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出版者:

作者:Volklein, Helmut

出品人:

页数:268

译者:

出版时间:1996-8

价格:$ 163.85

装帧:

isbn号码:9780521562805

丛书系列:

图书标签:

• Galois theory
• Group theory
• Field theory
• Algebra
• Abstract algebra
• Mathematics
• Number theory
• Algebraic extensions
• Finite groups
• Polynomials

《代数基本定理》 本书深入探讨了代数的基本定理，这是数学中最深刻、最优雅的成就之一。本书旨在揭示复数域上任意多项式方程根的性质，以及由此引申出的深远代数结构。 第一部分：复数的构建与性质 在本书的开端，我们将从零开始，严谨地构建复数体系。我们将详细介绍复数的形式定义，包括实部与虚部的概念，以及复数的基本运算（加法、减法、乘法、除法）。通过引入复数的几何解释，我们将展现复数在复平面上的点状表示，并深刻理解复数模长与辐角的几何意义。 随后，我们将聚焦于复数的重要性质，特别是其代数封闭性。我们将详细阐述代数基本定理（Fundamental Theorem of Algebra）的内容：任意一个系数为复数的一元n次多项式，在复数域内至少有一个根。我们将从不同的角度和使用不同的证明技巧来理解这一核心定理，包括但不限于： 复分析方法： 利用刘维尔定理（Liouville's Theorem）的简洁证明，展示复分析的强大威力。 代数拓扑方法： 介绍基于函数的拓扑性质的证明，以及复数的“环绕数”（winding number）的概念。 代数方法： 探讨使用实数域上的多项式性质和对称多项式理论来推导的路径。 我们将详细分析代数基本定理的意义，它不仅断言了根的存在性，更指明了复数域是“代数封闭”的，这意味着在复数域内讨论多项式方程的根，我们总能找到它们，而无需扩展到更广阔的数域。 第二部分：多项式方程的根与对称性 代数基本定理为我们理解多项式方程的根奠定了基础。本书将进一步深入研究多项式根的性质，特别是对称性。 我们将详细介绍多项式根与系数之间的关系，即韦达定理（Vieta's Formulas）。我们将通过具体例子展示韦达定理如何联系多项式方程的根与系数，并解释其在求解问题中的应用。 接着，我们将引入“对称多项式”的概念。我们将定义对称多项式，并证明任何对称多项式都可以用基本对称多项式（elementary symmetric polynomials）表示。这一结论具有里程碑式的意义，它揭示了多项式根的对称性在代数结构中的核心地位。 本书还将探讨多项式根的排列组合。我们将介绍置换群（permutation groups）的概念，并说明多项式根的任意置换对应着一个置换群。这将为我们后续理解更高级的代数结构铺平道路。 第三部分：从根的对称性到抽象代数结构 在前面章节的基础上，本书将自然地过渡到抽象代数的领域，特别是群论。我们将探讨多项式根的对称性如何引申出深刻的代数结构。 我们将引入“伽罗瓦群”（Galois group）的概念。对于一个代数数域（algebraic number field）的扩张，其伽罗瓦群被定义为保持基域中所有元素不变，但可能置换扩张域中特定元素的自同构（automorphisms）组成的群。我们将详细介绍伽罗瓦群的构造方法，并阐述它与多项式根的联系。 本书的核心贡献之一将是揭示伽罗瓦群与多项式根的深刻关系。我们将展示伽罗瓦群如何编码了多项式方程根之间的对称性。我们将深入讨论伽罗瓦理论的基本定理，特别是伽罗瓦对应（Galois correspondence）。这一对应关系将建立域扩张的子域与伽罗瓦群的子群之间的精确一一对应，是理解伽罗瓦理论的基石。 我们将通过具体例子，如三次和四次多项式的伽罗瓦群，来具体说明这些抽象概念。我们将展示如何通过分析伽罗瓦群的结构来理解多项式方程的可解性。 第四部分：不可约多项式与不可解性 本书的最后部分将聚焦于不可约多项式（irreducible polynomials）以及由其引申出的代数问题的不可解性。 我们将详细定义不可约多项式，并讨论其在域扩张中的重要性。不可约多项式的根是构造代数数域的基本单元。 本书将重点探讨“根式可解性”（solvability by radicals）的概念。我们将定义一个多项式方程是根式可解的，当且仅当其所有根可以通过对域中的元素进行有限次的加、减、乘、除和开n次方运算得到。 通过伽罗瓦理论，我们将深刻理解根式可解性的代数条件。我们将证明，一个多项式方程是根式可解的，当且仅当其伽罗瓦群是可解群（solvable group）。 这一结论将引向一个令人瞩目的结果：五次及以上的一元多项式方程，一般情况下是不可根式可解的。我们将通过介绍阿贝尔-鲁菲尼定理（Abel–Ruffini theorem）的证明思路，来展示为什么五次方程无法用根式求解。这将是本书的高潮，揭示代数中存在的深刻局限性，以及抽象代数工具的强大洞察力。 本书特色： 循序渐进，逻辑严谨： 从基础的复数概念，逐步深入到抽象的群论与域扩张，逻辑链条清晰，确保读者能够逐步理解。 理论与实例结合： 穿插大量的具体例子，帮助读者理解抽象的理论概念，并展示其在实际问题中的应用。 多重视角： 尽可能从不同的数学分支（代数、复分析、拓扑）来阐述核心定理，提供更全面的理解。 为进一步学习奠定基础： 本书将为读者在代数数论、域论、以及其他高级代数领域的研究打下坚实的基础。 本书适合数学专业本科生、研究生以及对代数数学有浓厚兴趣的读者。通过本书的学习，读者将不仅掌握代数基本定理及其推论，更将深刻理解代数核心思想的演进，以及抽象代数在解决古老数学难题中的关键作用。

