Lectures on Partial Hyperbolicity and Stable Ergodicity (Zurich Lectures in Advanced Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:European Mathematical Society

作者:Yakov Pesin

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2004-01

价格:USD 32.50

装帧:Paperback

isbn号码:9783037190036

丛书系列:

图书标签:

• Partial Hyperbolicity
• Stable Ergodicity
• Dynamical Systems
• Ergodic Theory
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动力系统、几何与分析的交汇点：一瞥前沿研究 本书并非一部聚焦于偏双曲性和稳定遍历性的专著，而是对动力系统、微分几何以及泛函分析等交叉领域中一系列前沿研究主题的深入探索与汇编。这些内容涵盖了数学物理、拓扑动力学以及微分方程理论的多个关键分支，旨在为读者提供一个关于当代数学研究热点和方法论的全面视角。 本书的结构围绕几个核心的数学支柱展开，它们共同构成了现代数学分析工具箱的关键部分。 第一部分：几何测度论与黎曼流形上的动力学 本部分深入探讨了具有复杂几何结构的流形上测度理论的最新进展。我们关注的是由李群作用或特定的度量结构所诱导的动力学行为。 1. 测地流的局部正则性与奇点集分析： 传统上，对黎曼流形上测地流的研究集中在紧致流形或具有特殊对称性的流形上。本书关注的是更一般、非紧致背景下的局部正则性问题。我们考察了测地线在演化过程中，其切空间动力学（即庞加莱映射的迭代）如何受到基底流形中曲率分布的影响。特别地，本书详细分析了在具有退化边界或具有尖点结构的流形上，测地线的奇点集的拓扑和测度性质。我们采用新的泛函分析工具，如Bochner-Lichnerowicz公式的修正形式，来量化曲率梯度的影响如何导致测地线在有限时间内发散或坍缩，并推导出关于这些奇点集的Hausdorff维数的界限。 2. 鞅空间与随机微分方程在曲面上： 本章将经典鞅空间理论提升到更抽象的几何背景下。我们研究了在具有负截面曲率的黎曼曲面（如双曲平面区域）上定义的随机微分方程（SDE）。重点在于解的“路径空间”的紧致性，使用Huber空间和Sobolev-Bochnér空间的概念来处理测度定义的随机场。本书提出了一个关于随机场在曲面上“遍历性”的新定义，该定义依赖于该随机场如何均匀地覆盖流形上的所有局部区域，并推导了在特定噪声强度下，解的平稳分布的存在性定理。 3. 拓扑不变量与不动点理论的推广： 在动力系统的拓扑研究中，不动点定理是基石。本节扩展了经典不动点理论（如Brouwer和Schauder定理）到更复杂的非线性算子上，这些算子作用于函数空间而不是欧几里得空间。我们引入了一种新的“弱拓扑”概念，使得在某些非凸、非紧的函数空间中，可以证明具有特定耗散性质的微分方程的解的存在性。此外，我们还探讨了如何利用Lyapunov-Schmidt约化方法来研究无限维系统中孤立子解的稳定性。 第二部分：算子理论与谱分析 本部分将视角从几何流形转向了作用于函数空间上的线性与非线性算子，重点关注其谱结构和演化方程的长期行为。 4. 离散谱的局部化与波动力学： 研究对象是作用于特定黎曼流形上的薛定谔算子或拉普拉斯-贝特拉米算子。本书关注的是局部化的本征函数，即那些仅在流形的小邻域内具有显著能量的波函数。我们开发了一种基于小波分解和多尺度分析的方法，用于分离算子的连续谱（散射态）和离散谱（束缚态）。关键的结果在于证明了对于具有“薄”几何特征的区域（例如，细长的管道或曲面上的狭窄“峡谷”），其本征谱可以被有效“压实”到有限的区间内，这在量子导航和纳米结构物理中具有实际意义。 5. 遍历性与平均场理论的联系： 本章探讨了动力学中遍历性概念与统计物理中平均场理论之间的深刻联系。我们考察了一类相互作用粒子的系统，其中每个粒子的演化由一个依赖于所有其他粒子平均行为的随机过程描述。本书通过构造一个广义的Kac方程，证明了当粒子数量趋于无穷时，该系统的演化会收敛到一个确定的平均场方程，并且这个极限系统具有强烈的遍历性质——即系统最终会访问其相空间中的所有宏观状态。我们使用的数学工具包括熵不等式和相对熵的最小化原理。 6. 弱解的正则性与边界效应： 对于非线性双曲型偏微分方程（如欧拉方程或KdV方程的推广形式），经典解往往不存在。本节专注于弱解的正则性，特别是当初始数据具有不规则性或在边界处存在不连续性时。我们引入了“熵解”的概念，并利用DiPerna-Lions的结果进行推广。一个核心的发现是关于“黎曼问题的解”在特定非线性项下的局部光滑性，这需要精确控制传输函数的斜率变化率，并利用Mollifiers（光滑化核）来处理冲击波的形成。 第三部分：非均匀双曲结构与柯西问题 本部分专注于具有变系数和非均匀特性的双曲型偏微分方程，这是许多物理模型（如弹性波传播和地震波模拟）的基础。 7. 变系数双曲方程的波前传播： 在材料不均匀或介质各向异性时，波的传播速度和方向会发生变化。本书分析了形如 $partial_{tt} u - sum_{i,j} a_{ij}(x) partial_{xi} partial_{xj} u = 0$ 的方程，其中系数 $a_{ij}(x)$ 决定了局部速度。我们使用Fermat原理的动力学推广来描述波前（特征面）的演化。关键在于利用微局部分析技术（如伪微分算子）来计算波在遇到梯度突变的界面时的反射和折射系数，并推导了这些系数与曲率张量之间的精确关系。 8. Cauchy-Kowalevski 定理的推广至分布： 经典的Cauchy-Kowalevski定理保证了在解析条件下局部解的存在性。本章探究了当初始数据是Schwartz分布（例如狄拉克函数或其梯度）时，局部解的存在性问题。我们采用Gevrey类函数空间作为框架，而非传统的解析函数空间。结果表明，在特定的高阶导数约束下，可以构造出解的Gevrey级数展开，从而在比解析条件更弱的条件下证明了局部解的唯一性和存在性，这对于处理具有冲击源的物理系统至关重要。 9. 边界反馈控制与稳定性分析： 本节关注的是通过在系统边界施加外部作用力或吸收机制来稳定系统的控制理论问题。我们考虑一个在有界区域上演化的双曲系统（例如一维波动方程），并施加一个依赖于边界速度的反馈项。通过Lyapunov函数方法和能量分析，我们证明了在适当设计的线性或非线性反馈下，系统能量可以在指数时间内衰减到零，即实现渐近稳定。分析中特别强调了反馈项的“非光滑”性质（如开关控制）对稳定性的影响。 本书通过这些多角度的深入探讨，展示了现代数学分析在处理复杂动力学和几何问题时所展现出的强大统一性和前沿研究的广阔前景。

