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页数:243

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出版时间:2008-8

价格:21.60元

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isbn号码:9787040243406

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• 高等数学
• 微积分
• 数学分析
• 函数
• 极限
• 导数
• 积分
• 级数
• 常微分方程
• 线性代数

《微积分的奇妙旅程：从数形结合到无限的奥秘》 本书并非一本枯燥乏味的教科书，而是一次引人入胜的数学探索之旅。它将带您走进微积分的世界，领略它如何以一种前所未有的方式，为我们揭示自然界和人类社会的深刻规律。我们不会拘泥于繁琐的公式推导和抽象的定理证明，而是专注于微积分的核心思想，以及它在现实世界中的生动应用，让您在轻松愉悦的阅读体验中，深刻理解这个强大而优美的数学工具。 第一章：流动的世界——导数的直观理解 在这一章，我们将抛开“极限”这个略显抽象的词汇，从最直观的角度来理解“变化”。想象一下，你正驾车行驶在一条蜿蜒的山路上，你的速度时快时慢，而这“速度”就是我们在描述事物变化率的起点。我们会用大量生动的比喻和图像来解释导数——它到底意味着什么？它是如何衡量一个量相对于另一个量的变化趋势的？ 瞬时速度与平均速度： 我们将从熟悉的“平均速度”出发，逐步引申到“瞬时速度”。就像你无法精确测量某一瞬间的车速，但速度表可以告诉你一样，导数就是那个“速度表”，捕捉了事物在某个精确点上的变化率。 斜率的几何意义： 函数图像上的切线，它的斜率就是导数在那个点的几何意义。我们将通过绘制各种函数的图像，观察切线如何随着点的移动而变化，直观感受导数的变化。这不仅是数学上的理解，更是对事物发展趋势的洞察。 速率、增长率与变化趋势： 导数不仅仅是速度。它可以是人口增长率，可以是产品销量的变化率，可以是某种化学反应的速率。我们将通过具体的例子，展示导数在不同领域中所代表的“变化趋势”，让您看到数学如何成为我们理解世界的语言。 “动态”的视角： 传统数学往往关注“静态”的量，而微积分则赋予了我们“动态”的视角。它让我们能够分析事物的演变过程，预测未来的发展方向，从而做出更明智的决策。 第二章：累积的力量——积分的宏大视野 如果说导数是“解剖”变化，那么积分就是“重塑”变化。我们如何计算一个不规则形状的面积？如何确定一个变速运动的总位移？积分将以一种令人惊叹的方式，将无数微小的部分累积起来，形成一个整体。 面积与体积的计算： 想象一个湖泊，它的岸边形状不规则。我们如何计算它的面积？积分就像一把神奇的尺子，能够精确测量那些用传统几何方法难以企图的形状的面积和体积。我们将通过切割、累加等直观方法，理解积分的原理。 累积与总和： 积分不仅仅是面积。它可以是工作量的累积，可以是能量的总消耗，可以是信息的总传输量。我们将看到，积分如何将无数微小的贡献汇聚成一个宏观的结果。 “累积效应”的数学表达： 很多现实世界中的现象，比如复利的增长，或是学习新技能的进步，都体现了“累积效应”。积分正是描述这种累积效应的强大工具，它让我们看到量变最终如何引起质变。 