具体描述
《旋转群与洛伦兹群的表示：对称性的数学语言》 简介 本书深入探讨了物理学中两个核心的连续对称群——旋转群（$SO(3)$）和洛伦兹群（$SO(1,3)$）——的表示理论。对称性是自然界的基本组成部分，而群论正是描述和理解对称性的普适数学语言。在这本书中，我们将以严谨的数学视角，揭示旋转群和洛伦兹群如何在量子力学、粒子物理学和相对论中扮演的关键角色，并阐明它们的表示理论如何成为连接抽象数学概念与具体物理现象的桥梁。 第一部分：旋转群 $SO(3)$ 的表示 旋转群，顾名思义，描述的是三维欧几里得空间中的旋转操作。在物理学中，它与角动量守恒定律以及系统的旋转对称性紧密相连。本部分将从基础概念入手，逐步深入其表示理论。 1. 群论基础回顾: 我们将简要回顾群、子群、陪集、正规子群、商群、同态、同构等基本群论概念，为后续内容奠定必要的基础。特别会强调群表示的定义：将群的元素映射到向量空间上的可逆线性变换，以及表示的不可约性。 2. 三维旋转群 $SO(3)$ 的结构: 详细介绍 $SO(3)$ 作为李群的性质，包括其李代数 $mathfrak{so}(3)$ 的结构（同构于 $mathfrak{su}(2)$），以及 $SO(3)$ 与单连通群 $SU(2)$ 之间的同态关系。我们将探讨 $SO(3)$ 的拓扑特性，例如它是一个紧致、连通的李群，但非单连通。 3. $SO(3)$ 的表示: 二维表示与 $SU(2)$: 鉴于 $SO(3)$ 与 $SU(2)$ 的密切关系，我们将重点研究 $SU(2)$ 的表示。$SU(2)$ 的不可约表示是离散且有限维的，由一个非负整数 $j$（自旋量子数）唯一确定，记为 $D^{(j)}$。其维度为 $2j+1$。 角动量算符与 $SU(2)$ 代数: 引入量子力学中的角动量算符 $J_x, J_y, J_z$ 及其对易关系，证明它们构成一个与 $mathfrak{su}(2)$ 同构的李代数。这将直接导出角动量量子化、本征值和本征函数（球谐函数）的结构。 球谐函数作为 $SO(3)$ 的表示: 详细阐述球谐函数 $Y_{lm}( heta, phi)$ 如何构成 $SO(3)$ 的有限维不可约表示。它们是定义在球面上的函数，当球面发生旋转时，这些函数会按照特定的线性变换规则进行变换，正是这种变换规律定义了表示。我们将给出 $Y_{lm}$ 的具体形式，以及它们如何与 $D^{(j)}$ 联系起来（例如，对于角动量为 $l$ 的粒子，其波函数在 $SO(3)$ 的作用下会如何变换）。 张量算符和克莱布施-戈尔丹（Clebsch-Gordan）系数: 讨论如何通过张量算符的表示来构造更高维度的表示，并介绍张量乘积表示的分解，即如何将两个表示的张量积分解为若干个不可约表示的直和。克莱布施-戈尔丹系数在此过程中扮演着关键角色，它们是进行这种分解的变换矩阵。 第二部分：洛伦兹群 $SO(1,3)$ 的表示 洛伦兹群是描述狭义相对论中时空变换（包括旋转和洛伦兹提升）的群。它的表示理论对于理解基本粒子（如费米子和玻色子）的内在属性和相互作用至关重要。 1. 时空、四向量与洛伦兹变换: 回顾闵可夫斯基时空的几何结构，引入四维向量的概念，并详细阐述洛伦兹变换如何保持时空间隔不变。介绍洛伦兹群 $SO(1,3)$ 的基本性质，例如它是一个非紧致、连通的李群，但其连通分支的性质与 $SO(3)$ 不同。 2. 洛伦兹群的李代数 $mathfrak{so}(1,3)$: 导出洛伦兹群的李代数 $mathfrak{so}(1,3)$，并分析其结构。一个重要的结果是 $mathfrak{so}(1,3)$ 同构于 $mathfrak{su}(2) oplus mathfrak{su}(2)$。这个同构关系是理解洛伦兹群表示的关键。 3. 洛伦兹群的表示: 迪拉克代数与 $mathfrak{sl}(2, mathbb{C})$: 引入迪拉克矩阵，并展示它们如何生成一个代数，这个代数与 $mathfrak{sl}(2, mathbb{C})$（复数域上的 2x2 特殊线性群的李代数）密切相关。事实上，洛伦兹群 $SO(1,3)$ 通过同态映射到 $SL(2, mathbb{C})$。$SL(2, mathbb{C})$ 是洛伦兹群的二重覆盖群，并且是紧致群 $SU(2)$ 的复化。 表示的分类: 基于 $mathfrak{so}(1,3) cong mathfrak{su}(2) oplus mathfrak{su}(2)$ 的结构，洛伦兹群的不可约有限维表示由一对非负整数或半整数 $(j_1, j_2)$ 来标记，其中 $j_1$ 和 $j_2$ 分别对应于 $mathfrak{su}(2) oplus mathfrak{su}(2)$ 的两个 $mathfrak{su}(2)$ 部分的自旋量子数。因此，一个表示的空间维度是 $(2j_1+1)(2j_2+1)$。 旋量（Spinors）: 重点介绍 $(1/2, 0)$ 和 $(0, 1/2)$ 两个基本表示，它们分别被称为左手旋量和右手旋量。旋量不是向量，它们在洛伦兹变换下的变换规律与四向量不同。我们将详细讨论旋量的性质，以及它们如何与基本粒子（如电子、中微子）的性质相关联。 迪拉克旋量: 介绍由左右手旋量张量积构成的 $(1/2, 1/2)$ 表示，它正是四向量在洛伦兹变换下的表示。进一步，我们将讨论如何将两个旋量表示张量积分解，以及迪拉克方程的旋量形式。 其他表示: 简要介绍其他一些重要的表示，例如标量表示（$(0,0)$），矢量表示（$(1/2,1/2)$），张量表示（如 $(1,0) otimes (1,0) = (2,0) oplus (1,1) oplus (0,2)$）等，并说明它们在物理学中的对应（如标量粒子、光子等）。 结论 本书旨在为读者提供一个关于旋转群和洛伦兹群表示理论的全面而深入的理解。通过掌握这些表示理论，读者将能够更深刻地理解物理学中对称性的本质，并能够运用这些强大的数学工具来分析和描述各种物理现象，从基本粒子的性质到宇宙的结构。本书适合物理学、数学以及相关领域的研究生和高年级本科生阅读。
作者简介
目录信息
读后感
评分
评分
评分
评分
评分
用户评价
评分
评分
评分
评分
评分
相关图书
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2026 book.quotespace.org All Rights Reserved. 小美书屋 版权所有