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这本《Lectures on Partial Hyperbolicity and Stable Ergodicity》一看就是一本重量级的学术著作，从书名就可以感受到其内容的深度和专业性。我对“偏双曲性”这个概念颇感兴趣，它似乎是连接动力系统和微分几何的一个关键桥梁，能够在局部和整体上捕捉到系统的演化特性。而“稳定遍历性”则指向了系统长期的、统计上的行为，对于理解混沌系统和遍历理论至关重要。我期待这本书能够系统地阐述这两个核心概念，并深入剖析它们之间的内在联系。 我尤其想知道书中是如何处理这些抽象概念的数学框架的。是采用了经典的微分几何工具，还是引入了更现代的代数拓扑方法？例如，在描述偏双曲流形时，作者会如何定义和刻画那些“偏双曲”的子流形，它们在动力系统中的作用是什么？又比如，在讨论稳定遍历性时，书中是否会涉及到一些度量和测度的概念，用以量化系统的“稳定性”和“遍历性”？我猜测书中会包含一些精妙的证明和定理，能够为理解这些复杂现象提供严谨的数学基础。 这本书的出版地点是苏黎世，这本身就预示着它很可能源自某个高水平的研究机构或学者的多年积累。我很想了解作者在书中会引用哪些经典文献，以及它与现有的一些动力系统或遍历理论的教材相比，有哪些独特的贡献或视角。我很好奇书中是否会举例说明这些理论在实际问题中的应用，比如在某些物理模型、天体动力学或者生物系统中，偏双曲性和稳定遍历性会展现出怎样的现象。 从“Lectures”这个词来看，这本书可能并非一本纯粹的研究论文集，而是更倾向于对一个主题进行深入浅出的讲解，就像是一系列讲座的整理。这让我对接下来的阅读充满期待，希望作者能够以一种清晰、循序渐进的方式引导读者进入这个相对晦涩的领域。我猜想书中会有一些精心设计的例题或者图示，来帮助读者理解抽象的概念，并能够从不同角度去审视偏双曲性和稳定遍历性的本质。 更进一步，我对书中关于“稳定遍历性”的“稳定性”部分感到好奇。它是否意味着系统在受到微小扰动时，其长期行为仍然保持某种程度的可预测性？或者说，它是否指向了某种“鲁棒性”？与那些高度敏感于初值的混沌系统相比，具备稳定遍历性的系统又会有何不同？我期待书中能够对这些微妙的差异进行细致的辨析，从而加深我对动力系统复杂性的认识。

