Limit Theorems for Randomly Stopped Stochastic Processes pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Silvestrov, Dmitrii S.

出品人:

页数:398

译者:

出版时间:2003-12

价格:1826.00元

装帧:

isbn号码:9781852337773

丛书系列:Probability and its Applications- A Series of the Applied Probability Trust

图书标签:

• 数学
• 随机过程
• 停时
• 极限定理
• 概率论
• 随机分析
• 鞅
• 大数定律
• 中心极限定理
• 函数空间
• 渐近理论

概率世界的边界：随机暂停下随机过程的极限理论 本书深入探索随机过程中一个迷人且应用广泛的领域：当观察过程并非预设时间长度，而是取决于其自身随机演变时，我们所能观察到的宏观规律。这种“随机暂停”的情境，在统计学、金融学、物理学乃至生物学等诸多领域都扮演着核心角色。本书旨在为读者勾勒出这类过程在极限情况下的行为模式，揭示隐藏在随机扰动之下的普适性法则。 核心概念与理论框架 本书的基石是对“随机过程”的深刻理解。我们将从基础的概率论概念出发，逐步引入各种类型的随机过程，例如随机游走、马尔可夫链，以及更复杂的扩散过程。重点在于理解这些过程如何随着时间演变，以及其演变轨迹的随机性。 随后的核心内容将聚焦于“随机暂停”这一关键概念。这意味着我们不再设定固定的观测终点 $T$（例如，观察 $n$ 秒），而是让暂停点 $T$ 本身成为一个随机变量，它的取值取决于过程所处的状态或其他内在随机性。例如，在金融领域，我们可能在资产价格首次达到某个目标值时停止交易；在医学研究中，我们可能在疾病首次出现某种症状时终止观察。理解这种随机暂停机制如何影响我们对过程的观察至关重要。 围绕随机暂停，我们将展开对“极限定理”的讨论。极限定理是概率论的支柱，它们描述了当样本量趋于无穷大时，随机变量的分布会趋于何种稳定形式。在本书中，我们将研究当样本量（或过程的演变时间）趋于无穷大，并且暂停点也以某种方式趋于无穷大时，随机暂停过程的统计量会表现出怎样的渐近行为。这通常涉及中心极限定理、大数定律等经典结果的推广和发展，以及一些针对随机暂停情境特有的极限形式，如弱收敛和依概率收敛。 关键分析工具与技术 为了有效地分析随机暂停下的随机过程，本书将引入一系列重要的数学工具和技术： 条件期望与条件方差： 在随机暂停的情境下，我们常常需要计算在某个随机时刻的状态的期望值或方差。条件期望和方差提供了处理这种不确定性的有力工具。 鞅论（Martingale Theory）： 鞅及其相关的半鞅（Semimartingale）是描述具有某些“公平游戏”特性的随机过程的重要框架。鞅论在分析随机暂停过程的性质，特别是其极限行为方面，发挥着不可或缺的作用。我们将探讨Doob-Meyer分解，以及利用鞅的收敛性定理来证明极限结果。 停时定理（Optional Stopping Theorems）： 这些定理是连接随机暂停和鞅论的桥梁。它们告诉我们在何种条件下，随机暂停过程的期望值在暂停时刻保持不变，或者以某种可控的方式变化。这对于理解和计算随机暂停过程的统计特性至关重要。 尺度变换与重整化： 许多极限定理的证明涉及到对过程进行尺度变换（例如，将时间或空间进行缩放）和重整化（例如，除以某个因子），以揭示其在不同尺度下的普适行为。本书将详细介绍这些技术在随机暂停过程中的应用。 依分布收敛与弱收敛： 我们将严谨地定义并分析随机过程在依分布收敛（Convergence in Distribution）和弱收敛（Weak Convergence）下的行为。这些概念是度量概率测度之间距离的工具，对于证明随机过程的极限分布至关重要。我们将利用随机度量空间上的拓扑性质，以及一些重要的收敛判别准则。 更新理论（Renewal Theory）： 在某些情况下，随机暂停点本身可以被看作是“更新点”，即一个过程在达到某个状态后又重新开始。更新理论提供了分析这类过程长期行为的强大方法，本书将探讨其在随机暂停模型中的应用。 内容深度与广度 本书将涵盖以下几个关键的研究方向： 1. 随机暂停下的期望值和方差的渐近行为： 研究当暂停时间趋于无穷大时，过程在暂停点的期望值和方差是否收敛到某个常数，或者如何随时间增长。 2. 中心极限定理的推广： 探索在随机暂停下，过程的某种规范化（normalized）的和或均值是否趋于正态分布。我们将考虑不同类型的暂停规则对中心极限定理形式的影响。 3. 大数定律的应用： 分析随机暂停过程的平均行为，即在长时间观察下，其平均值是否趋于某个确定的极限。 4. 平稳性与遍历性： 对于某些类型的随机过程，随机暂停可能会影响其平稳性（Stationarity）和遍历性（Ergodicity）的性质。本书将分析在这种情况下，过程的长时平均行为是否与时间平均值一致。 5. 特定模型的研究： 除了通用理论，本书还将深入研究一些具有代表性的随机暂停随机过程模型。这可能包括： 基于阈值的暂停： 例如，当过程的值超过某个阈值时暂停。 基于首次到达时间的暂停： 例如，当过程首次达到某个特定状态时暂停。 随机暂停与随机时间和随机测度的结合： 探索更复杂的随机暂停机制，例如暂停点本身也随过程随机演变，或者暂停点与过程的度量相关。 6. 应用案例分析： 穿插讲解随机暂停极限定理在实际问题中的应用，例如： 金融风险管理： 分析在特定条件下（如资产价格跌破某个水平）的风险暴露，并进行长期预测。 排队论： 研究当队列长度达到某个阈值时，系统的平均等待时间和吞吐量。 可靠性工程： 分析设备在达到某种故障模式前的使用寿命。 生命科学： 模拟生物种群在达到某个临界状态时的演变规律。 本书的价值与读者定位 本书适合对概率论、随机过程和统计学有扎实基础的研究生、博士后以及相关领域的科研人员。对于希望深入理解随机过程在动态、非固定时间观测下的行为规律，以及掌握分析这类过程的先进数学工具的读者而言，本书将提供一个全面而深入的指导。通过阅读本书，读者将能够： 掌握随机暂停下随机过程的分析框架。 理解并推导各类极限定理。 熟悉用于分析这类过程的关键数学工具和技术。 洞察这些理论在多学科领域的应用潜力。 总而言之，本书旨在为读者提供一个通往概率世界边界的窗口，在那里，随机性与观察的终止相互交织，共同塑造出令人着迷的宏观规律。