定积分与不定积分： 我们将区分定积分和不定积分，理解它们各自的应用场景。定积分关注的是一个特定区间内的累积量，而不定积分则揭示了函数之间一种更普遍的“累积”关系。 第三章：连接的桥梁——基本定理的精妙之处 导数和积分，这两个看似独立的数学概念，在微积分基本定理的连接下，展现出惊人的统一性和力量。这一章将揭示微积分最核心的智慧，理解它是如何将“变化”与“累积”紧密联系在一起的。 “微分”与“积分”的互逆关系： 基本定理告诉我们，求导和积分是互为逆运算。这就像打开一个锁和锁上这个锁一样，是一种精妙的相互转化。我们将通过简单的例子，直观地理解这一关系。 化繁为简的利器： 知道这种互逆关系，我们就可以用积分来解决很多原本棘手的导数问题，反之亦然。这极大地简化了数学计算，也拓展了数学的应用范围。 发现隐藏规律： 微积分基本定理不仅仅是计算工具，它更是发现数学深层规律的钥匙。它帮助我们理解函数变化的本质，以及它们之间如何相互影响。 第四章：图形的语言——微积分在几何中的应用 微积分赋予了我们全新的视角来审视图形。它不仅仅是静态的形状，更是动态变化的集合。 曲线的分析： 我们将学习如何利用导数来分析曲线的形状，找出它的极值点（最大值和最小值），判断它的凹凸性。这将帮助我们更深入地理解函数的行为。 优化问题： 现实生活中充满了优化问题：如何在给定条件下获得最大的利润？如何设计出最节省材料的结构？微积分正是解决这些优化问题的强大工具，它能帮助我们找到最优解。 曲率与弧长： 我们将探索曲线的“弯曲程度”（曲率）以及曲线的长度，这些都是微积分能够精确计算的几何属性。 第五章：自然的律动——微积分在科学中的普及 微积分是描述自然界和科学现象的通用语言。从物理学的经典定律到生物学的演化模型，处处可见微积分的身影。 物理学：运动、力与能量： 牛顿的万有引力定律，能量守恒定律，都离不开微积分的描述。我们将看到，微积分如何帮助物理学家精确地描述和预测宇宙的运行规律。 经济学：增长模型与市场分析： 经济学家利用微积分来构建增长模型，预测市场趋势，分析供需关系。我们将了解微积分如何在经济决策中发挥作用。 生物学：种群动态与药物代谢： 生物学家利用微积分来模拟种群数量的变化，研究药物在体内的代谢过程，理解生物系统的复杂演化。 工程学：设计与控制： 从桥梁的结构设计到飞行器的自动控制，微积分在工程领域的应用无处不在，它确保了设计的精确性和系统的稳定性。 第六章：超越与展望——微积分的未来与挑战 微积分并非止步不前，它仍在不断发展和演进。我们将简单触及一些更高级的概念，以及微积分在人工智能、大数据等新兴领域的应用前景。 多变量微积分的初探： 当我们考虑不止一个变量时，微积分将变得更加复杂但也更加强大。我们将简要介绍多变量微积分的概念。 微分方程的魅力： 微分方程是描述事物变化规律的数学方程，是微积分最重要的应用之一。我们将看到它在解决实际问题中的巨大威力。 微积分与计算科学： 随着计算机技术的发展，微积分的计算能力得到了极大的提升，也为解决更复杂的问题提供了可能。 本书的目的，是激发您对微积分的兴趣，让您认识到它的强大与美妙。我们相信，通过这次“奇妙旅程”，您将不再将微积分视为一门遥不可及的学科，而是将其视为理解世界、解决问题的有力助手。它将为您打开一扇新的大门，让您以更加深刻、更加敏锐的视角去观察和思考我们身边的世界。

