多复变量 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:世界图书出版公司

作者:格兰特

出品人:

页数:207

译者:

出版时间:2009-8

价格:29.00元

装帧:

isbn号码:9787510005176

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

• 数学
• 复分析7
• 复变函数
• 多复变量
• 解析函数
• 柯西积分
• 留数定理
• 复微分几何
• 复流形
• 全纯函数
• 复分析
• 函数论

《多复变量》内容概述 本书聚焦于多复变函数论的深层结构与前沿探索，旨在为读者提供一套严谨、全面且富含洞察力的理论框架。全书结构紧凑，逻辑清晰，力求在保持数学严谨性的同时，充分展现该领域蓬勃发展的生命力。 第一部分：基础与几何拓扑（奠基与直观构建） 本部分致力于为深入研究打下坚实的分析与几何基础，重点在于构建读者对多复变环境的直观认识。 第一章：复数域的推广与拓扑基础 本章首先回顾了单复变函数论中的核心概念，如开集、紧集、连续性、可微性，并将其推广至 $mathbb{C}^n$ 空间。详细阐述了 $mathbb{C}^n$ 的标准度量和拓扑结构，强调其与 $mathbb{R}^{2n}$ 空间的内在联系。特别关注了多重连通域（如圆环域、环状区域）的拓扑性质，如基本群、同调群在描述复流形上的重要性。引入了线性泛函分析中使用的范数和拓扑向量空间的概念，为后续微分形式的定义做准备。 第二章：全纯函数与多重微分 这是全书的核心分析起点。本章引入了多重偏导数的概念，并给出了 $mathbb{C}^n$ 上函数全纯性（Holomorphicity）的严格定义。重点讨论了 Cauchy-Riemann 方程组在多变量情形下的形式——Dolbeault 方程组的齐次形式，并证明了在光滑拓扑下，全纯函数的局部性质（如无穷次可微性、幂级数展开）依然成立。深入探讨了Hartogs 定理（在 $mathbb{C}^n, n ge 2$ 中，局部全纯函数的全域性），这是多复变分析区别于单复变分析的关键分水岭。 第三章：多复变积分与基本公式 本章将积分工具提升至更高维度。详细构建了 $mathbb{C}^n$ 上的微分形式——外微分与楔积的理论。定义了 $mathbb{C}^n$ 上的楔积空间和共轭坐标下的微分形式。在此基础上，严格推导并应用了Generalized Stokes' Theorem（广化斯托克斯定理）。特别引入了多重 Cauchy 公式的推广形式，用于计算多圆筒域上的全纯函数值，并讨论了积分表示法在研究零点分布中的应用。 第二部分：经典理论的深化（凸性与势论） 本部分深入探讨了多复变分析中最核心的几何分析工具——凸性理论与势论，这些工具是理解全纯函数的全局行为的关键。 第四章：复凸性与域的结构 本章的核心是理解域（Domain）的几何性质如何决定其上全纯函数的性质。详细区分了凸集、绝对凸集、全纯凸集（Holomorphically Convex）和伪凸集（Pseudoconvex）。定义了描述这些凸性的核心函数：哈特曼函数（Hartog's function）和距离函数。重点分析了伪凸性的拓扑和微分条件，并讨论了在伪凸域上，全纯函数具有局部有界性这一关键结论。 第五章：经典凸性函数与势论 本章引入Pluripotential Theory（多重势论）。定义了对数（对数凸）势函数的概念，以及Hessian 矩阵在 $mathbb{C}^n$ 上的推广——复 Hessian 矩阵（或称 $ ext{Hessian}$ 矩阵）。严格定义了Lelong 乐谱（Lelong form）与乘积测度，用以衡量亚纯函数的增长速度和零点集合的维度。深入探讨了Descartes-Mellin 变换在多复变增长论中的应用。 