Lineare Algebra und Analytische Geometrie pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Birkhäuser Basel

作者:Theodor Bröcker

出品人:

页数:376

译者:

出版时间:2004-10-13

价格:USD 39.95

装帧:Paperback

isbn号码:9783764371449

丛书系列:

图书标签:

• 线性代数
• 解析几何
• 数学
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• 大学教材
• 代数
• 几何
• 数学分析
• 理工科
• 工程数学

好的，以下是一本名为《Lineare Algebra und Analytische Geometrie》（线性代数与解析几何）的图书的详细内容简介，旨在全面介绍该领域的核心概念和应用，而不涉及您指定的原书的特定内容。 《代数几何基础：结构与空间》 图书简介 导言：数学语言的基石 本书旨在为读者提供一个坚实而深入的数学基础，聚焦于两个相互交织的核心领域：线性代数与解析几何。在现代科学、工程、计算机科学乃至经济学中，对高维空间、向量结构和几何变换的精确理解是不可或缺的。本书的编写目标是提供一个逻辑清晰、内容详实且富含几何直觉的教程，帮助读者不仅掌握计算技巧，更能理解其背后的深层数学原理。我们致力于构建一座桥梁，连接抽象的代数结构与直观的几何可视化。 第一部分：线性代数的核心概念 第一章：向量空间——抽象化的起点 本章首先引入向量空间（Vector Space）的概念，这是整个线性代数的基础。我们将从二维和三维欧几里得空间（$mathbb{R}^2$ 和 $mathbb{R}^3$）出发，逐步推广到任意域上的有限维向量空间。重点讨论向量的线性组合、线性无关性、张成（Span）以及基（Basis）的概念。我们将详细阐述基的选取如何为空间建立一个坐标系，并引入维度（Dimension）这一核心度量。此外，本章将深入探讨子空间（Subspaces）的结构，包括生成子空间、零空间和像空间，并介绍如何利用基来描述这些结构。 第二章：线性映射——结构之间的联系 线性映射（Linear Transformations）是连接不同向量空间的桥梁。本章详细分析线性映射的性质，包括其核（Kernel，即零空间）和像（Image，即像空间）。我们将证明著名的秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem），强调其在理解映射行为中的重要性。随后，我们引入矩阵（Matrices）作为表示线性映射的工具。矩阵的乘法被赋予几何意义——复合变换。本章将详细介绍矩阵的行空间、列空间以及如何利用初等行变换（Elementary Row Operations）将矩阵化为行阶梯形（Row Echelon Form）或简化行阶梯形（Reduced Row Echelon Form），从而确定矩阵的秩。 第三章：线性方程组的求解与结构 线性方程组是线性代数最直接的应用场景。本章系统地研究 $Amathbf{x} = mathbf{b}$ 形式的方程组。我们将利用高斯消元法（Gaussian Elimination）这一强大算法来系统地求解这类方程组，并分析解集的结构——是无解、唯一解还是无穷多解。通过对增广矩阵的分析，我们将清晰地展示解空间是如何由零空间和特定解构成的。 