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这本书的价值，我认为在于它成功地搭建了一座连接纯概率论与实际应用领域的桥梁。虽然它的大部分篇幅专注于理论的严密性，但穿插其中的那些关于金融建模和复杂网络分析的案例研究，无疑为理论蒙上了一层实用的光芒。我记得有几章专门讨论了在信息不对称条件下，最优停止策略的设计，那里的论证逻辑之严密，让人拍案叫绝。作者似乎非常清楚读者在学习过程中可能会遇到的困惑点，并在关键的转折处设置了详尽的注释或补充说明，这些“小纸条”般的提醒，往往能立刻点亮思维的盲区。我尤其欣赏作者在论证过程中所展现出的那种批判性思维，他不仅展示了如何证明一个定理，更深入地探讨了该定理成立的边界条件和局限性，这对于我们这些希望将理论应用于真实世界挑战的研究者来说，至关重要。

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这本书的封面设计着实引人注目，那种深邃的蓝色调和银色的烫金字体，散发出一种沉稳而又充满智慧的气息。我翻开第一页，首先映入眼帘的是那份严谨的排版和清晰的字体，这立刻让我对接下来的阅读充满了信心。内容上，作者似乎对随机过程的收敛性展现了近乎偏执的专注。我特别喜欢其中关于大偏差原理的部分，它不是简单地罗列公式，而是通过一系列巧妙的例子，将抽象的数学概念具象化，让我仿佛置身于一个充满概率迷雾的森林中，而作者就是那个手持火炬的向导。尽管一些推导过程的细节极其繁复，需要反复咀嚼，但正是这种深度，让这本书超越了一般的教科书，更像是一部严谨的学术专著。对于那些渴望深入理解随机系统动态行为的读者来说，这本书无疑提供了一个坚实的理论基石。我尤其欣赏作者在处理非经典随机性时的那种精妙的数学语言，它既保持了数学的美感，又避免了不必要的晦涩。

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初读这本书，我最大的感受是它的叙事节奏把握得相当到位。它不像某些数学著作那样上来就抛出复杂的定义和定理，而是非常耐心地从一些基础的随机模型背景出发，逐步构建起读者对“随机停止”这一概念的直观认识。那种循序渐进的教学方法，对于我这种非纯数学背景的科研人员来说，简直是福音。例如，在探讨到某些特定停止规则下的依懒性问题时，作者没有急于给出最终的极限表达式，而是先用一个物理系统的类比来铺垫，这极大地降低了理解的门槛。我花了整整一个下午来研究其中关于鞅论与停止时间相互作用的章节，感觉如同进行了一次精妙的智力体操。唯一的“小遗憾”可能在于，对于某些过于前沿或高度专业化的领域，书中的讨论相对简略，或许是篇幅所限，但这也反衬出其对核心理论的把握是多么精准和聚焦。总体而言，这是一本需要慢慢品味的佳作，不适合囫囵吞枣。

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我不得不佩服作者在构建逻辑链条时的耐心和高超的技巧。整本书的结构就像一个精密的瑞士钟表，每一个章节、每一个公式推导，都如同齿轮般精确咬合，推动着整个理论框架向前发展。特别是最后几章关于近似极限定理的阐述，作者巧妙地融合了泛函中心极限定理的一些思想，并将它们融入到随机停止的框架中，这种跨领域的融合展示了作者深厚的学术功底。读完这本书，我感觉自己的数学直觉得到了极大的提升，不再仅仅满足于知道“结果是什么”，而是更关注“为什么是这样”以及“在什么情况下会失效”。对于那些希望在这领域做出原创性贡献的博士生和青年学者来说，这本书与其说是一本参考书，不如说是一份研究蓝图，它清晰地勾勒出了当前研究的前沿和潜在的突破口。文字虽显学术化，但其蕴含的学术热情是显而易见的。

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这本书的阅读体验，对于我个人而言，更像是一场与时间赛跑的智力挑战。它对读者的基础知识储备提出了较高的要求，如果你对马尔可夫链和测度论的理解不够扎实，那么在阅读中后期可能会感到步履维艰。书中的符号系统使用得非常规范和一致，这在数学文献中是难能可贵的优点，避免了因符号混乱而产生的理解偏差。然而，我注意到在某些关于高维随机场的分析部分，图示的缺乏使得抽象概念的具象化变得更加困难，或许增加一些几何解释性的插图，能更好地服务于初学者。尽管如此，其在处理某些具有非平稳性的随机序列时的创新性处理方法，绝对是值得深入研究的亮点。它迫使你跳出传统的独立同分布（i.i.d.）的舒适区，去直面现实世界中更常见的、相互关联的随机现象。

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