An Elementary Treatise on Quaternions [ 1890 ] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Cornell University Library

作者:Peter Guthrie Tait

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2009-08-10

价格:USD 29.99

装帧:Paperback

isbn号码:9781112343070

丛书系列:

图书标签:

• Quaternions
• Mathematics
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《一个关于四元数的初等论述》[1890] 书籍简介 作者： 威廉·罗恩·汉密尔顿爵士 (Sir William Rowan Hamilton) 出版年份： 1890年（后人整理与修订版） 主题领域： 数学、代数、几何 --- 导言：代数革命的先声 《一个关于四元数的初等论述》（An Elementary Treatise on Quaternions）并非仅仅是一部数学教科书，它是对十九世纪数学思想的一次深刻反思与结构性重塑的尝试。这部著作的核心，是对威廉·罗恩·汉密尔顿爵士毕生心血——四元数理论（Quaternions）——进行的系统化梳理和普及性阐释。尽管四元数在二十世纪初逐渐被更现代的向量分析和张量理论所取代，但本书在数学史上的地位不可磨灭，因为它标志着人类对超越三维欧几里得空间进行代数运算的首次成功的、完备的探索。 本书旨在以一种相对“初等”的方式（相对于作者更艰深的早期笔记和论文），向当时的读者群体介绍这一革命性的代数系统。它试图将复杂的、高度抽象的代数概念，通过清晰的几何直观和严格的代数推导相结合的方式呈现出来，以期使更广泛的数学家和物理学家能够理解并应用这一新工具。 第一部分：对复数系统的延展与动机 本书的开篇着重于为四元数的引入奠定基础，这种铺陈极具说服力。汉密尔顿首先回顾了复数（Complex Numbers）在平面几何和代数中的成功应用。他指出，复数 $a + bi$ 成功地将一维的实数线扩展到了二维的复平面上，使得乘法运算不仅代表了尺度的变化，还引入了旋转的概念。 然而，汉密尔顿提出的核心问题是：我们能否将这种成功的代数结构进一步扩展到三维空间？他详细论述了尝试构建“三元数”（Ternions）的困难。在尝试将 $a + bi + cj$（其中 $i$ 和 $j$ 为两个互相垂直的单位向量）应用于空间旋转时，他发现了一个根本性的障碍：在三维空间中，不存在一个单一的代数乘法规则，能够同时完美地处理空间中的旋转和平移，且保持乘法的结合律和分配律的完备性。 这种对三维代数障碍的深入剖析，构成了转向四元数的逻辑起点。作者清楚地表明，任何低于四维的代数结构都无法在保持数学优雅性的前提下，完全捕获空间运动的本质。 第二部分：四元数的结构与基本运算 在确立了理论必要性之后，本书系统地介绍了四元数的定义。四元数 $q$ 表示为： $$q = w + xi + yj + zk$$ 其中 $w$ 是纯量部分（Scalar Part），而 $xi + yj + zk$ 是向量部分（Vector Part）。$i, j, k$ 是三个互相垂直的单位向量，它们遵循着著名的、非交换性的乘法规则： $$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$$ 以及由此导出的循环关系（如 $ij = k, ji = -k$）。 本书的重点在于对这些基本运算的详细阐述。作者花费大量篇幅解释了四元数的加法、减法、乘法（这是最复杂的部分）和除法。特别是乘法，它不再是简单的交换的，这是四元数理论最具革命性也最难以接受的特性之一。汉密尔顿细致地演示了如何利用这些非交换性规则来处理空间中任意两个向量的乘积，指出这种乘积具有几何上的双重意义：它既包含了两个向量的“标量积”（点积的某种对应物）又包含了“向量积”（叉积的某种对应物）。 第三部分：几何意义与空间变换 本书的核心价值在于它将抽象的代数工具与具体的几何实在连接起来。汉密尔顿利用四元数来描述三维欧几里得空间中的刚体运动，特别是旋转。 他清晰地展示了如何用一个单位四元数（其纯量部分为零，即纯向量）来表示空间中的一个旋转轴和一个旋转角度。通过一个四元数 $q$ 对另一个四元数 $p$ 进行“共轭乘法”运算（即 $p' = q p q^{-1}$），可以精确地描述点 $p$ 绕着由 $q$ 定义的轴旋转 $ heta$ 角后的新位置 $p'$。 本书通过大量几何插图和构造性证明，确立了四元数在描述空间定向和转动方面的优越性。它为后来的航空学、刚体力学以及更抽象的李群理论奠定了代数基础。作者强调，四元数不仅能够描述一个瞬间的旋转，还能用于描述连续的运动轨迹，这在当时的物理学研究中是前所未有的。 第四部分：微积分的应用与物理学展望 在后半部分，汉密尔顿尝试将四元数代数推广到微积分领域。他探讨了四元数函数的微分和积分，试图发展一种“四元数分析”来替代当时依赖于复变函数理论的偏微分方程方法。 虽然本书的微积分部分在后来的发展中被向量分析（特别是亥姆霍兹和吉布斯的工作）所取代，但其初衷在于为描述电磁场、流体力学中的场量提供一个统一的语言。他展示了如何使用四元数的“散度”（Divergence）和“旋度”（Curl）的概念（虽然尚未完全定型），来表达空间中场的性质。 总结与历史影响 《一个关于四元数的初等论述》是一部充满矛盾的杰作。它在推广一种极其强大但最终走向边缘化的数学工具方面做得无可挑剔，其结构严谨，逻辑清晰，体现了汉密尔顿对数学形式美的极致追求。 对于当时的读者而言，本书是理解“超复数”概念的必读之作。它展示了如何通过引入新的非交换代数规则，来克服描述三维空间运动的内在困难。尽管四元数最终在二十世纪上半叶的物理学界让位于更具解析性的向量系统，但本书作为系统化阐述四元数理论的经典文献，其历史价值和对代数结构思考的深度，使其至今仍是数学史研究中不可或缺的里程碑。它是一扇通往十九世纪数学思想深处的窗口，展示了超越我们日常直觉的代数可能性的边界。

