New Trends in Integrability and Partial Solvability pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Shabat, A. B.; Gonzalez-Lipez, A.; Manas, M.

出品人:

页数:297

译者:

出版时间:

价格:930.00元

装帧:

isbn号码:9781402018367

丛书系列:

图书标签:

• Integrability
• Partial Solvability
• Mathematical Physics
• Nonlinear Systems
• Soliton Theory
• Quantum Integrability
• Statistical Mechanics
• Condensed Matter Physics
• Differential Equations
• Algebraic Methods

《数学的边界：探索积分与可解性的新领域》 这是一本为数学爱好者、研究学者以及任何对抽象数学结构着迷的读者量身打造的深度探索之作。本书并非对某一特定数学分支的浅尝辄止，而是旨在引领读者深入理解现代数学前沿的两个核心概念——积分理论的演进与偏微分方程可解性研究的最新进展。我们不聚焦于固定的研究领域，而是着眼于数学思想如何随着时间推移而生发、碰撞、并最终塑造出新的研究范式。 在本书的开篇，我们将从积分理论的历史脉络出发，追溯黎曼积分的经典定义，并深入探讨勒贝格积分的出现如何革命性地扩展了可积函数的范畴，为分析学和概率论奠定了更坚实的基础。然而，积分的探索并未止步于此。本书将特别关注那些挑战传统积分定义的“非经典”积分概念，例如那些在函数空间、测度理论以及更抽象的数学对象上进行积分的拓展。我们会探讨各种积分算子的性质、它们在不同数学分支中的应用，以及在处理奇异性、不规则性等复杂情况时，新积分理论所展现出的强大生命力。这部分内容将不仅仅是理论的堆砌，更会穿插一些启发性的例子，展示这些抽象概念如何直观地映射到现实世界的问题中，例如信号处理、图像分析以及物理学中的某些现象。 紧接着，我们将目光投向偏微分方程（PDEs）的广阔天地。偏微分方程作为描述自然界和工程领域无数现象的数学语言，其可解性研究一直是数学界的圣杯之一。本书不会局限于对已知解法的罗列，而是深入剖析“可解性”这一概念本身所蕴含的深刻含义。我们将从线性偏微分方程的可解性出发，探讨诸如柯西-柯瓦列夫斯卡定理、霍普夫-拉克斯定理等经典结果，并解释它们在理论上的重要意义。但真正的挑战与趣味，在于非线性偏微分方程。我们将深入探讨研究非线性方程可解性所面临的固有困难，并介绍一系列现代分析技术，例如能量方法、不动点定理、嵌入定理以及一些统计和概率方法，它们如何被巧妙地运用以证明特定非线性方程的存在性、唯一性或光滑性。 本书的独特之处在于，它将积分理论的最新发展与偏微分方程的可解性研究前沿紧密结合。我们将会看到，许多在积分理论中出现的抽象概念，例如各种泛函分析中的函数空间、算子理论，恰恰是证明偏微分方程可解性的关键工具。例如，对于一些具有高度奇异性或非光滑解的偏微分方程，传统的解法往往失效，此时，基于非经典积分（如分数阶积分、加权积分等）的理论分析便显得尤为重要。本书将详细阐述这些跨学科的联系，展示数学家们如何利用积分理论的强大力量来攻克偏微分方程研究中的难题。 本书还将涉猎一些近年来备受关注的热点研究方向。例如，在某些非线性偏微分方程的研究中，会出现“孤子解”或“拟周期解”，这些解通常表现出奇特的动力学行为。如何利用更精密的积分工具来理解这些解的渐近行为、稳定性以及可能的相互作用，是本书将要探讨的内容之一。此外，在概率性偏微分方程（SPDEs）领域，由于随机项的存在，其可解性研究本身就充满了挑战。我们将介绍一些处理随机积分、随机算子以及在随机环境中分析方程解的方法，这些方法往往借鉴了概率论和随机过程的精髓，并在分析学中开辟了新的天地。 对于数学建模的实践者而言，本书将提供一个更深层次的理论视角。理解不同积分形式的数学含义，能够帮助他们更准确地选择建模工具；而对偏微分方程可解性的深入认识，则有助于评估模型结果的可靠性和适用范围。本书将穿插一些与物理学、生物学、金融数学等领域相关的例子，说明这些抽象的数学概念是如何在实际问题中找到对应，并指导实际应用的。 本书的写作风格旨在平衡严谨性与可读性。我们力求在保持数学上的精确性的同时，用清晰的语言解释复杂的概念，避免不必要的术语堆砌。对于某些高度专业化的内容，我们会提供必要的背景知识和参考文献，以便读者进一步深入研究。本书的目标读者包括数学专业的本科高年级学生、研究生、博士后研究人员以及对数学理论有浓厚兴趣的资深从业者。我们希望通过这本书，能够点燃读者对数学探索的热情，激发他们在这个充满活力和机遇的领域中进行原创性研究。 总而言之，《数学的边界：探索积分与可解性的新领域》是一次关于数学思想深度与广度的航行。它邀请读者一同踏上一段旅程，穿越积分理论的演进，直抵偏微分方程可解性研究的最前沿。在这段旅程中，我们将不止步于已知，而是积极探索那些尚待揭示的数学奥秘，感受数学作为一门不断发展的、充满活力的学科的真正魅力。本书旨在为读者提供一个理解和把握数学发展方向的独特视角，并为他们未来的研究提供宝贵的启示和工具。

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