个下午，反复研读其中关于马尔可夫链的状态转移矩阵那几页，感觉作者的笔锋一下子变得非常“精炼”，很多中间的过渡步骤被省略了，留给读者的想象空间过大，这对我来说是一个不小的挑战。此外，书中引用的参考文献列表非常庞大和专业，这固然体现了其学术严谨性，但对于希望快速跟进最新研究的读者来说，可能需要花费额外的时间去筛选哪些是基础，哪些是拓展。这本书要求读者具备较高的主动性和自学能力，它不会手把手地牵着你走，而是提供工具和方向，让你自己去凿山开路。

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这本书的排版和校对工作做得相当出色，很少见到如此清晰、几乎没有印刷错误的专业书籍。纸张的质感也很好，即使用荧光笔做了大量的标记，书页也不会出现洇墨的现象。从编辑的角度来看，这本书的章节划分体现了作者深厚的教学经验，内容循序渐进，逻辑层次分明。唯一的遗憾在于，虽然书本提供了大量的练习题，但遗憾的是，它似乎并没有附带一个详尽的解答手册或者官方的解题资源。对于那些需要通过做题来检验理解程度的自学者而言，这无疑是一个不小的障碍。很多练习题的难度设置得恰到好处，既能巩固基础，又能引入一些新的思考角度，但缺乏验证答案的过程，使得我们在自我纠错时总感觉缺少了一把“标尺”。如果出版社能考虑推出配套的习题解析，这本书的实用价值将会再提升一个档次，成为真正的全能学习伴侣。

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