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出版者:Brooks/Cole Publishing Company

作者:Richard L. Burden

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1997-01

价格:USD 64.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780534955335

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深入理解数值分析的基石：理论与实践的桥梁 《现代数值分析方法与应用导论》 本书旨在为理工科学生、工程师以及对计算数学有浓厚兴趣的读者提供一套全面、深入且实用的数值分析学习资源。本书摒弃了传统教材的晦涩难懂，以清晰的逻辑结构和丰富的工程实例，构建起连接纯粹数学理论与实际计算问题的坚实桥梁。 在当今高度依赖计算的科学和工程领域，准确而高效地求解复杂的数学模型是推动技术进步的核心动力。从流体力学模拟到金融衍生品定价，从地球物理勘探到现代信号处理，无不依赖于可靠的数值算法。本书正是在这一背景下应运而生，它不仅仅是理论的罗列，更是解决实际问题的工具箱。 第一部分：基础与误差分析——构建计算思维的基石 数值分析的起点，是对计算过程中的不确定性和局限性的深刻认识。本书从最基本的概念入手，详细阐述了浮点数的表示、算术运算的精度限制以及算法本身的稳定性问题。 第一章：计算中的误差本质 本章深入探讨了有限精度算术带来的固有误差来源，包括截断误差和舍入误差。我们不仅仅停留在定义上，而是通过大量的例子展示了这些误差如何在多步计算中累积和传播。特别地，我们引入了条件数的概念，清晰地解释了为何某些数学问题天生比其他问题更难用计算机精确求解。读者将学会如何评估一个问题的“良性”或“病态”程度，并据此选择合适的求解策略。 第二章：函数逼近与插值技术 在许多实际应用中，我们面对的函数往往是离散数据点或复杂解析表达式。如何用易于计算的形式来“替代”这些函数，是数值分析中的核心议题。 多项式插值： 从牛顿插值到拉格朗日插值，本书详尽对比了它们的优缺点，并重点分析了龙格现象，解释了在数据点较少时高次多项式插值的陷阱。 分段插值与样条： 引入了三次样条插值，展示了它如何在保证局部平滑性的同时，有效克服高次多项式插值的不稳定性，是工程绘图和数据拟合中的利器。 最佳一致逼近： 简要介绍了最小二乘逼近和更严格的$L_{infty}$范数下的最佳逼近思想，为后续的函数展开奠定基础。 第二部分：求解线性代数方程组——现代计算的核心 线性系统是科学计算的“骨架”。本书系统地覆盖了从小型系统到大规模稀疏系统的求解技术。 第三章：直接法求解稠密系统 本章聚焦于精确的、有限步的求解方法。 高斯消元法及其稳定性： 详细剖析了高斯消元法的每一步操作，并强调了主元选择（部分选主元与完全选主元）对于算法稳定性的决定性作用。 矩阵分解技术： 深入讲解了LU分解（以及Doolittle、Crout分解），并展示了如何利用其快速求解具有相同系数矩阵的不同右端项的系统。随后，介绍Cholesky分解在求解对称正定系统中的高效性。 矩阵的范数与条件数： 再次强调了矩阵的条件数在衡量线性系统敏感性方面的关键作用。 第四章：迭代法求解大型系统 对于维度极高的系统，直接法因计算量和存储需求而变得不可行。迭代法成为主流。 基本迭代方法： 详细推导并分析了雅可比法和高斯-赛德尔法的收敛性判据（基于迭代矩阵的谱半径）。 加速技术： 介绍了迭代法的收敛加速，特别是SOR（超松弛迭代法），并讨论了如何选择最佳松弛因子以达到最快收敛。 Krylov子空间方法概述： 为向更先进的技术过渡，本章简要引入了共轭梯度法（CG）和广义最小残量法（GMRES）的基本思想，为求解大规模稀疏系统做好铺垫。 第三部分：非线性方程与优化——寻找平衡点 许多物理模型最终归结为求解一个或多个非线性方程。 第五章：非线性方程的求根 本章专注于单个变量非线性方程的数值解法。 区间搜索法： 从二分法开始，讲解了如何利用函数值的符号变化来保证解的存在性与收敛性。 局部收敛法： 重点解析了牛顿法的二次收敛特性，同时讨论了其对初始猜测值的依赖性，并介绍了割线法作为牛顿法的一种不需导数的替代方案。 收敛速度分析： 提供了严格的收敛阶定义和分析方法，帮助读者量化不同算法的效率。 第六章：多元函数优化基础 本书将优化问题视为寻找函数极小值的过程。 无约束优化： 介绍了利用梯度信息的最速下降法，并深入探讨了牛顿法在多元函数优化中的应用及其效率。 准牛顿法： 鉴于计算Hessian矩阵的成本高昂，本书详细介绍了DFP和BFGS等拟牛顿法，这些方法通过近似Hessian的逆矩阵，实现了接近牛顿法的收敛速度，但计算成本显著降低。 第四部分：数值积分与微分方程——模拟动态世界 积分和微分方程的求解是工程和物理模拟的基础。 第七章：数值积分（Quadrature） 如何精确计算定积分是数值计算中的重要环节。 牛顿-科茨公式族： 详细推导了梯形法则和辛普森法则，分析了它们的代数精度和误差项。 复合积分法： 展示了如何通过增加节点数来提高低阶方法的整体精度，并讨论了高斯求积作为一种最优选择，它在给定节点数下能达到最高的精度。 自适应步长选择： 引入了算法如何根据局部误差估计来动态调整积分区间的宽度，以实现计算效率和精度的平衡。 第八章：常微分方程（ODE）的数值解法 ODE是描述随时间变化的系统（如电路、振动、化学反应）的核心工具。 单步法： 从最简单的欧拉法开始，逐步过渡到具有更高稳定性和精度的龙格-库塔方法（Runge-Kutta Methods），特别是经典的四阶RK4方法。 多步法： 介绍了Adams-Bashforth（显式）和Adams-Moulton（隐式）方法，讨论了它们在连续时间步长计算中的效率优势。 稳定性与刚性问题： 引入了A-稳定性的概念，解释了为什么对于“刚性”ODE系统（包含快速和慢速动态过程的系统），必须使用隐式方法，即使它们需要求解隐式方程。 总结与展望 本书的特色在于其算法实现导向。每一章在介绍完核心理论后，都提供了详尽的算法流程图和伪代码，鼓励读者将理论知识直接转化为可运行的代码。通过对算法复杂度的严格分析，本书培养读者对计算效率的敏感度，确保所选方法既精确又经济。本书的目标是让读者不仅“知道”数值分析是什么，更能“掌握”如何利用它解决下一代科学和工程中的棘手问题。