第六章：多重 Jensen 公式与 Cartan-Thullen 理论 本章将单变量的 $log M(r)$ 概念推广至多变量，导出了多重 Jensen 公式，用于估计全纯函数在伪凸域上的最大模增长。重点阐述了Cartan-Thullen 微分判据，该判据为判定一个域是否是全纯凸或伪凸提供了强有力的代数和微分几何工具。讨论了 Bergman 核与 Poincaré 核在度量特定域的几何性质上的作用。 第三部分：微分几何与复结构（几何化视角） 本部分将分析工具与微分几何和复流形的概念相结合，将多复变函数论提升至现代数学的高级层面。 第七章：Kähler 流形与度量结构 本章引入了复流形的基本概念，如复坐标图、转化函数。定义了几乎复结构和全纯向量丛。核心在于Kähler 度量的引入，详细解释了 Kähler 度量如何统一了黎曼几何的度量、辛几何的辛形式以及复几何的全纯结构。推导了 Kähler 结构下微分形式的性质，特别是其满足的拉普拉斯-德拉姆方程，并讨论了Ricci 曲率在复几何中的意义。 第八章：Dolbeault 上同调与 Serre 构造 本章是连接分析与拓扑的关键。严格定义了Dolbeault 上同调群 $H^{p,q}(X)$，其中 $X$ 是一个复流形。重点分析了 $ar{partial}$ 算子的零空间和像空间。详细讨论了Serre 对偶定理在复流形上的推广，该定理揭示了函数空间与微分形式空间之间的深刻对偶性。利用上同调工具，重新审视了全纯向量丛的分类问题。 第九章：线性化问题与范数估计 本章聚焦于现代复分析中的关键问题：$ar{partial}$ 算子的解的存在性与正则性估计。讨论了Hodge 理论在 Kähler 流形上的应用，这允许将上同调问题分解为更易处理的调和形式。深入研究了Neumann 算子的构造及其性质，这是解决 $ar{partial}$ 方程的关键。最后，通过 Hörmander 的 $ ext{L}^2$ 估计，给出了在伪凸域上 $ar{partial}$ 方程解的存在性判据，这是全纯延拓理论的基石。 第四部分：超越与应用（前沿与展望） 本部分探索了多复变理论在高维空间中的最新发展及其在代数几何中的交叉应用。 第十章：亚纯函数与除法理论 本章扩展了单变量的亚纯函数概念。讨论了多复变亚纯函数的性质，如局部有界性失效，以及零点集与极点集具有复解析结构。引入了Cartier 除法理论，并探讨了Nevanlinna 目的函数在 $mathbb{C}^n$ 上的推广——多重目的函数及其增长估计。这部分内容为代数几何中函数域的研究提供了分析基础。 第十一章：复化（Complexification）与代数几何的联系 本章探讨了多复变分析如何服务于代数几何。讨论了复化域的概念，即将代数几何中的实对象提升至复数域。重点分析了Hodge 理论在代数簇上的应用，解释了为什么复解析对象（如复射影空间 $mathbb{CP}^n$）的拓扑不变量（如 Betti 数）与它们的代数结构紧密相关。讨论了Schubert 微分代数在研究复射影流形上的截面环时的应用。 第十二章：Bergman 核与度量 本章聚焦于一种强大的分析工具——Bergman 积分算子。详细介绍了Bergman 核函数的构造、性质（不变性、渐近展开）。讨论了 Bergman 度量如何作为一种内禀度量来衡量特定复域的几何形状，并探讨了其在拟共形映射理论中的重要性。最后，简要回顾了该理论在黎曼曲面到高维空间推广中的挑战与进展。 --- 本书内容严谨、覆盖面广，从基础的拓扑结构到前沿的微分几何和上同调理论，力求为研究人员和高年级研究生提供一个坚实的、可供深入挖掘的分析平台。全书的论证路径强调几何直觉与分析工具的有机结合，展现了多复变函数论作为一门连接几何、分析和拓扑的统一科学的魅力。

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