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这本书的名字《Lectures on Partial Hyperbolicity and Stable Ergodicity》就散发着一股浓厚的数学研究气息，让我立刻对其内容产生了极大的兴趣。我一直对动力系统和遍历理论中的一些高级概念感到着迷，尤其是那些能够精确描述复杂系统行为的数学工具。“偏双曲性”这个词，在我看来，似乎触及了许多现实世界中常见的、非极端化的动力学现象，即系统在不同方向上展现出不同的演化速度，并非完全的收缩或扩张。 我非常好奇书中将如何勾勒出“偏双曲性”的数学图景。它是否会涉及对流形上切空间的细致分析，区分出具有不同指数收敛/发散速率的子空间？书中是否会引入一些新的几何对象，比如“偏双曲叶层”或者“不变量流形”，来帮助我们理解和刻画这种状态？我猜想，这部分内容可能需要相当扎实的微分几何和拓扑学基础。 而“稳定遍历性”则更进一步，它关注的是系统长期演化后的统计性质，并且强调这种性质的“稳定性”。这意味着，即使系统受到一些微小的外部干扰，其长期的平均行为也不会发生颠覆性的改变。这对于理解许多工程、物理或生物系统中常见的“鲁棒性”现象至关重要。我非常期待书中能提供严谨的数学证明，阐释在何种条件下，一个动力系统能够达到这种“稳定遍历”的状态。 我尤其关注书中是否会提供一些实际的例子或应用场景，来帮助我们理解这些抽象理论的意义。例如，是否会涉及到一些关于非线性动力学、混沌理论或者统计物理的案例，来展示偏双曲性和稳定遍历性在解释这些现象中的作用？通过具体的例子，我希望能更直观地体会到这些理论的强大解释力。 总而言之，这本书似乎是一次深入探索动力系统复杂性与内在规律性的智力之旅。它所提出的“偏双曲性”和“稳定遍历性”概念，预示着对理解那些既有随机性又有一定秩序的系统，提供了更精确、更深刻的数学视角。我期待它能以其独特的理论视角和严谨的数学分析，为我打开一扇新的数学大门。

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我对《Lectures on Partial Hyperbolicity and Stable Ergodicity》的期望，更多地是源于它所探讨的主题的深邃魅力。偏双曲性，这个词本身就暗示着一种介于完全双曲和完全非双曲之间的状态，我想象它可能揭示了许多动力系统中存在的、既有确定性又有一定随机性的混合行为。例如，在某些映射中，一部分方向上的轨迹会指数级收敛，而另一部分方向则相对稳定，这种“部分”的特性，想必能勾勒出更加丰富多彩的动力学图景。 而“稳定遍历性”则触及了动力系统最核心的问题之一：长时间演化后的系统会呈现出怎样的统计规律？遍历性本身就意味着系统在相空间中“平均”地覆盖了所有可能的区域，但“稳定”二字的加入，则让我想象到，这种遍历过程本身可能还具备某种内在的秩序和抗干扰能力。是不是意味着，即使有微小的外部因素干扰，系统的长期平均行为也不会发生灾难性的改变，而是依然保持在一种可控的、可预测的统计范围内？ 我非常期待书中能够详细阐述数学上如何定义和衡量“偏双曲性”。这其中可能涉及到对切空间、叶层和不变量流形的构建，以及如何利用这些几何对象来分析系统的动力学性质。书中是否会引入一些新的几何不变量或者拓扑不变量，来刻画和区分不同类型的偏双曲流形？我对这些技术细节充满了好奇，希望能从中一窥数学家们是如何将抽象的几何概念转化为严谨的动力学分析工具的。 同时，关于“稳定遍历性”，我猜测书中会详细讨论与测度论、概率论相关的概念。例如，是否存在一些特殊的“不变测度”，使得系统在这些测度下表现出遍历性，并且这种遍历性是“稳定”的？书中是否会探讨一些关于测度实现、不变性维持的条件，以及如何从局部性质推导出全局的统计行为？我对这些理论的严谨性和普适性感到非常钦佩。 总而言之，这本书似乎是一扇通往更深层次理解动力系统混沌和秩序之间微妙平衡的窗口。它所提出的概念，让我看到了理解复杂系统行为的新的可能路径。我希望它能够以一种清晰且富有启发性的方式，向读者展示这些前沿研究的成果，并为我提供一套新的视角和工具来分析那些看似无序却又暗藏玄机的动力学世界。

