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出版者:Cambridge University Press

作者:William Rowan Hamilton

出品人:

页数:834

译者:

出版时间:2009-10-31

价格:USD 53.00

装帧:Paperback

isbn号码:9781108001717

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• 姿态四元数
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• 19世纪数学

线性代数基础：从向量空间到张量分析 本书旨在为读者提供一个全面且深入的线性代数基础知识体系，它侧重于几何直觉、抽象结构的严谨性以及在现代物理、工程和计算科学中的实际应用。本书不涉及四元数理论的任何特定主题，而是聚焦于向量空间、线性变换、特征值理论以及更高级的内积空间结构。 --- 第一部分：向量空间与线性无关性 本书伊始，我们首先构建线性代数的理论基石——向量空间。我们从最直观的 $mathbb{R}^n$ 开始，逐步推广到任意域上的抽象向量空间定义。重点讨论了封闭性、加法结合律等公理的验证过程，确保读者对“向量”这一概念的理解超越了简单的箭头表示。 第一章：基础结构与运算 向量空间的定义与实例： 涵盖了多项式空间 $P_n(F)$、函数空间 $C[a, b]$ 以及矩阵空间 $M_{m imes n}(F)$ 作为向量空间的例子。强调了域 $F$ 的选择对整体结构的影响。 子空间： 详细探讨了子空间的判定标准，并引入了和子空间、交子空间的概念。通过具体的例子（如平面中的直线、三维空间中的平面），巩固几何直觉。 线性组合、跨越集与张成： 深入分析了线性组合的构造性意义。通过大量的示例，读者将掌握如何确定一个向量集是否能“张成”整个空间，以及如何用最少的向量来表示一个空间。 第二章：线性无关性、基与维度 本章是连接直观几何与精确代数的桥梁。我们严格定义了线性无关性和线性相关性，并展示了其在简化向量描述中的核心作用。 线性无关性的判断： 提供了系统化的算法来检验一组向量是否线性无关，特别是在高维空间中。 基（Basis）： 严格定义了基的概念——既是生成集又是线性无关集。我们证明了任何向量空间（如果存在）的基的元素个数是固定的，从而导出了维度（Dimension）的概念。 基的变换与坐标表示： 探讨了在不同基之间进行坐标转换的方法。这为后续的矩阵表示打下了坚实的基础，展示了坐标系选择对表示形式的剧烈影响。 子空间的维度定理： 重点讨论了 $dim(U+W) = dim(U) + dim(W) - dim(U cap W)$ 等核心定理，并将其应用于零空间和列空间。 --- 第二部分：线性变换与矩阵表示 本部分将抽象的线性映射具象化为矩阵运算，这是线性代数最强大的工具之一。 第三章：线性变换 定义与性质： 详细阐述了线性变换 $T: V o W$ 必须满足的两个条件：可加性和齐次性。我们分析了恒等变换、零变换以及投影变换的特性。 核空间（Null Space/Kernel）与像空间（Range/Image）： 深入研究了线性变换的两个关键子空间。核空间衡量了变换的“失真”程度，而像空间则描述了变换的“输出范围”。 秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）： 提供了关于输入维度、零空间维度和像空间维度之间关系的深刻洞察，是理论分析的基石。 