第四章：行列式——空间的尺度因子 行列式（Determinants）是衡量方阵特性的一个标量值，它在几何上对应于线性变换对体积或面积的缩放因子。本章将从二阶和三阶行列式的直观定义出发，逐步推广到 $n imes n$ 矩阵的代数定义。我们将推导行列式的关键性质，如乘法性、通过行变换对行列式的影响，以及行列式为零与矩阵可逆性之间的关系。克莱默法则（Cramer's Rule）作为利用行列式求解线性方程组的工具也将被详细介绍。 第五章：特征值与特征向量——不变的方向 特征值（Eigenvalues）和特征向量（Eigenvectors）揭示了线性变换作用下保持方向不变的向量。本章是深入理解动态系统和矩阵对角化的关键。我们将讨论如何通过求解特征方程 $det(A - lambda I) = 0$ 来找到特征值，并计算相应的特征向量。本章将区分代数重数和几何重数，并探讨矩阵对角化（Diagonalization）的条件和意义。对于非对角化矩阵，我们将引入若尔当标准型（Jordan Normal Form）作为处理更复杂情况的工具。 第二部分：解析几何与空间结构 第六章：内积空间——度量与角度 为了在抽象向量空间中引入长度、距离和角度的概念，本章引入了内积（Inner Product）。我们将详细讨论标准内积（点积）的推广，并定义范数（Norm）和正交性（Orthogonality）。正交基和规范正交基的重要性将被强调，并详细介绍格拉姆-施密特正交化过程（Gram-Schmidt Orthogonalization），这是从任意基构造正交基的关键算法。 第七章：正交投影与最小二乘法 基于内积空间的概念，本章专注于正交投影（Orthogonal Projection）。我们将展示如何将向量分解到子空间及其正交补（Orthogonal Complement）上。这一理论直接导向最小二乘法（Least Squares Method），它是在存在矛盾的线性方程组中寻找“最佳近似解”的核心工具，在数据拟合和回归分析中具有不可替代的地位。 第八章：对称矩阵与二次型 在欧几里得空间中，对称矩阵扮演着特殊的角色。本章将阐述对称矩阵的谱定理（Spectral Theorem），证明其总能被正交对角化，这保证了我们总能找到一组描述几何特性的主方向。随后，我们将引入二次型（Quadratic Forms）及其矩阵表示，并利用特征值和正交变换来对二次曲面进行分类，例如椭圆、双曲线和抛物线，从而将代数运算转化为直观的几何图像。 第九章：欧几里得空间中的几何 本章将解析几何的视角回归到三维欧几里得空间 $mathbb{R}^3$。我们将使用向量代数（叉积和点积的组合应用）来分析直线、平面以及它们之间的关系。本章将展示如何利用平面法向量、点法线式和向量方程来精确描述空间中的几何实体，并计算点到平面、线到线的距离，以及它们之间的夹角。 结论：连接与展望 本书的最后一部分总结了线性代数和解析几何在应用中的深度融合。它不仅仅是一套计算工具，更是一种理解世界、建模复杂系统的思维方式。读者在掌握了这些基础知识后，将能更好地进入多元微积分、微分方程、傅里叶分析以及现代数据科学领域，这些领域无不建立在坚实的线性代数和空间几何的框架之上。 目标读者 本书适合所有初次系统学习线性代数与解析几何的理工科、数学、物理、经济学专业的本科生。同时，它也是需要复习或深入理解这些基本概念的在职工程师和研究人员的理想参考书。书中包含大量的例题、几何解释以及逐步推导，旨在培养读者的理论洞察力和实际应用能力。

