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出版者:Birkhäuser Boston

作者:Ricardo Estrada

出品人:

页数:437

译者:

出版时间:1999-12-10

价格:USD 99.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780817640859

丛书系列:

图书标签:

• Singular Integral Equations
• Integral Equations
• Mathematical Analysis
• Functional Analysis
• Operator Theory
• Partial Differential Equations
• Complex Analysis
• Applied Mathematics
• Numerical Analysis
• Boundary Value Problems

《奇异积分方程》 内容概述 《奇异积分方程》一书，深入探讨了奇异积分方程理论及其在物理、工程、数学等多个领域中的应用。本书旨在为读者提供一个系统、严谨的学习框架，使之能够透彻理解奇异积分方程的定义、性质、求解方法以及其在解决实际问题中的强大能力。内容涵盖了从基础概念到前沿进展的广泛主题，特别强调了理论的严谨性和方法的实用性。 第一章 基础概念与初步介绍 本章首先引入了积分方程的基本概念，区分了第一类和第二类积分方程，并简要介绍了它们的普遍性。随后，重点聚焦于奇异积分方程的定义。这里的“奇异”一词，指的是积分核在某些点上可能存在奇点，或者积分区域本身包含边界点。这一特性使得奇异积分方程的求解比普通积分方程更具挑战性，但也赋予了它们处理更广泛物理现象的能力。 本章详细阐述了导致积分核奇异的常见原因，例如核函数包含像 $|x-y|^{-alpha}$ 这样的形式，其中 $alpha ge 0$。此外，还探讨了积分区域的边界特性，例如在有限区间上的积分，积分核在端点处表现出奇异性。 为了更好地理解奇异性，本章引入了勒贝格积分的概念，并简要回顾了函数空间，特别是 $L^p$ 空间的性质。这些数学工具对于后续分析奇异积分方程的解的存在性、唯一性以及稳定性至关重要。 最后，本章通过一些典型的奇异积分方程例子，如柯西型奇异积分方程和弗雷德霍姆型积分方程，让读者初步感受奇异积分方程的特点和求解的初步思路。这些例子将为后续章节更深入的理论探讨打下基础。 第二章 柯西型奇异积分方程 柯西型奇异积分方程是奇异积分方程中最重要和最常见的一类。本章将对其进行系统性的分析。 2.1 定义与分类 详细定义了形如 $$ a(x)u(x) + b(x) frac{1}{pi i} int_{Gamma} frac{g(y)}{y-x} dy = f(x) $$ 的柯西型奇异积分方程，其中 $Gamma$ 是一个或一组光滑闭合曲线， $u(x)$ 是待求的未知函数，$a(x), b(x), f(x)$ 是已知的函数，$g(y)$ 是积分核的一部分。重点分析了不同情况下（例如 $Gamma$ 是单位圆，实轴等）核函数的奇异性。 2.2 求解方法 半平面上的柯西型奇异积分方程： 重点介绍了使用乔治·佩利（G. G. Pölya）和胡戈·维尔（H. Weyl）等数学家发展的方法。这包括利用黎曼-希尔伯特问题（Riemann-Hilbert problem）的理论，将积分方程转化为复变函数问题。详细阐述了如何分解函数（factorization of functions）以及如何通过求解代数方程或积分方程来获得解。 有限区间上的柯西型奇异积分方程： 探讨了在实轴上的有限区间（如 $[-1, 1]$）上的柯西型积分方程。常用的方法包括： 多项式逼近法： 将未知函数用多项式表示，然后通过代数方法求解。 正交多项式方法： 利用切比雪夫多项式（Chebyshev polynomials）等正交多项式族的性质，将积分方程转化为代数方程组。 离散化方法： 将积分转化为求和，然后使用数值方法求解。 多连通区域上的柯西型奇异积分方程： 推广了求解方法至更复杂的区域，并讨论了索引（index）的概念在确定解的存在性和个数中的作用。 2.3 理论分析 本节将深入讨论柯西型奇异积分方程的解的存在性、唯一性和渐近行为。将结合函数空间理论，如索伯列夫空间（Sobolev spaces），来证明解的性质。 第三章 弗雷德霍姆型奇异积分方程 本章将关注另一种重要的奇异积分方程类型，即弗雷德霍姆型奇异积分方程，其积分核在积分区域内或边界上具有奇异性。 