第四章：矩阵代数与坐标变换 矩阵的乘法与复合变换： 将矩阵乘法解释为线性变换的复合运算。通过详细的例子，展示矩阵乘法的非交换性在几何意义上的体现。 矩阵的等价性与相似性： 区分了行等价（Row Equivalence，对应于基变换）和相似性（Similarity，对应于坐标系变换）。 初等矩阵与矩阵的求逆： 系统地介绍了初等行变换（Elementary Row Operations）如何通过初等矩阵实现，并利用初等矩阵推导出行列式的性质和矩阵求逆的算法（高斯-若尔当消元法）。 --- 第三部分：特征值、特征向量与对角化 本部分探讨了线性变换在特定方向上仅表现为伸缩的“不变方向”，这是分析动力学系统和稳定性问题的核心。 第五章：特征值理论 特征方程与特征值： 导出了求解特征值和特征向量的必要方程 $det(A - lambda I) = 0$。我们强调了特征值可以为复数这一事实，即便原矩阵元素为实数。 特征子空间： 针对每个特征值 $lambda$，我们研究与其对应的特征向量张成的特征子空间 $E_lambda$，并讨论了代数重数与几何重数的概念及其关系。 可对角化性（Diagonalizability）： 提出了一个向量空间（或矩阵）可以被对角化的充要条件，并展示了对角化矩阵在计算矩阵幂 $A^k$ 或矩阵指数 $e^A$ 时的巨大便利性。 第六章：实对称矩阵与正交性 本章将焦点置于具有优良性质的实对称矩阵上，它们在欧几里得空间中具有特殊的几何意义。 内积空间基础： 引入了内积（点积）的概念，定义了长度、角度和正交性。 施密特正交化过程（Gram-Schmidt Process）： 提供了一种构造给定向量集正交基的算法，这是傅里叶分析和投影理论的基础。 谱定理（Spectral Theorem for Symmetric Matrices）： 证明了实对称矩阵总是可以被正交对角化，即存在一个正交矩阵 $Q$ 使得 $A = Q D Q^T$。这深刻揭示了对称结构在物理中的普遍性。 --- 第四部分：高级结构与应用 最后一部分将线性代数的工具扩展到更广阔的领域，特别是二次型和张量分析的初步介绍。 第七章：二次型与主轴定理 二次型的定义与矩阵表示： 研究形如 $mathbf{x}^T A mathbf{x}$ 的表达式，其中 $A$ 是对称矩阵。 正定性、半正定性与惯性定理： 讨论了二次型的分类，如何通过主子式或特征值来判断正定性，这在优化问题中至关重要。 主轴定理的应用： 通过旋转坐标系（正交变换）消除二次型中的交叉项，将其简化为只含平方项的形式，这是理解椭圆、抛物线和双曲线几何性质的关键。 第八章：从矩阵到张量（简介） 本章作为选读章节，旨在引导读者进入更高级的结构。 张量的基本概念： 将张量视为高阶线性映射或多重线性函数。区别于向量（一阶张量）和矩阵（二阶张量）。 张量的坐标变换法则： 简要介绍了协变与逆变分量的概念，为理解广义相对论和连续介质力学中的张量表示奠定初步概念。 拉普拉斯方程与本征值问题： 简要回顾了傅里叶分析中本征值问题（例如热传导方程的求解）与本章所学的特征值理论的联系。 --- 本书特点： 几何驱动： 每一代数概念都配有直观的几何解释。 严谨性与计算性并重： 理论证明清晰，同时提供大量可操作的计算步骤和算法。 丰富的习题集： 章节末尾包含大量的计算题和概念性探究题，以巩固对线性代数核心思想的掌握。 本书适合对象： 物理学、工程学、计算机科学（特别是机器学习和数据科学）的学生，以及任何希望对现代数学工具建立坚实基础的读者。它提供了一个独立于特定超复数代数（如四元数）的、自洽且完备的线性空间理论框架。