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一直以来，我都觉得数值分析的学习过程更像是在学习一种“解决问题的艺术”，而不仅仅是记忆公式。原著《Numerical Analysis》提供了丰富的工具箱，但如何有效地运用这些工具，对我来说一直是挑战。《Study Guide for Burden/Faires' Numerical Analysis》则是我学习过程中的“使用手册”。它不仅仅是梳理知识点，更重要的是它能教我如何“思考”和“实践”。在讲解诸如最小二乘法、傅里叶变换等算法时，它会提供非常详细的步骤指导，并且给出不同场景下的应用示例，让我能够亲身感受这些方法的强大之处。它还特别强调了数值分析的局限性，比如病态问题、数值不稳定性等，并提供了如何识别和应对这些问题的策略，这让我对数值计算的严谨性有了更深的认识。这本书还包含了一些关于如何选择合适算法的“决策树”或者“流程图”，这对于我这种需要大量实践来巩固知识的人来说，简直是如获至宝。它让我觉得，学习数值分析不再是死记硬背，而是掌握了一种解决复杂数学问题的思维方式和方法论。

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在我接触到《Study Guide for Burden/Faires' Numerical Analysis》之前，我一直觉得数值分析的学习就是不断地记忆公式和推导过程，充满了理论的抽象和抽象的理论。原著《Numerical Analysis》固然是经典，但很多地方对我来说过于精炼，缺少了一些“接地气”的解释。这本学习指南则成功地做到了这一点。它不仅仅是知识的搬运工，更像是知识的“消化者”和“重构者”。它会将原著中的复杂概念分解成更小的、更易于理解的部分，并且用非常生动形象的语言和图示来解释。例如，在讲解特征值和特征向量时，它会用矩阵变换的几何意义来解释，让我明白特征值和特征向量所代表的旋转和缩放的含义，这比单纯的代数定义要深刻得多。它还会在讲解某些算法时，穿插一些实际的应用场景，让我明白这些算法为什么会被发明出来，以及它们在现实世界中的价值。这本书还非常注重培养学生的批判性思维，它会引导我去思考不同方法的优劣，以及在什么情况下选择哪种方法，这让我不再是被动地接受知识，而是主动地思考和分析。现在，我对各种数值算法有了更清晰的认识，并且能够更自信地应用它们来解决问题，这本书无疑是我学习路上的重要助力。

