Integrable systems， geometry， and topology. pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:

作者:

出品人:

页数:256

译者:

出版时间:

价格:1067.00元

装帧:

isbn号码:9780821840481

丛书系列:studies in advanced mathematics

图书标签:

• Integrable Systems
• Geometry
• Topology
• Mathematical Physics
• Differential Geometry
• Symplectic Geometry
• Hamiltonian Systems
• Solitons
• Knot Theory
• Classical Mechanics

《可积系统、几何与拓扑》 本书深入探讨了数学中三个深刻而相互关联的领域——可积系统、微分几何和代数拓扑——它们在现代物理学和纯粹数学中扮演着核心角色。作者精心构建了一个连贯的框架，揭示了这些看似独立的学科如何共享深刻的结构和统一的原理。本书旨在为那些希望深入理解这些前沿领域及其相互联系的研究者和高级学生提供一本权威的参考资料。 第一部分：可积系统 可积系统是指那些拥有足够多守恒量的经典或量子系统，使得其动力学行为可以被精确求解。这一概念最早源于经典力学，如哈密顿力学中的可积流体和保守系统。本书从可积系统的基本定义和核心特征入手，重点介绍了以下几个关键方面： 守恒量与李代数： 详细阐述了守恒量在可积系统中的作用，以及它们如何与李代数产生深刻的联系。我们将考察泊松括号及其在定义守恒量方面的普适性。 Hamiltonian-Jacobi理论： 介绍Hamiltonian-Jacobi方程，这是求解可积系统的强大工具，能够将动力学问题转化为几何问题。 孤立子方程与逆散射方法： 重点关注一类重要的可积系统——孤立子方程，如Korteweg-de Vries (KdV)方程和非线性薛定谔方程。本书将深入讲解解决这些方程的逆散射方法，展示如何通过谱分析来求解非线性演化方程。 李群与李代数在可积系统中的应用： 探讨李群和李代数如何提供一个统一的语言来描述可积系统的对称性。我们将研究Symplectic流形上的李群作用，以及它们如何引导我们发现新的可积系统。 Lax对与Hamiltonian流形： 引入Lax对的概念，它是一种在时间演化中保持不变的算子表示，是证明一个系统可积性的有力证据。同时，我们将考察Hamiltonian流形，这是一个由Hamiltonian系统演化出的轨迹所形成的几何对象。 量子可积系统： 将讨论量子可积系统的概念，包括Yang-Baxter方程，以及它在量子场论和统计力学中的重要性。 第二部分：微分几何 微分几何是研究光滑流形及其上光滑函数的学科，它提供了描述空间曲率、测度和结构的数学语言。本书在这一部分将聚焦于那些与可积系统和拓扑学紧密相关的几何概念： 光滑流形与张量分析： 从基本的光滑流形定义开始，介绍切空间、余切空间、向量场和微分形式等基本概念。我们将深入研究张量分析，这是描述流形上几何对象的关键工具。 联络与曲率： 介绍联络的概念，它允许我们在流形上平行移动向量，并以此定义曲率张量。我们将重点关注黎曼流形上的度量联络和Ricci曲率，它们在描述空间的几何性质方面至关重要。 辛几何： 重点关注辛几何，它研究具有辛形式的流形。辛流形在可积系统的哈密顿力学中扮演着核心角色，本书将深入探讨其结构，如辛流形上的Hamiltonian向量场和泊松结构。 李群作用与不变微分形式： 探讨李群在流形上的作用，以及不变微分形式的性质。这将帮助我们理解可积系统中对称性的几何起源。 外微分与德拉姆定理： 介绍外微分算子及其性质，以及德拉姆定理，它将微分同调与德拉姆上同调联系起来，为理解流形的拓扑结构提供了强大的工具。 纤维丛与联络： 引入纤维丛的概念，如主丛和向量丛，以及它们上的联络。这对于理解规范场论和一些高阶可积系统的结构至关重要。 第三部分：代数拓扑 代数拓扑利用代数工具（如群、环）来研究拓扑空间，它赋予了我们量化和分类拓扑特征的能力，而这些特征在几何和物理中具有深远意义。本书的这一部分将集中于那些与可积系统和几何学相关的拓扑概念： 同伦与同调： 介绍基本群、高阶同伦群以及单纯同调和奇异同调理论。这些工具能够区分不同拓扑形状的空间，即使它们在局部看起来相似。 上同调理论： 深入研究上同调理论，特别是德拉姆上同调，它与微分几何中的微分形式紧密相连。我们将展示上同调类如何编码空间的拓扑信息。 纤维丛与示性类： 重点探讨纤维丛的拓扑性质，特别是示性类，如陈类和庞特里亚金类。这些类是流形上固有几何结构的拓扑不变量，与可积系统的对称性和几何结构有着深刻的联系。 Morse理论： 介绍Morse理论，它利用光滑函数在流形上的临界点来研究流形的拓扑结构。Morse理论与可积系统的能量函数及其临界点有着密切的联系。 Symplectic流形与拓扑： 探讨辛流形与其拓扑之间的相互作用。我们将研究辛流形上的某些拓扑不变量，以及它们如何影响可积系统的结构。 量子场论中的拓扑方法： 简要介绍代数拓扑在量子场论中的应用，例如通过拓扑量子场论来研究物理系统的拓扑性质。 本书的特色与贡献 《可积系统、几何与拓扑》的独特之处在于其对这三个领域之间深刻联系的强调。本书并非孤立地介绍每个主题，而是致力于揭示它们如何在更广泛的数学框架下相互启发和统一。 跨学科的视角： 本书提供了一个独特的视角，将可积系统、微分几何和代数拓扑的理论工具和概念融合在一起。读者将看到，辛几何是连接经典可积系统和光滑流形的桥梁，而代数拓扑则为理解这些结构的内在不变性提供了语言。 从基础到前沿： 从可积系统的基本概念和几何流形的基础知识开始，本书逐步深入到更高级的主题，如非线性演化方程的现代解法、辛流形的深入研究以及示性类的计算。 对物理学的应用： 虽然本书侧重于数学原理，但它也为理解可积系统在经典力学、量子力学、统计力学和弦理论等物理学分支中的应用奠定了坚实的基础。例如，孤立子方程在光学、流体动力学和凝聚态物理中的应用，以及规范场论中的拓扑结构。 精确的数学表述： 本书力求在数学上严谨，但同时也注重概念的清晰性和直观性。通过精心选择的例子和证明，作者旨在帮助读者深入理解核心思想。 为研究者和学生设计的： 本书既适合作为研究生和博士生的教材，也适合作为相关领域研究人员的参考书。它能够帮助数学物理、理论物理和纯粹数学领域的学者拓宽视野，发现新的研究方向。 总而言之，《可积系统、几何与拓扑》是一本旨在整合数学核心领域，揭示其深层联系的著作。通过对可积系统的精确描述、微分几何的几何语言和代数拓扑的抽象工具的探索，本书为读者提供了一个理解现代数学和物理学交叉领域强大洞察力的关键。它不仅展示了这些学科的丰富性，更揭示了它们在统一的数学宇宙中如何协同工作。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