Galois theory of p-extensions pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Koch, Helmut; Lemmermeyer, F.;

出品人:

页数:204

译者:

出版时间:

价格:1278.00元

装帧:

isbn号码:9783540436294

丛书系列:

图书标签:

• Galois theory
• Field theory
• Algebraic extensions
• p-extensions
• Algebra
• Mathematics
• Abstract algebra
• Number theory
• Algebraic number theory
• Group theory

代数数论与伽罗瓦理论的交汇：探索域扩张的结构与性质 本书旨在深入探讨代数数论的根基，特别关注在伽罗瓦理论框架下对域扩张结构及其深层性质的刻画。我们将在一个更为广阔的视野下，剖析一系列重要的代数概念，并揭示它们之间错综复杂而又精妙绝伦的联系。 我们将从基础的域论出发，逐步引入抽象代数的核心工具。域的概念，作为一种满足特定代数运算规律的集合，是我们构建整个理论体系的基石。在此基础上，我们进一步探讨域的扩张，即一个域如何能够被另一个包含它的域所“扩张”。这种扩张行为，实质上是将低维度的代数结构提升到更高维度的空间，从而赋予其新的性质和表现形式。我们将详细研究扩张的次数、可分性以及正规性等关键概念，它们共同描绘了域扩张的几何与代数轮廓。 伽罗瓦理论，作为本书的核心脉络，将引领我们进入一个关于对称性的世界。当一个域扩张具有特定属性（例如，正规且可分），我们便可以与其关联一个重要的数学对象——伽罗瓦群。这个群的元素，实际上对应着域扩张的自同构，即保持域运算不变的域自身映射。伽罗瓦群的结构，以一种令人惊叹的方式，完美地反映了域扩张的代数特性。我们将深入分析伽罗瓦群的性质，例如它的阶、子群结构以及其与域扩张中间域之间的对应关系。这一对应关系，即著名的“基本定理”，是伽罗瓦理论的灵魂所在，它将域扩张的问题转化为了群论问题，极大地简化了许多复杂的代数研究。 在代数数论的背景下，我们特别关注那些与素数 $p$ 紧密相关的域扩张，即 $p$-扩张。这类扩张在代数数论中扮演着至关重要的角色，它们往往与数域的整环、理想的分解以及局部域的结构紧密相连。我们将探究 $p$-扩张的特殊性质，例如它们的伽罗瓦群是否具有特定的结构，以及它们如何影响数域中素数的分解行为。这部分内容将触及到代数数论中最深刻的许多问题，例如二次域和三次域的类域理论等。 为了支持对 $p$-扩张的深入研究，本书还将适时引入一些高级的代数工具和概念。例如，我们将探讨有限域的理论，以及它们在研究一般域扩张中的作用。此外，我们还会涉及一些关于模形式和代数几何的初步思想，尽管本书并非专门介绍这些领域，但它们与本书所讨论的主题存在着深远的联系，了解这些联系将有助于读者更全面地把握代数数论的全貌。 本书的叙述将力求严谨与清晰，从基本定义到复杂定理，循序渐进。每引入一个新概念，都会辅以详尽的解释和恰当的例子，帮助读者理解抽象的代数思想。定理的证明将力求完整，并突出关键的推理步骤，让读者能够领会证明的巧妙之处。在可能的情况下，我们还会探讨相关定理的几何或解析上的直观解释，以期加深读者的理解。 本书适合于具有一定抽象代数基础的读者，例如学习过大学本科高年级抽象代数课程的学生。对于有志于从事代数数论、代数几何、数论或相关领域研究的学者而言，本书将提供一个坚实的基础和深入的视角。通过对本书内容的学习，读者将能够掌握研究域扩张和伽罗瓦理论的强大工具，并为进一步探索代数数论的奥秘打下坚实的基础。 本书的阅读过程，将是一次在抽象代数抽象花园中的深度漫步。我们相信，通过对伽罗瓦理论与 $p$-扩张的细致剖析，读者将能够领略到数学的严谨之美、逻辑之妙，以及隐藏在看似枯燥的符号背后的深刻洞见。