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我第一次看到《Elements of Quaternions》这本书的时候，就被它那种“不动声色”的魅力所吸引。它不像市面上很多书籍那样，用醒目的标题和鲜艳的色彩来吸引眼球，而是以一种低调而沉稳的姿态，静静地躺在那里，仿佛在等待着有缘人的发掘。我还没有真正去深入阅读它的内容，但仅仅是触摸它粗糙的纸张，闻到那股淡淡的油墨味，就足以让我产生一种莫名的期待。我之前对一些比较抽象的数学概念一直抱有浓厚的兴趣，而四元数，在我看来，就像是数学世界里一个充满诗意的存在，它能够用一种我们尚未完全理解的方式，来描述和操控空间。我希望这本书能够成为我探索这个领域的“启蒙之书”，能够为我揭示四元数背后那些令人着迷的数学结构和应用。我猜想，这本书的论述方式可能会比较“考究”，甚至是有一些“哲学”的味道，但这正是我所期待的，因为我认为，真正的数学智慧，往往蕴含在那些看似简单却又深刻的洞察之中。我打算把它当作我的“枕边书”，在每一个睡前的片刻，去感受它带给我的数学灵感。

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拿到《Elements of Quaternions》的时候，我脑海里浮现的第一个画面，就是一位一丝不苟的数学家，在昏暗的灯光下，用羽毛笔在羊皮纸上悉心演算的场景。这本书的外观，尤其是它的封套设计，就透露出一种“学术禁地”般的庄重感，仿佛在提醒读者，这绝非一本轻松的读物，而是需要付出足够的努力才能攻克的堡垒。我至今还未深入钻研其具体内容，但我对它充满了莫名的期待。我一直对那些“非主流”但又极其强大的数学工具情有独钟，而四元数恰恰就是其中一个。我相信，这本书一定能够为我打开一扇新的窗户，让我以一种全新的视角去理解和处理那些在传统复数或者向量运算中显得尤为繁琐的问题。我猜想，这本书的行文风格可能会比较“古朴”，甚至是有些晦涩，但这恰恰是我所欣赏的，因为它意味着作者的思考是深入且纯粹的，没有被现代的浮华所干扰。我希望在阅读的过程中，能够感受到那种严谨的逻辑推导和深刻的洞察力，让我的数学思维得到一次彻底的“洗礼”。我准备把它放在书桌最显眼的位置，每天激励自己去挑战它，去征服它。

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我不得不说，《Elements of Quaternions》这本书的外观就给我一种“老派”绅士的感觉，那种历经岁月沉淀的质感，让人一看就心生敬意。我还没来得及翻开它的扉页，就已经被它沉甸甸的分量和纸张特有的油墨香所吸引。现在市面上很多书都追求轻薄和新潮，而这本书却恰恰相反，它用一种近乎“固执”的方式，保留着那个时代的严谨和厚重。我非常喜欢这种风格，它似乎在告诉我，这不仅仅是一本书，更是一件可以传承的“物件”，里面承载着前人的智慧和探索。我之前对数学史有一些涉猎，知道四元数在数学发展史上扮演过重要的角色，虽然具体细节我还不甚了然，但光是想到它的历史意义，就足以让我对这本书充满好奇。我猜想，这本书的语言可能会比较学术化，句子结构也可能比较复杂，但这正是我所追求的，我希望能在阅读过程中，不仅仅是获取知识，更是一种与古老智慧的对话。我有点期待，它能否像一位博学的导师，用一种沉稳而深邃的方式，为我揭示四元数背后那些令人惊叹的数学原理。我不会急于求成，而是会慢慢品味，就像品尝一杯陈年的威士忌，在每一个细节中体会它的醇厚。

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哇，终于拿到了这本梦寐以求的《Elements of Quaternions》！我当初被它深深吸引，完全是因为那股古老而神秘的数学气息，仿佛里面藏着宇宙深处的奥秘。封面上的字体设计就透着一股厚重感，一看就知道是经典之作。我至今还没有真正深入地去研读它的内容，但光是想象着其中蕴含的那些精妙绝伦的代数结构，就足以让我兴奋不已。据说这本书的语言风格比较独特，可能需要花费不少精力去适应，但我坚信，任何一点付出都会是值得的。我特别期待它能给我带来全新的数学视角，尤其是在向量和复数之外，还能有怎样一种更强大的工具来描述空间和旋转。我之前读过一些关于线性代数的入门书籍，虽然学到了一些基础概念，但总觉得在处理三维空间的问题时，还有些捉襟见肘。我希望这本书能成为我的“点石成金”之石，让我能够更优雅、更高效地解决那些棘手的几何问题。我甚至有点幻想，这本书是否会像某个隐藏的宝藏地图，指引我走向更广阔的数学海洋。当然，我深知这不是一本“速成”的书，它的价值需要时间和耐心去挖掘。但正是这种挑战性，让它显得更加珍贵。我打算在接下来的几个月里，每天抽出一点时间来啃它，把它当作一种精神上的“修行”，在一次次的思考和领悟中，让自己的数学思维得到升华。

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《Elements of Quaternions》这本书，从我拿到它那一刻起，就散发出一种独特的“学院派”气息。我还没真正开始阅读它的任何一个章节，但仅仅是翻阅它的目录和前言，就能感受到其中蕴含的深厚底蕴。我之前接触过一些关于高等代数的书籍，但四元数这个概念，总是在我脑海中留下一种模糊而又充满魅力的印象。我一直觉得，那些能够概括和统一更复杂数学概念的工具，往往蕴藏着惊人的力量。这本书的外观设计，也恰如其分地体现了这一点，它没有花哨的装帧，只有一种沉静而坚定的姿态，仿佛在告诉你，它的价值不在于“颜值”，而在于它“内秀”的智慧。我期待这本书能够为我提供一个系统而完整的框架，让我能够真正理解四元数的代数结构，以及它们在几何学、物理学等领域中的应用。我猜想，这本书的语言风格可能会比较严谨，甚至是有些“古板”，但这正是我想看到的，因为我认为，数学的魅力就在于那种不掺杂质的逻辑和清晰的表达。我希望它能像一位循循善诱的老师，带领我一步步走进四元数的奇妙世界。

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