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老实说，我以前对数值分析总是有一种“敬而远之”的态度，觉得它是一门极其枯燥且晦涩的学科。原著《Numerical Analysis》的严谨和系统性让我感到压力重重。然而，《Study Guide for Burden/Faires' Numerical Analysis》的出现，彻底颠覆了我的这种看法。这本书的编排非常有条理，它不会让你感到信息过载，而是循序渐进地引导你深入理解每一个概念。它最大的亮点在于它不仅仅是解释“是什么”，更侧重于解释“为什么”和“如何做”。例如，在讲解有限差分法时，它会详细说明不同阶数的差分近似如何影响精度，并提供图示来展示误差的传播，这让我对数值微分的原理有了更清晰的认识。此外，它还会提供一些“小贴士”和“注意事项”，提醒我在实际操作中可能遇到的陷阱，这让我避免了很多不必要的弯路。它还包含了一些非常实用的章节，比如关于数值计算的稳定性分析，以及如何选择合适的数值算法来解决实际问题。这本书让我觉得，学习数值分析不再是一件苦差事，而是一个充满乐趣的探索过程，它让我对这门学科产生了浓厚的兴趣，并且极大地提升了我解决数学问题的能力。

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这本书简直是为我量身定做的！我一直觉得数值分析这门课就像是一门玄学，概念抽象，公式繁杂，每次看到那些密密麻麻的推导过程就头大。但当我拿到这本《Study Guide for Burden/Faires' Numerical Analysis》时，我感觉我看到了曙光。首先，它的排版就非常舒服，不会像原著那样堆砌内容，而是通过清晰的章节划分和模块化设计，让我能够循序渐进地学习。每一章都从最基础的概念讲起，然后逐步深入，而且每一个概念的解释都配有非常直观的图示，这对于我这种视觉型学习者来说简直是福音。我尤其喜欢它在讲解一些核心算法时，会提供伪代码，并且详细解释了每一步的逻辑，这比直接看原著枯燥的证明要容易理解得多。我尝试着跟着它上面的例子一步步做，真的感觉豁然开朗。它不仅仅是罗列知识点，更注重于“如何思考”和“如何应用”，很多时候，原著会直接给出结论，而这本学习指南则会引导你思考得出结论的过程，让我不再是被动接受知识，而是主动探索。特别是那些关于收敛性、稳定性和误差分析的部分，学习指南提供了很多角度的解析，让我对这些抽象的概念有了更深刻的认识。我已经迫不及待地想要用它来准备接下来的考试了，感觉这次一定能取得好成绩！

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坦白说，在我拿到这本《Study Guide for Burden/Faires' Numerical Analysis》之前，我对数值分析的理解仅限于一些零散的概念和公式的记忆，缺乏系统性的认知。原著的内容虽然权威，但对于需要打牢基础的学习者而言，确实不够友好。这本书的出现，彻底改变了我的学习方式。它最大的优点在于它能够将抽象的数学概念“可视化”和“具象化”。例如，在讲解插值多项式时，它会通过绘制函数图像和插值多项式图像，直观地展示插值点的选取对插值效果的影响，这比单纯记忆公式要深刻得多。它还会提供一些关于如何选择最佳插值节点的信息，这在原著中可能只是一笔带过，但在这里却得到了详细的阐述。另外，这本书对于一些数值方法的优缺点分析也非常到位，它会从计算量、精度、稳定性等多个角度来评价不同的方法，帮助我理解为什么在特定情况下要选择某种方法而不是另一种。它还包含了一些“陷阱”提示，提醒我在使用某些算法时需要注意的地方，避免犯一些常见的错误。这种细致入微的讲解，让我感觉自己不是在学习一本教材，而是在和一个经验丰富的老师交流，他总是能预见到我的疑问，并提前给出解答。我现在对数值积分、微分方程的数值解等章节的内容都有了更深入的理解，感觉对整个数值分析的体系有了更清晰的认识。

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当我拿到这本《Study Guide for Burden/Faires' Numerical Analysis》时，我最先感受到的是它在梳理知识结构方面的强大能力。原著《Numerical Analysis》虽然是经典，但内容确实庞杂，对于如何构建起一个完整的知识体系，我感到有些迷茫。这本学习指南则像一个优秀的向导，它将原本零散的知识点巧妙地串联起来，形成了一个逻辑清晰、层次分明的知识网络。它不仅仅是简单地重复原著的内容，而是对原著的知识点进行了提炼、补充和深化。比如，在讲解矩阵的条件数时，它不仅解释了其定义，还详细阐述了条件数过大的危害以及如何缓解这种情况，并提供了相应的例子。这种“是什么、为什么、怎么办”的讲解模式，让我能够从更宏观的视角去理解每一个概念。此外，它在讲解一些算法的实现细节时，也特别用心，例如关于线性方程组的求解，它会详细介绍高斯消元法、LU分解法等不同方法的步骤，并且会分析它们的计算复杂度和数值稳定性，让我对不同方法的适用性有了更深刻的认识。它还提供了一些关于编程实现的建议，虽然不是直接的代码，但能给我很多启发。这本书真的让我觉得，学习数值分析不再是枯燥的公式推导，而是一个充满探索和发现的旅程。

