Asymptotic Formulae in Spectral Geometry (Studies in Advanced Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Chapman & Hall/CRC

作者:Peter B. Gilkey

出品人:

页数:312

译者:

出版时间:2003-12-17

价格:USD 134.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9781584883586

丛书系列:

图书标签:

• Spectral Geometry
• Asymptotic Analysis
• Riemannian Geometry
• Differential Geometry
• Mathematical Physics
• Partial Differential Equations
• Heat Kernel
• Trace Formulae
• Eigenfunctions
• Geometric Analysis

量子信息与纠缠的几何学基础 作者：[此处填写真实作者姓名，例如：张伟、李明等] 出版社：[此处填写真实出版社名称，例如：高等教育出版社、人民邮电出版社等] ISBN：[此处填写真实ISBN号] --- 图书简介 本专著深入探讨了量子信息理论与数学物理中一个前沿而深刻的交叉领域：量子纠缠的几何化描述与信息流的拓扑结构研究。本书旨在为高年级本科生、研究生以及该领域的研究人员提供一套严谨、系统且富有洞察力的理论框架，用以理解和量化量子系统的复杂性及其演化规律。 我们摆脱传统上依赖于矩阵代数和希尔伯特空间张量积的描述方式，转而采用微分几何、拓扑学和范畴论的语言，来重新审视量子态空间、幺正演化以及信息提取过程的内在结构。全书的核心论点在于：量子纠缠并非仅仅是量子态的某种代数属性，它本质上是一种定义在多体系统状态空间上的几何结构或拓扑不变量。 全书共分为六个主要部分，结构上层层递进，从基础概念的重构到前沿应用的探索。 --- 第一部分：量子态空间的黎曼几何重构 (Foundations in Riemannian Geometry of Quantum States) 本部分着重于建立描述量子态的微分几何基础。我们首先回顾了描述纯态或混合态的射影希尔伯特空间 $mathbb{P}(mathcal{H})$ 的结构。随后，引入费希尔-兰格文（Fisher-Rao）测地线和Bures测度，详细阐述了如何将量子态空间视为一个有限维的微分流形，并赋予其内在的黎曼度量。 重点章节包括： 1. 布赫瓦尔德-卡坦度量与纠缠的局部曲率： 我们分析了特定量子态类（如GHZ态簇或W态簇）在Bures流形上的嵌入特性。利用李群作用下的不变量理论，我们计算了这些流形在不同对称性下的平均截面曲率。一个关键发现是，曲率的负性与局部可分离性（即局部操作易于实现）呈负相关，暗示了“弯曲”程度可以作为衡量量子资源潜力的指标。 2. 量子信息流的测地线方程： 研究了量子退相干和动态演化过程在几何上的表征。我们推导出描述最优量子控制（最小化演化时间或最小化信息损失）的测地线方程，并探讨了在非阿贝尔规范场理论背景下，量子退相干的动力学如何被解释为流形上测地线的偏离。 --- 第二部分：拓扑量子场论视角下的纠缠熵 (Topological Field Theory and Entanglement Entropy) 本部分将视角提升到高维或具有边界的量子系统，探索拓扑学在描述长程量子关联中的作用。我们借鉴了二维共形场论（CFT）中的张量网络和区域定律，并将其推广到更一般的拓扑量子场论（TQFT）框架下。 核心议题聚焦于： 1. 张量网络作为流形剖分： 将任意张量网络态（如MERA、PEPS）视为对高维空间进行的一种特定拓扑剖分。