Global Analysis on Foliated Spaces pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:Calvin C. Moore

出品人:

页数:308

译者:

出版时间:2005-12-19

价格:GBP 40.99

装帧:Paperback

isbn号码:9780521613057

丛书系列:

图书标签:

微分几何
流形
叶状结构
全局分析
拓扑学
几何分析
偏微分方程
动力系统
代数拓扑
函数分析

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具体描述

Foliated spaces look locally like products, but their global structure is generally not a product, and tangential differential operators are correspondingly more complex. In the 1980s, Alain Connes founded what is now known as noncommutative geometry and topology. One of the first results was his generalization of the Atiyah-Singer index theorem to compute the analytic index associated with a tangential (pseudo) - differential operator and an invariant transverse measure on a foliated manifold, in terms of topological data on the manifold and the operator. This second edition presents a complete proof of this beautiful result, generalized to foliated spaces (not just manifolds). It includes the necessary background from analysis, geometry, and topology. The present edition has improved exposition, an updated bibliography, an index, and additional material covering developments and applications since the first edition came out, including the confirmation of the Gap Labeling Conjecture of Jean Bellissard.

深度探索流形上的微观几何与宏观结构《Global Analysis on Foliated Spaces》一书并非对某一特定领域进行浅尝辄止的概览，而是深入剖析了流形分析这一核心数学分支，并特别聚焦于其中一个极具深度和广度的研究对象——叶状空间。本书旨在为读者提供一个严谨而系统的框架，理解如何在复杂的几何空间中进行分析，以及叶状结构如何深刻地影响这些分析过程。读者将在此书中踏上一段严谨的数学探索之旅，从基础概念出发，逐步触及前沿研究的精髓。本书的第一部分，我们首先为读者建立起坚实的分析学基础，为理解后续更抽象的概念铺平道路。我们将从经典实分析与泛函分析的基石出发，回顾并深化对测度论、Lp空间、Sobolev空间等核心概念的理解。这些工具不仅是理解流形上分析的语言，更是后续研究中不可或缺的分析利器。我们将讨论度量空间的完备性、完备赋范线性空间（Banach空间）的结构，以及希尔伯特空间的正交性及其在微分方程求解中的重要作用。此外，对于理解微分算子和其在流形上的行为，我们还将重点介绍泛函分析中诸如Hahn-Banach定理、Riesz表示定理等关键定理，并探讨其在偏微分方程理论中的应用。紧接着，我们将视角转向微分几何的基石——微分流形。本书将详细介绍微分流形的概念，包括光滑结构、切空间、余切空间以及向量场和微分形式。我们将深入探讨流形上的微分运算，如外微分、李导数以及流量（flow）的概念。理解这些基本概念是进入叶状空间分析的关键。我们将通过具体的例子，如球面、环面等，来帮助读者直观地理解流形的局部和整体性质。我们会着重讲解如何通过坐标图和图册来定义流形上的光滑函数和光滑映射，以及如何利用这些工具来定义切空间，进而引申出向量场和微分形式。此外，我们会详细介绍黎曼流形的度量张量，以及基于度量张量定义的各种几何量，如测地线、曲率等，这将为后续的分析提供几何背景。在充分掌握了微分流形的语言后，本书将正式引入“叶状结构”的核心概念。我们将从最基本的定义出发，解释什么是叶状化（foliation），以及叶状空间（foliated space）的构成。我们会区分不同类型的叶状化，例如光滑叶状化、解析叶状化等，并讨论它们各自的性质和研究方法。叶状化是将一个流形分解为一系列互不相交的子流形的“叶子”的过程。我们将详细阐述叶状化如何定义在流形上的一族“叶子”，以及这些叶子如何构成流形的一个分割。本书将深入探讨叶状化的一些基本性质，例如它的维度、叶子的正则性和连通性等。我们还会介绍一些经典的叶状化例子，如在环面上的线性叶状化，以及在某些特殊流形上的自然叶状化。本书的重点和核心内容将集中在对叶状空间上的“分析”的深入研究。这意味着我们将把分析工具——如微分算子、积分、以及各种收敛性概念——应用于具有叶状结构的流形之上。我们将探讨如何定义和研究叶状化上的微分算子，例如所谓的“横截算子”（transverse operators）和“切向算子”（tangential operators）。这些算子在研究叶状空间的几何和拓扑性质时扮演着至关重要的角色。我们将详细分析这些算子的性质，例如它们的椭圆性、退化性以及在不同函数空间上的行为。特别地，本书将深入研究与叶状化相关的各种重要分析对象，如横截Laplace算子（transverse Laplace operator）和Reinhardt算子。我们将分析这些算子的谱性质，例如它们的特征值和特征向量，以及这些性质如何反映叶状空间的几何结构。例如，横截Laplace算子的谱信息可以揭示叶状空间上特定函数的行为，以及流形上是否存在与叶状化相容的几何结构。我们将讨论这些算子在定义某些“正则性”或“光滑性”条件时的作用，例如研究叶状空间上的函数是否在某个意义下是“横截光滑”的。本书还将聚焦于Holonomy理论在叶状空间分析中的应用。Holonomy，或称全曲率，是一个深刻的几何概念，它描述了在流形上沿着闭合曲线平行移动向量时产生的变换。在叶状空间中，Holonomy的概念变得尤为重要，因为它与叶子之间的“连接性”和“一致性”密切相关。我们将详细阐述holonomy群的定义，以及如何利用holonomy信息来研究叶状空间的整体性质，例如它的可积性（integrability）和是否存在某些特殊的几何结构。我们将探讨holonomy如何影响叶状空间上的微分方程的解的存在性和唯一性，以及如何通过研究holonomy群的性质来分类叶状空间。此外，本书还会触及叶状空间上的积分几何。我们将讨论如何在叶状空间上定义各种类型的积分，例如沿着叶子或沿着叶子之间的“横截面”进行积分。我们将研究这些积分的性质，以及它们与叶状空间的几何和拓扑性质之间的关系。例如，我们将介绍诸如“体积形式”（volume forms）如何在叶状空间中被定义和使用，以及如何利用积分来计算叶状空间上的某些不变量。本书还将介绍拓扑不变量的概念，并展示如何利用分析工具来研究和计算这些不变量。在叶状空间的研究中，存在一些与叶状化本身紧密相关的拓扑不变量，例如Chern-Simons类和Thom类。我们将详细介绍这些不变量的定义，以及它们与叶状空间上的微分形式和积分之间的关系。我们将深入研究这些不变量的计算方法，并探讨它们在分类和区分不同叶状空间中的作用。本书的最后部分将探讨一些前沿研究方向和应用。我们将简要介绍叶状空间分析在物理学（如规范场论、弦理论）和几何学（如微分拓扑、代数几何）等领域的应用，并展望未来的研究趋势。例如，我们将讨论与量子场论中的拓扑弦理论、规范场论中的AdS/CFT对偶等概念之间的联系。总而言之，《Global Analysis on Foliated Spaces》提供了一个全面且深入的视角，来理解和研究流形上的分析，特别是具有叶状结构的流形。本书内容严谨，逻辑清晰，旨在为数学专业学生、研究人员以及任何对微分几何和分析学感兴趣的读者提供一个宝贵的资源。通过本书的学习，读者将能够掌握分析工具在复杂几何空间中的强大应用，并对叶状空间的深邃奥秘有更深刻的理解。