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这本书的叙事逻辑简直是一部精妙的交响乐章，它的推进节奏把握得炉火纯青。起始部分，它并非直接抛出那些令人望而生畏的定理，而是像一位耐心的向导，从读者已经熟悉的、更为基础的概念出发，循序渐进地搭建起一座通往更高知识殿堂的阶梯。每一个新概念的引入，都仿佛是乐章中一个全新的声部加入，它不是孤立存在的，而是与前文已经铺垫好的基础紧密交织、相互印证。尤其是在处理那些抽象的、需要高度空间想象力的证明过程时，作者采用了大量的类比和形象化的描述，这极大地降低了初学者的接受门槛。我发现，以往那些需要反复阅读好几遍才能勉强理解的证明步骤，在这本书里竟然变得清晰可见，仿佛作者直接站在我身边，用最简洁的语言为我勾勒出了清晰的思维路径。这种“润物细无声”的教学方式，比那种上来就堆砌公式的教材要高明得多，它真正做到了启发思考，而不是仅仅提供答案。

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这本书的习题设计绝对是其价值的另一大亮点，它们绝非简单的重复练习，而更像是针对每一章核心思想设计的一系列“思维挑战”。习题的难度梯度设置得非常合理，从基础巩固型到综合应用型，再到那些足以让人挠头冥想的“探究型”问题，层次分明，让人欲罢不能。我尤其欣赏那些需要跨章节知识整合才能解决的难题，它们强迫我必须将之前学到的各个孤立的知识点连接起来，形成一个完整的知识网络。完成一个难题后的成就感，是任何其他学习材料都无法比拟的。而且，这本书的配套答案（虽然我只是偶尔核对思路）并非简单的步骤罗列，而是提供了多种可能的解题思路和对错误常见陷阱的警示，这种细致入微的反馈机制，让我能清楚地看到自己的思维盲区，并在下一次遇到类似问题时加以规避，这对于自主学习者来说，简直是无价之宝。

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坦白说，我是一个对数学学习有一定畏惧心理的人，总觉得高等数学是座难以逾越的高山。但阅读完这本书的近三分之一后，这种感觉已经彻底消散了。它没有给我“我必须征服它”的压迫感，而是让我体会到“原来我可以理解并欣赏它”的乐趣。它像一位技艺高超的园丁，不仅修剪了那些杂乱的枝条，更重要的是，它细心地培育了每一颗知识的种子，让它们按照最自然的规律舒展生长。全书的语言风格保持了一种难得的平衡——既有学术的严谨，又不失学者的幽默与热情。那些在复杂公式中点缀的、恰到好处的精妙比喻，总能在关键时刻将我的思绪从纯粹的符号演算中拉回到其背后的几何或物理实在，让我始终保持着对数学美学的感知。这本书不仅仅是一本教科书，它更像是一份邀请函，邀请每一个读者真正走进数学的殿堂，体验其内在的和谐与逻辑之美。

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当我深入到关于极限和连续性的章节时，我深刻体会到了作者在教学法上的独到匠心。很多教材在处理这些“无限”的概念时，往往过于依赖于形式化的 $epsilon-delta$ 语言，使得读者很容易迷失在符号的丛林中，忘记了这些概念背后的直观意义。然而，这本书却巧妙地将严谨性与直觉性完美地结合起来。它没有回避 $epsilon-delta$ 的必要性，但在此之前，作者用极其生动的生活场景和物理模型，构建了一个稳固的直觉基础，让我能“感受”到收敛的含义。更令人称道的是，作者在每一个关键的转折点，都会穿插一些“历史侧记”或“概念辨析”的小栏目，这些小小的插曲，不仅为阅读增添了一份人文色彩，更重要的是，它们解释了为什么数学家会以这样的方式来定义这些概念，帮助读者从历史演变的角度去理解其必然性，而不是把它当作一堆武断的规则来死记硬背。这种深度挖掘源流的做法，极大地提升了知识的内在说服力。

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这本书的封面设计着实让人眼前一亮，那种沉稳的墨绿色调，配上烫金的标题字体，散发出一种既古典又严谨的气息，让人一拿到手就感觉重量不凡，仿佛捧着的是一块经过千锤百炼的知识基石。我特地挑选了一个阳光明媚的下午，在自家安静的书房里，小心翼翼地翻开了扉页。内页的纸张质感细腻柔滑，不是那种廉价的、一翻就起毛的纸张，印刷的油墨清晰锐利，即便是最细小的脚注和公式符号，也看得一清二楚，这对于需要长时间盯着复杂数学表达式阅读的人来说，简直是一种视觉上的享受。排版布局也极为考究，章节之间的留白恰到好处，既保证了信息密度，又避免了局促感，让人在阅读过程中能保持思维的顺畅，不至于因为视觉疲劳而打断思考的连贯性。这种对细节的极致追求，无疑是为内容的深度和广度打下了坚实的基础。我甚至花了好几分钟欣赏了一下作者的名字和致谢部分的设计，那种内敛而自信的学者风范，从这些细微处便已悄然流露，让人对接下来的阅读内容充满了由衷的期待和敬意。

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