我们展示了纠缠熵的渐近行为，特别是区域定律中的“边界项”，如何与该剖分边界的拓扑不变量（如陈-西蒙斯（Chern-Simons）不变量）直接关联。 2. 纠缠的拓扑不变性： 探讨了在连续的、局部幺正演化下，某些全局纠缠特征（例如，对于特定类型的马约拉纳费米子系统的非阿贝尔统计）保持不变的条件。这为设计具有内在拓扑保护的量子计算平台提供了数学依据。 --- 第三部分：范畴论与量子操作的抽象结构 (Category Theory and Abstract Structure of Quantum Operations) 为应对多体系统的复杂性和操作的组合性，本部分引入范畴论作为描述量子态、操作和测量之间关系的高级语言。 我们引入张量范畴的概念，将量子态视为对象，将幺正演化视为态之间的态射（morphisms）。 1. 莫雷-斯图亚特（Monoidal Categories）的应用： 详细分析了张量积的公理化结构如何自然地捕获了系统复合和信息分离的本质。特别地，我们构建了一个描述局域可操作性的子范畴，并研究了其对角化过程的性质。 2. 克莱斯勒对（Kleisli Triples）与测量反馈： 引入克莱斯勒对来形式化“测量-反馈”过程。该框架允许我们将非幺正的、不可逆的测量操作，嵌入到一个更大的、可结合的幺正结构中，从而统一描述了量子态的演化和信息的提取。 --- 第四部分：量子引力中的信息几何 (Information Geometry in Quantum Gravity Contexts) 本部分是理论应用的延伸，探讨信息几何工具在理解黑洞信息悖论和AdS/CFT对应中的潜力。 我们采用熵的微分几何视角来解释页码（Page）曲线的起源： 1. Ryu-Takayanagi公式的信息几何解释： 将AdS空间中的极小曲面视为信息流的“测地线”，而纠缠熵则与该曲面的面积相关。我们研究了在大腔（large N）极限下，曲率如何影响信息在边界和体之间的重新分配。 2. 负熵流与量子信息处理的极限： 借鉴热力学第二定律，我们探讨了在量子信息处理过程中，信息几何结构（如Bures距离）如何受到量子力学基本原理的限制，特别是与信息守恒相关的几何约束。 --- 第五部分：非阿贝尔规范场中的纠缠结构 (Entanglement Structures in Non-Abelian Gauge Fields) 本部分聚焦于量子色动力学（QCD）和杨-米尔斯理论中的强关联系统。我们关注于格子规范理论和格点上的纠缠。 1. Wilson环的几何拓扑： 将Wilson环视为描述规范场中拓扑缺陷的拓扑不变量。我们展示了如何通过计算特定几何构型下Wilson环的“纠缠熵关联函数”来提取夸克禁闭（Confinement）的几何特征。 2. 边界上的信息分布： 分析了在一个具有边界的规范场理论中，信息是如何在边界（例如QCD真空的边界）和体之间分布的。这涉及到对边界陈类的计算，并与标准模型中的电荷量化问题建立了初步的数学联系。 --- 第六部分：计算方法的几何实现 (Geometric Implementation of Computational Schemes) 最后一部分讨论如何将这些抽象的几何概念转化为可计算的算法和数值模拟。 1. 流形上的张量网络演化（GE-TN）： 提出了一种新的算法框架，用于在具有明确曲率的流形上模拟量子多体系统的演化，特别是针对非均匀或拓扑受限的系统。 2. 量子化学中的几何优化： 讨论了如何利用黎曼流形上的优化技术（如自然梯度下降法）来加速寻找多体波函数的基态，避免了传统方法中常遇到的“平坦区域”问题。 --- 目标读者与价值 本书为数学物理、理论物理、量子信息科学领域的研究者和高级学生提供了统一的数学工具箱，将原本分散在代数、几何和拓扑学中的概念融会贯通。它不仅提供了深刻的理论洞察，更重要的是，它为理解和设计下一代具有内在鲁棒性和可控性的量子系统提供了全新的几何化视角。本书假定读者对高等微积分、线性代数以及基础的微分几何和群论有扎实的掌握。

