相空间中的调和分析 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:世界图书出版公司

作者:Gerald B. Folland

出品人:

页数:277

译者:

出版时间:2009-8

价格:35.00元

装帧:

isbn号码:9787510005428

丛书系列:

图书标签:

• 调和分析
• 数学
• physics
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• 动力系统
• 非线性分析
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• 数学物理
• 常微分方程
• 拓扑学
• 算子理论

暂定书名：《拓扑动力学与非线性系统的几何理论》 图书简介 本书旨在为读者提供一个深入、系统的视角，以理解现代拓扑动力学和非线性系统理论的核心概念、前沿进展以及它们在复杂系统分析中的应用。本书的构建逻辑严密，从基础的拓扑空间和流形理论出发，逐步深入到动力系统的微分几何结构、稳定性分析、混沌现象的拓扑表征，并最终探讨了在当代科学领域中这些理论的实际应用。 第一部分：拓扑与微分几何基础回顾 在深入研究动力系统之前，本书首先对必要的数学工具进行了详尽的复习和梳理。我们从拓扑学的基本概念入手，包括拓扑空间、连续映射、紧致性、连通性以及同胚等。这部分内容旨在为后续的拓扑动力学研究奠定坚实的集合论和空间结构基础。 紧接着，我们转向微分几何，重点关注光滑流形的概念。详细阐述了切空间、向量场、微分形式以及张量场的构造。流形上的光滑向量场被定义为动力系统的生成元，因此，我们花费大量篇幅讨论了向量场的积分流（Flow）的局部存在性与唯一性，以及全局流的性质。这部分内容强调了微分几何语言在描述光滑系统中轨迹演化过程中的优越性。 第二部分：动力系统的基本结构与线性化分析 在奠定几何基础后，本书正式引入动力系统的概念，特别是常微分方程组描述的局部动力系统。我们系统地分析了定常解（不动点）的稳定性。针对不动点，本书详尽阐述了线性化理论，包括特征值分析在判断鞍点、节点、焦点（稳定与不稳定）中的作用。 对于更高维度的系统，我们引入了李雅普诺夫函数和李雅普诺夫稳定性理论，这是判断系统全局稳定性的核心工具。同时，本书也深入探讨了周期解（极限环）的存在性，并应用庞加莱-霍普夫（Poincaré-Hopf）等经典定理来证明极限环的存在。 第三部分：拓扑动力学核心概念 本部分是本书的理论核心，专注于从拓扑角度而非纯解析角度审视动力系统的长期行为。我们首先定义了拓扑共轭的概念，强调了拓扑共轭是衡量两个动力系统在拓扑意义上等价性的黄金标准。 随后，我们深入探讨了耗散系统与保守系统在拓扑结构上的本质区别。对于耗散系统，我们引入了吸引子（Attractor）的概念，特别是全局渐近稳定集。本书详细分析了庞加莱截面法（Poincaré Section）在降维分析高维周期或混沌系统中的应用，并阐述了庞加莱截面的拓扑不变量。 第四部分：混沌的几何与拓扑特征 混沌现象是现代非线性动力学研究的焦点。本书将混沌的理解置于拓扑结构之中。我们着重分析了混沌系统的几个关键拓扑特征： 1. 敏感依赖性： 尽管这是分析性的描述，但我们将其与拓扑中的局部形变联系起来，特别是与扩张映射的关系。 2. 拓扑混合性（Topological Mixing）： 详细解释了什么是拓扑混合性，以及它是如何保证系统状态空间中任意两个非空开集最终会发生交叠的。 3. 稠密周期轨道： 对于具有拓扑混合性的系统（如拓扑熵大于零的系统），我们证明了周期轨道的稠密性，这是区别于一般耗散系统的关键特征。 本书专门引入了拓扑熵（Topological Entropy）这一核心不变量，用以量化系统遍历复杂度的程度。我们推导了拓扑熵与李雅普诺夫指数的界限关系，展示了拓扑结构如何为混沌提供量化指标。 第五部分：特殊流形上的动力学 本书的最后一部分将理论应用于特定的几何空间，探讨在非欧几里得几何背景下的动力学行为。 我们详细考察了流形上的李群（Lie Groups）上的动力学，特别是其左不变向量场。李群的代数结构极大地简化了动力学分析，本书展示了如何利用李代数的结构来理解其上流的性质，例如在旋转群$SO(3)$上的动力学。 此外，我们还探讨了曲率对动力学的影响。在具有恒定负曲率的流形（如双曲空间）上，测地线流（Geodesic Flow）成为一个重要的保守系统模型。我们分析了测地线流的特殊性质，例如其自然地满足辛结构，并与经典力学中的哈密顿系统紧密相关。这部分内容将微分几何的弯曲概念直接转化为对轨迹分离与收敛性的深刻洞察。 结语：前沿展望 本书最后简要概述了当前该领域的研究热点，包括随机动力系统、延迟微分方程的拓扑分析，以及与统计物理中相变理论的交叉联系。 本书适合于高等数学、理论物理、应用数学及工程学中对复杂系统稳定性与长期行为感兴趣的研究生和研究人员。阅读本书需要具备微积分、线性代数以及基础微分方程的知识。通过本书的学习，读者将能够运用强大的几何与拓扑工具，对各种复杂的非线性现象进行精确的定性分析。

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量子力学古典的函数论语言转化为李群及其表示（抽象调和分析）的框架下统一书写。量子化问题本质在相空间R2n的函数f关联一个L(Rn）算子导致坐标函数对应算子动量和坐标，函数的性质关联算子的性质。另一方面拟微分算子和其象征的关系，量子化和拟微分算子关系是一个事物的两面。Wigner-外尔变换：薛定谔图像下相空间的函数和希尔伯特空间的算子可逆关系。哈密尔顿力学是保辛形式的微分同胚。量子力学发生在射影希尔伯特空间（模常数）群表示论用在量子力学的想法 任一给定能级的本征函数被群线性变换 这些变换构成群的一个表示。辛群的基本群是Z证明利用纤维化的正合同伦序列

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