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我必须说，这本《Study Guide for Burden/Faires' Numerical Analysis》在帮助我理解和掌握数值分析核心概念方面，起到了至关重要的作用。原著《Numerical Analysis》虽然内容严谨，但对于初学者而言，其中的数学证明和抽象概念有时让人望而却步。而这本学习指南则成功地弥合了这一差距。它非常擅长将复杂的数学理论转化为易于理解的语言和直观的示例。比如，在讲解根式查找算法时，它会生动地描绘各种算法（如二分法、割线法）在函数图像上逼近根的过程，并解释不同方法的收敛速度和适用条件，这让我对算法的几何意义有了更深的体会。我特别喜欢它在介绍误差分析时，会详细阐述不同误差来源（如截断误差、舍入误差）的性质，并提供如何减小这些误差的策略，这让我对数值计算的精度问题有了更全面的认识。它还包含了一些关于如何选择合适的数值方法的指导，这对于实际应用非常重要。这本书就像一个知识的“翻译器”，将原著中晦涩难懂的部分进行了清晰的阐释，让我能够更自信地应对这门课程。我已经将它列为我的必备学习资料，它确实是帮助我攻克数值分析的一大利器。

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作为一名多年未接触数学专业的学生，重新拾起数值分析对我来说是一个不小的挑战。原著《Numerical Analysis》虽然内容详实，但对我这样基础比较薄弱的学习者来说，有些地方显得过于精炼，直接跳过了很多中间步骤，让我无从下手。幸好我发现了这本《Study Guide for Burden/Faires' Numerical Analysis》，它就像一位循循善诱的良师益友。这本书的亮点在于它对每一个概念的拆解和重组，它不会直接给你一个复杂的公式，而是会先从最简单的例子入手，然后通过一系列的过渡，让你逐步理解公式的由来和意义。我特别欣赏它在介绍数值方法时，会详细解释算法的每一步操作，并且给出具体的数值例子，让你亲眼看到算法是如何工作的。例如，在讲解牛顿法时，它不仅给出了迭代公式，还配有图示，展示了每一步迭代是如何逼近根的，这种直观的展示让我对算法的几何意义有了更清晰的理解。此外，学习指南在讲解一些容易混淆的概念时，比如误差的来源和传播，也给出了非常详细的分析和辨析，帮助我区分了截断误差、舍入误差等概念。它还包含了一些额外的练习题，这些题目类型多样，难度适中，而且大多数都有详细的解答过程，让我能够检验自己的学习成果，并从中吸取经验。这本书真的让我对数值分析这门课重拾了信心，感觉不再是面对一座难以逾越的高山，而是可以一步一个脚印地攀登。

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当我拿到这本《Study Guide for Burden/Faires' Numerical Analysis》时，我并没有预设它仅仅是一本“翻译”原著的辅助材料，事实也证明了我的预感是对的。它更像是原著的“进阶阅读指南”，能够引导我深入理解原著中那些更具挑战性的部分。例如，在处理大型线性系统时，原著可能会介绍迭代法，而这本学习指南则会详细分析不同迭代法的收敛条件，比如雅可比法、高斯-赛德尔法，并提供一些优化迭代参数的技巧，这对我来说是极其宝贵的。它还会在某些章节后提供一些“拓展阅读”的建议，引荐相关的研究论文或者更深入的理论知识，这让我能够根据自己的兴趣进一步探索。这本书让我觉得，学习数值分析是一个持续深化的过程，而这本指南则是我不断攀登的阶梯。它不仅帮助我打牢了基础，更激发了我对数值分析更深层次的兴趣，让我看到了这门学科广阔的应用前景。我已经开始在我的研究项目中尝试应用书中介绍的一些高级技术，并收到了不错的效果。

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作为一名对数学细节要求比较高的学习者，我始终觉得一本好的学习指南能够帮助我更好地理解原著的精髓。《Study Guide for Burden/Faires' Numerical Analysis》在这方面做得非常出色。原著《Numerical Analysis》虽然内容扎实，但有时对于一些关键的推导过程，或者一些背景知识的补充，可能不够详尽。这本学习指南则恰好填补了这些空白。它在讲解每个重要定理或算法时，都会提供详细的证明步骤，并且会对每一步的逻辑进行清晰的阐释，让我能够真正理解其数学原理。同时，它还为我提供了一些关于数值方法的理论分析，比如收敛性的证明，误差界限的推导，这些都让我对算法的可靠性有了更深的信心。它不仅仅是给出结论，而是教会我如何一步步去推导和理解这些结论。它还包含了一些关于如何分析和比较不同数值算法的框架，这对于我做出明智的选择非常有帮助。这本书真的让我感觉，我不再是孤军奋战，而是有一个强大的助手在指导我如何深入研究数值分析的理论。

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