3.1 定义与特点 定义了形如 $$ u(x) - lambda int_{a}^{b} K(x, y) u(y) dy = f(x) $$ 其中积分核 $K(x, y)$ 在积分区间 $[a, b]$ 内或在边界点 $(a, y), (x, a), (b, y), (x, b)$ 处存在奇点。 3.2 奇异核的处理 幂奇点： 分析了核函数形式为 $|x-y|^{-alpha}$ 或 $(x-y)^{-alpha}$ （其中 $0 < alpha < 1$）的奇异情况，并讨论了如何通过对函数进行适当的变换，将其转化为可以处理的形式。 对数奇点： 探讨了核函数包含 $ln|x-y|$ 形式的奇异性，并提供了相应的处理技巧。 3.3 求解方法 数值逼近法： 伽辽金法（Galerkin method）： 利用一组基函数逼近未知函数，将积分方程转化为一个代数方程组。 多点配置法（Collocation method）： 在积分区域内选择若干点，使得方程在这些点上成立，从而构建代数方程组。 辛普森法则（Simpson's rule）和梯形法则（Trapezoidal rule）等数值积分技巧的改进： 针对奇异核，需要采用特殊的数值积分公式，如高斯-勒让德积分（Gauss-Legendre quadrature）结合适当的权重函数。 解析方法（在特定情况下）： 讨论了在特定类型的奇异核和区域下，可能存在的解析解法，例如通过使用SPECIAL FUNCTIONS（特殊函数）的性质。 3.4 理论分析 本节将探讨弗雷德霍姆型奇异积分方程的解的存在性、唯一性以及当参数 $lambda$ 趋于特征值时的行为。将应用Fredholm理论以及算子理论的相关概念。 第四章 奇异积分方程的应用 本章将展示奇异积分方程在各个科学与工程领域中的广泛应用，强调其解决实际问题的能力。 4.1 弹性力学与断裂力学 应力集中问题： 奇异积分方程在分析光滑表面或裂纹尖端附近的应力集中问题中扮演着核心角色。裂纹尖端的应力场通常具有奇异性，需要奇异积分方程来精确描述。 裂纹扩展分析： 模拟裂纹的萌生和扩展过程，预测材料的断裂韧性。 4.2 流体力学 翼型绕流问题： 奇异积分方程可用于求解不可压缩流体绕过翼型表面的速度势问题，分析翼型表面的压力分布和升力。 势流理论： 在处理具有自由表面的问题时，奇异积分方程能够有效地求解。 4.3 信号处理与图像恢复 反卷积问题： 信号在传输过程中常常会受到模糊（卷积），奇异积分方程可以用来求解反卷积问题，恢复原始信号。 图像去噪与增强： 通过建立数学模型，利用奇异积分方程进行图像的修复和细节的增强。 4.4 热传导与电磁学 热传导边界值问题： 在具有复杂几何形状或奇异边界条件下，奇异积分方程可以提供有效的求解途径。 电磁场分析： 求解含奇点的积分方程，用于分析天线辐射、散射等问题。 4.5 数值方法在应用中的挑战 本节将讨论在实际应用中，由于数据噪声、离散化误差以及奇异性带来的数值稳定性问题，并介绍如何克服这些困难。 第五章 高级主题与前沿研究 本章将触及奇异积分方程领域的更深入和前沿的研究方向，为有志于深入研究的读者提供指引。 5.1 混合型奇异积分方程 探讨了积分核在不同部分具有不同奇异性，或者积分区域由不同类型的边界构成的情况。 5.2 随机奇异积分方程 引入随机过程，研究含有随机项或随机系数的奇异积分方程，其在金融建模和不确定性分析中有重要意义。 5.3 多维奇异积分方程 将理论和方法推广到更高维度，处理多维空间中的奇异性问题。 5.4 奇异积分方程与算子理论的深度结合 更深入地探讨奇异积分方程与泛函分析、算子代数等抽象数学理论的联系，例如谱理论（spectral theory）在分析解的存在性、稳定性和分类中的作用。 5.5 新型奇异核与应用 介绍近年来出现的具有特定物理背景的新型奇异核，以及其在生物医学工程、地球物理学等新兴领域的应用前景。 学习建议 本书的编写假定读者具备一定的数学基础，包括微积分、复变函数、泛函分析以及基础的数值分析知识。在学习过程中，建议读者： 1. 循序渐进： 从基础概念开始，逐步深入到复杂的理论和方法。 2. 勤于思考： 对于每一个定理和公式，都尝试理解其推导过程和物理意义。 3. 动手实践： 结合书中的例子，尝试使用编程语言（如MATLAB, Python）实现数值求解算法，加深理解。 4. 关注应用： 理解数学理论与实际问题之间的联系，可以激发学习兴趣，并更好地掌握知识。 5. 参考进阶资料： 对于个别深入主题，可参考相关的专著和学术论文。 《奇异积分方程》一书，将为读者打开一扇通往深刻数学理论和强大应用工具的大门，助力其在相关领域的研究和实践中取得更大的成就。

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