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这本书的名字《渐近公式在谱几何中的应用》，对于我来说，更像是一个通往高深数学殿堂的邀请函。我是一名数学系高年级本科生，目前正在探索微分几何和泛函分析这两个领域。我一直对数学中那些看似抽象的理论，如何在具体问题中发挥作用感到好奇。谱几何，这个词本身就带着一种将几何学与分析学深度融合的美感，而“渐近公式”则像是给这种融合添上了一层严谨的计算色彩。我脑海中浮现出的，是那些关于算子谱的渐近展开式，它们如何一步步逼近真实的值，又如何揭示隐藏在背后的几何信息。我希望这本书能够像一位循循善诱的老师，带领我从基本概念出发，逐步理解谱几何的核心思想，并学习如何运用渐近公式来解决一些经典的几何问题，比如关于黎曼流形体积的渐近公式，或者与科斯-盖尔特公式相关的讨论。我渴望通过这本书，能够建立起从分析工具到几何洞见的桥梁，为我未来深入学习数学打下坚实的基础。

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这本书的封面设计就充满了学术的严谨与神秘感，深蓝色调配上烫金的标题，仿佛暗示着里面隐藏着宇宙深处或数学之海的奥秘。我拿到它的时候，就被它的厚重感和散发出的知识气息深深吸引。虽然我不是直接从事这个领域的研究者，但作为一名对数学和物理交叉领域充满好奇的学习者，我对“谱几何”这个概念一直抱有浓厚的兴趣。我曾听闻，通过研究微分算子的谱（即其特征值），可以揭示几何空间的深刻性质，这本身就是一件令人着迷的事情。这本书的名字——《渐近公式在谱几何中的应用》，光是听起来就充满了挑战性，暗示着它将带领读者深入到那些数学家们探索几何与分析界限的前沿领域。我期待它能够以一种既严谨又不失启发性的方式，为我揭开谱几何的神秘面纱，尤其是在“渐近公式”这一关键工具的应用上，希望能看到如何通过近似的方法来理解复杂的几何结构。我想象着书中会充斥着精巧的数学推导，以及对一些经典几何问题的全新视角，这对于拓展我的数学视野来说，无疑是一笔宝贵的财富。

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作为一名在理论物理领域摸爬滚打多年的研究生，我深知在探索量子力学、弦论以及凝聚态物理的某些极限情况下，渐近分析所扮演的关键角色。而“谱几何”这个词，更是与我日常接触到的许多理论模型息息相关，尤其是在处理高维时空、弯曲流形上的量子场论时，理解算子的谱性质往往是解锁物理现象的关键。这本书的书名，赫然点出了“渐近公式”与“谱几何”的紧密联系，这让我立刻感到一种强烈的共鸣。我猜想，书中必然会涉及许多关于黎曼流形上拉普拉斯算子或狄拉克算子谱的渐近展开，以及这些展开如何与流形的曲率、拓扑不变量等几何量建立联系。我尤其期待书中能够提供一些具体的例子，展示如何利用这些渐近公式来近似计算或理解某些复杂的物理量，比如量子态的能量谱，或者在某些极端条件下系统的行为。对于我而言，这本书的价值在于它能够提供一套强大的数学工具，帮助我更深入地理解理论物理中的一些“硬骨头”问题，并可能为我今后的研究提供新的思路和方法。

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这本书的封面色彩沉稳，文字清晰，给人一种专业且值得信赖的感觉。虽然我并非这个研究领域的直接从业者，但作为一名对科学史和数学发展脉络感兴趣的读者，我一直对那些能够连接不同数学分支的桥梁性理论感到着迷。“谱几何”本身就足以勾起我的好奇心，因为它预示着一种超越传统界限的几何理解方式。而“渐近公式”的应用，更是让我联想到数学家们如何通过精妙的近似手段，来揭示数学对象隐藏的深刻规律。我设想，这本书中会探讨一些关于热核性质的渐近展开，以及它们如何与流形的几何不变量，比如体积、曲率等相关联。我尤其好奇，这些渐近公式在历史上是如何被发现和发展的，它们又如何为后来的研究奠定了基础。这本书对我而言，更像是一次对数学思想演进的探索之旅，它将带领我了解那些伟大的数学家们是如何在谱论和几何学的交叉领域中，创造出如此精妙的工具和理论，从而拓宽了我们对宇宙和空间的认知边界。

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我是一名曾经的数学教师，现在转战到了数据科学领域。虽然我的日常工作更多地与统计模型和机器学习算法打交道，但我内心深处对纯粹数学的探索热情从未减退。我一直认为，数学的深度和广度是理解和解决复杂问题的基石。当我在书店偶然看到这本书时，《渐近公式在谱几何中的应用》，我立刻被它所吸引。虽然我可能不再需要直接推导那些复杂的渐近公式，但我仍然对它们所蕴含的思想和应用充满兴趣。我猜想，这本书会探讨如何在不同的几何背景下，通过近似的方法来理解算子的谱特性，而这些谱特性又如何反映了空间的内在结构。这让我联想到，在一些复杂的系统中，我们往往无法获得精确的解，但通过渐近分析，我们可以得到非常有用且准确的近似结果。因此，我期待这本书能够为我提供一种新的视角，去理解那些在科学和工程领域中难以直接分析的复杂系统，并可能为我启发一些在数据分析中处理大规模、高维度数据的思路。

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