Index theory for symplectic paths with applications pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026
- Index theory
- Symplectic geometry
- Symplectic paths
- Morse theory
- Critical point theory
- Topology
- Differential geometry
- Mathematical physics
- Calculus of variations
- Geometric analysis
具体描述
This book gives a systematic introduction to the index theory for symplectic matrix paths and its iteration theory, as well as applications to periodic solution problems of nonlinear Hamiltonian systems. Among the topics covered are the algebraic and topological properties of symplectic matrices and groups, the index theory for symplectic paths, relations with other Morse-type index theories, Bott-type iteration formulae, splitting numbers, precise index iteration formulae, various index iteration inequalities, and common index properties of finitely many symplectic paths. The applications of these concepts yield new approaches to some outstanding problems and important progress on their solutions. Particular attention is given to the minimal period solution problem of Hamiltonian systems, the existence of infinitely many periodic points of the Poincaré map of Lagrangian systems on tori, and the multiplicity and stability problems of closed characteristics on convex compact smooth hypersurfaces in 2n-dimensional euclidean vector space.
Researchers, graduate and postgraduate students from a wide range of areas inside mathematics or physics will benefit from this monograph. Teachers of advanced courses in symplectic geometry or Hamiltonian systems will also find it an excellent textbook.
作者简介
Specialty: Nonlinear Analysis and Symplectic Geometry
Position:
Professor and Director , Chern Institute of Mathematics
Academician of Chinese Academy of Sciences
Cheung Kong Scholar, the Ministry of Education of China
Vice President, Chinese Mathematical Society
President, Tianjin Mathematical Society
Editor of 《 Chinese Annals of Mathematics 》
Editor of 《 Advanced Nonlinear Studies 》
目录信息
读后感
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用户评价
最近翻阅了这本书的部分内容，我被作者在处理复杂几何概念时的那种细腻和精确深深地震撼了。这本书的叙事风格非常内敛，它不像某些科普读物那样试图用生动的比喻来软化数学的棱角，而是直截了当地将读者带入到问题的核心。它似乎默认读者已经对基础的辛拓扑和微分形式的语言了如指掌，因此，它在定义和定理的阐述上极尽简洁之能事。我尤其欣赏其中对某些关键定理证明的结构安排——那种层层递进、步步为营的逻辑推演，让人感觉每一步的引入都是不可或缺的。这本书的深度在于它不满足于仅仅应用已有的索引理论框架，而是似乎在尝试构建一个全新的、更适应于动态系统背景的索引不变量。我注意到其中有一章似乎涉及到了某种“边界效应”的分析，这在研究涉及穿过奇点的路径时至关重要。如果作者能够更明确地指出这些新工具与经典庞加莱-何尔德（Poincaré-Hopf）定理之间的代数或几何上的对应关系，那这本书对拓扑动力学的贡献就更大了。这本书无疑是为严肃的研究者准备的，需要沉下心来，反复咀嚼才能体会其精髓。
评分读完这本书的摘要和目录后，我立刻被其宏大的抱负所吸引。它似乎试图在代数拓扑的语言和辛流形分析的工具之间架起一座坚实的桥梁。我期待书中能对“路径空间”本身进行深入的几何描述，即如何对所有可能的辛路径进行拓扑上的组织和分类。这本书若能成功地将某一特定类型的微分方程解的渐近行为与某个特定的上同调群联系起来，那将是极其开创性的工作。我特别想了解作者是否提出了一个通用的算法框架，用于计算那些在边界条件发生微小扰动时，索引值会发生跳变的路径的精确位置。这在数值模拟和控制理论中具有极高的应用价值。这本书的论述风格想必是高度形式化的，要求读者具备极强的抽象思维能力。它不是一本用来速读的书，更像是一本需要反复研习、在白板上推导草稿的参考手册。如果它能为解决某些未解决的关于黎曼几何中测地线聚焦问题的辛几何对偶提供一些新的线索，那么它无疑将成为该领域内一部里程碑式的著作。
评分这本书的排版和视觉呈现给我留下了深刻的印象，这绝不是一本随意拼凑的教科书。从装帧的质感到内文的字体选择，都透露着一种对学术严谨性的尊重。更重要的是，章节之间的过渡处理得非常巧妙，使得原本看似孤立的数学分支——比如从古典力学的相空间分析到现代代数几何中的某些上同调理论——被一条清晰的“辛路径”逻辑线索有效地串联了起来。我特别留意了书中关于如何处理“非完备积分”情形下路径索引计算的讨论。这通常是研究的难点，因为经典的能量守恒假设被打破了。我希望书中能提供一些关于如何利用特征类来区分不同同伦类路径的实例，特别是那些在弯曲时空中出现的路径。如果书中能更深入地探讨索引理论在量子场论中作为规范理论约束条件的应用，比如在某些Chern-Simons作用量中的体现，那这本书的跨学科影响力将大大增加。这种将古典几何工具应用于前沿物理问题的尝试，是这本书最大的魅力所在。
评分这本书的书名听起来就让人对它抱有很高的期望，它似乎聚焦于一个非常专业且具有挑战性的数学领域——辛几何中的路径理论。想象一下，在处理那些关于流形、积分形式以及那些难以捉摸的哈密顿动力系统时，有一本指南能够清晰地勾勒出“索引理论”在这些“辛路径”上的应用，这简直是研究者的福音。我非常好奇作者是如何将抽象的拓扑概念与具体的微分几何结构联系起来的。例如，在研究李维克函数（Liouville functions）或某些特定的拉格朗日子流形时，路径的拓扑性质如何通过索引的计算来揭示系统的稳定性或周期性？我期待看到书中能对费希尔-格雷夫斯（Fischer-Graves）理论的某种推广或者与李雅普诺夫指数（Lyapunov exponents）的深刻连接进行探讨。如果它能提供一个全新的视角来看待KAM理论在非完全可积系统中的崩溃点，那这本书的价值就不可估量了。我希望能找到一些关于如何用计算机代数系统来验证复杂路径积分的例子，而不仅仅是纯粹的理论推导。总而言之，对于任何从事数学物理或几何分析的同行来说，光是标题就足以激发我们去深入探索其内容的欲望，它预示着一次严谨而富有洞察力的智力冒险。
评分作为一名长期在分析领域工作的学者，我发现这本书提供了一个急需的、从几何角度审视动力学稳定性的全新视角。它似乎将注意力从传统的特征值分析转向了全局的拓扑结构。书中关于“可积性”与“不可积性”边界附近路径行为的分析尤其引人入胜。我推测作者一定花费了大量精力来梳理不同辛结构下路径的等价性判据。我关注的重点在于，它是否提供了一种系统化的方法来构造出那些“恰好”跨越了某个临界点的路径，因为这些路径往往决定了系统的长期稳定性。如果书中能清晰地阐述如何将抽象的索引数字转化为可观测的物理或几何特征，例如，在特定流形上的最短路径与索引值之间的关系，那么这本书的实用价值将远超理论探讨的范畴。总的来说，这本书更像是一部数学“哲学”著作，它引导我们思考，在无限维的空间中，我们如何定义和度量“相似的”运动轨迹，而索引理论似乎就是那个度量的标尺。
评分还得再读几遍才能掌握。。。
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