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这本书的行文风格极其内敛而精准，完全是老派数学家特有的克制美学。你找不到任何花哨的比喻或者冗余的解释，每一个词语都承载着精确的数学意义。这种风格的优点是效率极高，信息密度极大；缺点自然是，如果你是刚刚接触这个领域，可能会感到有些“冷峻”。我发现自己必须频繁地在书本和我的笔记之间来回切换，以便将书中的抽象概念与我脑海中的具体例子对应起来。这本书成功地在“清晰”和“简洁”之间找到了一个微妙的平衡点，它假设读者已经具备了相当的数学成熟度，并直接将读者带入到问题的核心。它提供的是蓝图，需要读者自己动手去搭建细节的砖瓦。

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这本书的阅读体验，坦率地说，是一场智力上的攀登。我特别欣赏作者处理细节的方式，那些看似细微的条件和限制，在后续的理论构建中却起着决定性的作用，这本书把这些都交代得非常清楚。比如，在处理完有限域扩张后，转入无限扩张的构造时，那种逻辑的自然延伸感让人感到非常畅快。我注意到，作者似乎花费了大量篇幅来确保每一个关键引理的证明都是自洽且可追溯的，这对于我个人理解复杂的范畴论概念的应用至关重要。虽然有时候会因为太过深入而感到略微吃力，但我更倾向于这种“带着镣铐跳舞”式的严谨，它迫使你必须真正理解每一个步骤背后的数学直觉，而不是简单地接受某个结论。

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对于希望在特定方向上深入研究的博士生或研究人员来说，这本书的价值是无可替代的。它不仅仅是对现有知识的总结，更像是一种方法论的传授。我注意到作者在某些经典定理的介绍中，加入了更现代化的视角，这使得内容既扎根于传统，又不失前沿性。例如，在探讨局部域的结构时，它巧妙地将拓扑和代数的工具融合在一起，提供了一个多维度的理解框架。我最喜欢的是它在章节末尾设置的“思考题”或“延伸阅读建议”，这些不是为了考试而设的习题，而是真正能引导你思考该领域未来发展方向的引导点。这本书的份量，决定了它更适合作为案头参考书，而非床头消遣读物。

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说实话，这本书的装帧和内容给我的感觉就像是博物馆里陈列的一件精密仪器——设计精妙，功能强大，但需要专业的知识才能完全操作和发挥其效用。我个人对它所采用的记号系统非常满意，一旦你适应了它的惯例，符号的运用会显得极其高效，大大减少了阅读中的视觉噪音。虽然我还没能完全消化其中的所有证明，但仅仅是能把它放在书架上，就有一种踏实感，知道在需要解决那些关于根式封闭、判别式或局部上同调的难题时，我有一份极其可靠的资源可以依赖。它不是一本让你一口气读完就扔下的书，更像是一位需要长期相处的学术伙伴。

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这本书的封面设计得非常经典，深蓝色调配上醒目的白色标题字体，给人一种严谨而深邃的感觉。纸张的质感也相当不错，拿在手里很有分量，一看就是那种可以经受住时间考验的学术专著。我最初被它的名字吸引，因为“伽罗瓦理论”和“p-扩张”本身就代表着代数数论中最硬核、最迷人的领域之一。虽然我还没有完全啃完，但翻阅目录和导论部分，就能感受到作者在梳理脉络上的深厚功力。它似乎不是那种面向初学者的入门读物，而是为已经对代数和初等数论有扎实基础的读者准备的“工具箱”。排版清晰，公式推导详略得当，对于像我这样需要在学习过程中反复查阅定义和定理的读者来说，这种清晰度至关重要。我已经准备好，要花上几个月的时间，在这本书里好好“泡”一阵子了。

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