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对于《Lineare Algebra und Analytische Geometrie》这本书，我的期待更多地聚焦在其能否有效地引导我这个初学者建立起对数学的整体认知。我并非数学科班出身，但一直对数学的逻辑性和严谨性充满好奇。在很多人的印象中，线性代数和解析几何是抽象且难以理解的，我希望这本书能打破这种刻板印象，以一种“平易近人”的方式呈现。我设想，书中会从最基础的概念入手，比如向量的加法和数乘，然后逐步过渡到更复杂的概念，如矩阵的定义、行列式、特征值和特征向量等。我希望作者能够用生动形象的语言来解释这些概念，而不是枯燥乏味的定义。例如，在讲解向量空间时，我期待书中能提供一些现实世界的例子，比如三维空间中的物体运动，或者数据分析中的向量表示，让我能更好地理解抽象的数学模型。此外，我非常看重教材的练习设计。我希望习题的难度能够循序渐进，既有巩固基础的计算题，也有一些需要思考和创新的应用题，这样我才能在实践中真正掌握知识。

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我希望《Lineare Algebra und Analytische Geometrie》这本书能够成为我梳理和加深对线性代数及解析几何理解的得力助手。我曾经接触过相关知识，但总感觉有些零散，缺乏系统性。因此，我特别期待这本书能够提供一个清晰、有条理的知识体系，将分散的概念串联起来，形成一个完整的知识网络。我设想，书中在介绍线性方程组的求解时，会详细讲解高斯消元法、克拉默法则等不同方法，并分析它们的优缺点和适用范围。在解析几何部分，我期望书中能够深入讲解直线、平面、二次曲线等的基本性质，以及如何利用向量和矩阵来描述和分析这些几何对象。我希望书中能够有大量的几何图形和三维模型，帮助我建立空间想象能力，从而更好地理解解析几何的精髓。同时，我也希望书中能包含一些与实际应用相关的案例，比如在计算机图形学、机器学习或数据科学领域，线性代数和解析几何是如何发挥作用的，这能极大地增强我学习的动力和目的性。

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这本书的书名《Lineare Algebra und Analytische Geometrie》虽然听起来严谨而有学术性，但恰恰是我在寻找的那种能够激发学习兴趣，而不是单纯堆砌公式的教材。我一直认为，数学，尤其是线性代数和解析几何，不仅仅是抽象的符号和运算，它们更是理解我们所处世界的有力工具。这本书的封面设计就给我留下了深刻印象，简洁却不失力量感，暗示着其内容的深度和广度。我期待它能以一种清晰、循序渐进的方式，将那些看似复杂的概念抽丝剥茧，呈现在我眼前。我尤其希望书中能有丰富的图示和实例，能够帮助我直观地理解向量空间、矩阵运算、线性变换等核心概念，而不仅仅是停留在理论层面。毕竟，很多时候，一个恰当的几何解释，胜过千言万语的数学证明。我设想，这本书会包含一些引人入胜的引言，讲述线性代数在物理、计算机科学、工程学等各个领域的应用，以此来激发我的求知欲。同时，我也希望它能提供一些挑战性的练习题，能够让我巩固所学，并在解决问题的过程中不断提升自己的数学思维能力。总而言之，我期待它能成为我通往线性代数和解析几何殿堂的一扇明亮之窗。

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我对于《Lineare Algebra und Analytische Geometrie》这本书的期望，在于它能否帮助我建立对数学逻辑的深刻理解。我一直认为，数学的魅力在于其严密的逻辑推理和清晰的证明过程。我希望这本书能够以一种严谨而不失易懂的方式，带领我走进数学的殿堂。我设想，书中在介绍每个定理或概念时，都会提供清晰、完整的证明，并且会解释证明的思路和关键步骤，让我不仅知道“是什么”，更知道“为什么”。我希望书中能够强调数学语言的精确性，引导我如何准确地表达数学思想，如何进行规范的数学论证。在解析几何部分，我期待书中能够深入探讨空间中的各种几何关系，例如向量的内积、外积在几何中的意义，以及如何利用代数方程来描述和分析复杂的几何形状。我希望这本书能够培养我的批判性思维，让我能够审视不同的数学观点，并做出自己的判断。一本真正优秀的数学教材，应该能够潜移默化地塑造我的数学思维方式，让我受益终生。

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关于《Lineare Algebra und Analytische Geometrie》这本书，我更倾向于寻找那种能够激发我独立思考和解决问题能力的教材。我明白，学习数学最终是为了掌握一种解决问题的能力，而不仅仅是记忆公式和定理。因此，我期待这本书能够提供一些启发性的问题和思考题，引导我去探索数学的奥秘，而不是简单地告诉答案。我设想，在讲解线性代数的核心概念时，书中会引导我思考“为什么”和“如何”而不仅仅是“是什么”。例如，在介绍矩阵乘法时，我希望书中能让我思考它在复合线性变换中的意义，而不是简单地罗列计算规则。在解析几何部分，我期待书中能鼓励我利用代数方法来解决几何问题，或者反过来，用几何直觉来理解代数运算。我希望书中能提供一些具有一定挑战性的项目或课题，让我能够将所学的知识融会贯通，运用到实际的分析和建模中。一本好的数学教材，应该像一个循循善诱的老师，在我迷茫时给予指引，在我进步时给予鼓励，让我真正体会到数学的魅力。

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