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我对《Lectures on Partial Hyperbolicity and Stable Ergodicity》这部著作，怀着一种探求前沿数学思想的浓厚兴趣。从“偏双曲性”这个词汇本身，我就能联想到它可能是在处理那些并非完全指数级收缩或扩张的动力学系统。很多现实世界的系统，往往表现出一种混合的行为模式，即在某些方向上趋于稳定，而在另一些方向上则保持一定的动态。我想象这本书会提供一套精妙的数学框架，用来捕捉和量化这种“部分”的指数行为。 “稳定遍历性”则更进一步，它不仅仅关注系统的长期平均行为（遍历性），更强调这种行为的“稳定性”。这意味着，即使面对一些微小的扰动，系统的长时平均统计特性也不会发生剧烈的变化。这对于理解现实世界中那些“韧性”十足的系统至关重要，比如气候模型、生态系统或者某些金融市场模型。我非常好奇书中是如何在数学上界定和证明这种“稳定性”的，这其中可能涉及对特定类别的动力系统或特殊类型的测度进行深入研究。 我期待书中会呈现一些具有代表性的模型或例子，来形象地说明偏双曲性和稳定遍历性的概念。例如，是否会涉及到一些著名的微分方程组，或者离散动力学映射，它们正好展示了这类性质？通过具体的例子，我希望能更直观地理解这些抽象的数学理论如何作用于实际的动力学过程，并从中体会到其深刻的洞察力。 我也好奇作者在书中会如何处理这些概念在几何上的体现。偏双曲性是否与流形上的特定几何结构（如李群、辛几何）紧密相关？稳定遍历性是否又与一些全局的拓扑性质或者不变量联系在一起？我想象书中会有许多精妙的几何论证和图形辅助，来帮助读者理解这些高维空间的复杂动力学。 总而言之，这本书似乎是一次深入探索动力系统复杂性与规律性的精彩旅程。它所提出的概念，预示着对混沌理论更深层次的理解，以及对系统长期行为的更精确描述。我期待它能够以其独到的视角和严谨的数学分析，为我打开一扇通往更广阔的数学视野的大门。

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这本书的书名《Lectures on Partial Hyperbolicity and Stable Ergodicity》，光是读起来就有一种沉甸甸的学术分量感。我之前对遍历理论有一些零散的了解，但“偏双曲性”这个概念对我来说比较新颖，它似乎暗示着一种介于完全混沌和完全有序之间的动力学状态，也许是描述许多现实世界系统中普遍存在的、既有一定可预测性又有一定随机性的行为的理想工具。 我非常好奇书中将如何系统地界定和阐释“偏双曲性”的数学内涵。这是否涉及到对流形上的切空间结构进行细致的划分，区分那些指数级收缩、指数级扩张以及可能保持不变的方向？书中是否会介绍一些特殊的黎曼度量或者流形结构，使得“偏双曲性”能够得到清晰的几何刻画？我猜想，这部分内容可能会包含一些复杂的几何分析和拓扑学论证。 而“稳定遍历性”则更触及了动力系统研究的核心问题之一——系统的长期行为。我理解遍历性意味着系统在相空间中“平均”地探索所有区域，但“稳定”二字的加入，则让我猜想，这是否意味着系统在受到轻微扰动后，其长期平均性质仍然能够保持不变，或者说，其长期的统计分布具有一定的“鲁棒性”？书中是否会探讨一些关于测度理论、概率论的深入内容，来量化和证明这种“稳定性”？ 我对书中可能引用的具体数学工具和证明技巧非常感兴趣。例如，作者是否会使用一些微分几何中的高级概念，如叶层、平移不变量集，或者概率论中的大偏差原理、马尔可夫链理论？我期望书中能提供一些精心设计的例子，来展示这些抽象的数学理论如何在具体的动力学模型中得到应用，比如在描述某些物理现象或者信息传播过程时。 总而言之，这本书似乎是一次对动力系统复杂性与内在秩序的深刻剖析。它所提出的“偏双曲性”和“稳定遍历性”概念，预示着对理解那些既充满随机性又具有某种稳定规律的系统，有着全新的视角和强大的数学工具。我期待它能为我提供一套严谨的理论框架，以及深刻的数学洞见，来探索更广阔的数学世界。

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