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刚拿到这本《An Elementary Treatise on Quaternions [ 1890 ]》，感觉就像是进入了一个古老而又充满智慧的宝藏。虽然我才刚刚翻开它，但那种扑面而来的学术气息，让我立刻被吸引住了。书的装帧虽然是旧式的，但却带着一种独特的质感，仿佛能触摸到那个时代的思想火花。纸张略显泛黄，字迹也带着些许印刷的痕迹，这些都让阅读的过程变得格外有仪式感。我特别期待书中那些经典的数学符号和推导过程，我知道，这本书的作者（我想应该是Hamilton吧，虽然书名没有直接写出作者名，但这个时期关于四元数的经典著作，很可能就是他的。）一定是位严谨而又富有洞察力的数学家。我希望通过这本书，能对四元数的概念有一个更深入、更直观的理解。毕竟，在现代的许多科学领域，如物理学、计算机图形学等，四元数都扮演着不可或缺的角色，而理解它们的根源，对于我来说，就像是打通了理解这些现代应用的关键脉络。这本书看起来不是那种可以快速浏览的读物，它需要静下心来，慢慢品味，逐字逐句地去理解。我准备好了一杯咖啡，找了个安静的角落，打算沉浸在这场数学的探索之中。

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当我第一次看到这本书的封面，一种莫名的吸引力便油然而生。1890年的出版日期，本身就赋予了它一种历史的厚重感和权威性。我一直认为，理解一个数学概念，最好的方式之一就是去了解它的起源和发展。这本书，无疑为我提供了一个绝佳的机会，去探寻四元数这一重要数学工具的早期面貌。我猜测，书中的语言风格可能比现代的数学书籍更加考究，甚至可能带有那个时代的学术韵味。这对我来说，不仅是学习知识，也是一种语言和文化上的体验。我尤其好奇，在那个没有强大计算工具的时代，数学家们是如何进行如此精密的推导和论证的。这本书的出现，就像是给我打开了一扇通往数学发展史的窗户，让我得以一窥那些塑造了现代科学的智慧结晶。我期待在阅读中，能够感受到那种纯粹的数学之美，以及其中蕴含的严谨与深刻。

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这本书的出现，在我对抽象代数产生浓厚兴趣的当下，简直是如获至宝。我之前接触过一些关于群论和环论的入门书籍，但总觉得缺少了点什么，一种能够将这些抽象概念与几何直觉联系起来的桥梁。我隐隐觉得，四元数可能就是这样一种工具。我之所以选择这本1890年的版本，一来是出于对经典数学著作的崇敬，二来也是希望能够追溯四元数理论的早期发展轨迹，看看在没有现代高等数学工具的辅助下，先驱们是如何一步步构建起这个精妙的数学体系的。我猜想，书中的例子和证明会比现代教材更加详尽，也可能会包含一些如今已经不再常见的证明技巧，这对我来说是极大的学习机会。我非常期待那些可能出现的，充满年代感的插图或者图表，它们或许能为理解复杂的数学关系提供意想不到的帮助。读这本书，我不仅仅是在学习数学知识，更是在感受一种历史的厚重感，仿佛能与百年前的数学家们进行一场跨越时空的对话。

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这本《An Elementary Treatise on Quaternions [ 1890 ]》对我来说，是数学学习旅程中的一个重要里程碑。我一直对数学理论背后的哲学思考和历史渊源很感兴趣，而四元数，作为一种革命性的数学结构，其诞生和发展本身就充满了故事。我希望通过这本书，能够更清晰地理解四元数是如何从复数演变而来，以及它在解决三维空间问题上的独特优势。我猜想，书中可能会包含一些非常有启发的例子，能够将抽象的数学概念具象化，帮助我建立直观的认识。我也期待这本书能够帮助我理解，为什么在当时，四元数会引起如此大的争议，以及它最终是如何被接受并融入到数学体系中的。对我而言，这不仅仅是一本关于数学的书，更是一部关于数学思想演变和创新的历史文献，它能让我从中汲取知识，更能激发我对数学探索的热情。

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我并非数学专业出身，但对数学的探索欲望却从未减退。最近我对向量和复数有了些基本的了解，了解到四元数是复数在三维空间中的推广，这让我产生了极大的好奇。这本《An Elementary Treatise on Quaternions [ 1890 ]》在我看来，就像是一扇通往更广阔数学世界的大门。尽管书名带有“Elementary”（基础），但我知道，在数学领域，“基础”往往也意味着一定的深度和挑战。我希望这本书能够以一种循序渐进的方式，带领我逐步理解四元数的定义、性质以及它们的应用。我特别关注书中是否会介绍四元数在几何变换（如旋转）方面的应用，因为这对我理解3D图形和动画的底层原理非常有帮助。同时，我也希望能从中学习到严谨的数学思维和推理方式，提升自己分析和解决问题的能力。这本书对我而言，不仅是知识的获取，更是一次思维的训练。

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