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这本书的文字风格非常鲜明，带着一种古典的严谨和现代的敏锐。它不像某些教科书那样冰冷刻板，而是充满了作者的个人印记——一种对数学之美的独特理解和表达方式。我注意到作者在处理一些复杂概念时，总是能找到一种非常优雅的切入点，避开了许多可能导致读者困惑的冗余描述。这种精炼的表达，使得那些原本看似遥不可及的理论，变得触手可及。当然，这种“精炼”也意味着读者需要有一定的数学基础作为支撑，否则很容易在密集的符号和概念推导中迷失方向。它更像是一本写给已经入门，但渴望攀登更高峰的数学家的指南。我特别喜欢那些穿插其中的历史背景和动机阐述，它们为纯粹的数学推理增添了人文色彩，让我明白这些理论并非凭空出现，而是解决实际问题和满足深刻好奇心的产物。总而言之，这是一部充满智慧和洞察力的著作，值得细细品味。

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我发现这本书在结构安排上体现了一种匠心独运的布局。它并非按照传统的难度线性递增的方式组织内容，而是似乎在引导读者在不同的抽象层次之间进行跳跃和联系，从而构建起一个多维度的知识网络。这种非线性的学习体验，初看有些令人不安，总觉得是不是漏掉了什么关键环节，但随着阅读的深入，你会发现这种看似跳跃的安排实则暗合了数学思想发展的内在逻辑。作者似乎更关注“连接”而非“隔离”，他总能巧妙地将看似不相关的领域联系起来，揭示出隐藏在表面之下的统一性。这种宏观的视角极大地拓宽了我对相关数学分支的认识。对于那些希望打破学科壁垒、寻求跨领域洞察的读者来说，这本书提供了一个极佳的平台，去体验不同数学工具在解决相似结构问题时的强大能力和优雅性。

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阅读体验是断断续续的，这取决于我当天的心情和精力储备。这本书的难度梯度是相当陡峭的，很多章节都需要我放下书本，拿起笔来重新演算一遍，才能真正内化其中的思想。作者似乎毫不留情地将读者置于一个需要高度集中的环境中，每一个跳跃的逻辑链条都需要读者自己去填补细节，这既是挑战，也是一种教学上的高明之处——强迫读者主动思考，而不是被动接受。我感觉自己像是在进行一场高级的智力体操，需要不断地伸展和巩固已有的知识框架。对于那些希望快速获得结论的人来说，这本书可能会令人感到不耐烦，但对于追求深度理解和证明技巧的读者，它简直是量身定做。它教会我的，不仅仅是具体的数学知识，更是一种看待和解决问题的思维范式，那种对结构完整性和内在和谐性的不懈追求，令人印象深刻。

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这本书的篇幅虽然不算冗长，但其内容的密度和信息量之高，足以让人感到“充实”甚至“超载”。每一个段落似乎都承载了极重的数学“重量”，每一个定理的引入都伴随着深刻的动机和铺垫。这要求读者必须保持高度的专注力，因为哪怕是短暂的分心，都可能导致对后续论证链条的理解出现断裂。我尤其欣赏作者在处理那些技术性极强的证明时所展现出的清晰度和条理性，即使面对复杂的运算和大量的符号，他的文字引导依然能够让人保持方向感。它成功地平衡了形式化的严谨和直觉上的可解释性，尽管这种可解释性需要读者付出相当的努力去挖掘。总而言之，这是一部需要时间、耐心和专注力去征服的学术高峰，一旦登顶，所见的风景绝对值得所有的付出。

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这本书给我的感觉，就像是走进了一座被迷雾笼罩的数学迷宫，里面充满了精妙的结构和令人困惑的关联。作者似乎对那些隐藏在代数结构深处的联系有一种近乎痴迷的热情，他不仅仅是在罗列定理和证明，更像是在讲述一个关于对称性和变换的宏大史诗。我尤其欣赏他那种抽丝剥茧的叙事方式，每一步都似乎在向你暗示着更深层次的统一性。读这本书的过程，更像是一场智力的探险，而不是简单的知识吸收。你会时常停下来，试图在脑海中构建起那些抽象概念的具象化模型，而作者总能在我即将迷失方向时，恰到好处地抛出一个关键的类比或一个令人豁然开朗的例子。它不是那种能让你一口气读完的轻松读物，更像是需要反复咀嚼、时常回顾的经典。那种需要调动所有储备知识才能理解某个论证的时刻，虽然令人沮丧，但当最终领悟到那种美妙的逻辑闭环时，带来的满足感是无与伦比的。这本书对于那些渴望深入理解代数结构底层逻辑的人来说，绝对是一份不可多得的财富。

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