The monge-ampere equationMonge-Ampere方程 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Gutierrez, Cristian E.

出品人:

页数:125

译者:

出版时间:2001-5

价格:931.00元

装帧:

isbn号码:9780817641771

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《几何测度论中的非线性椭圆型方程》 内容提要： 本书深入探讨了现代几何学与偏微分方程领域交叉的核心主题——由特定的非线性椭圆型方程所控制的几何对象的性质。重点聚焦于一类具有深刻几何意义的偏微分方程，这些方程在微分几何、凸几何以及概率论等多个领域中扮演着基础性的角色。本书旨在为读者构建一个坚实的理论框架，理解这些方程的定性与定址理论，特别是其解的存在性、唯一性、正则性及其在特定几何背景下的演化规律。 全书结构严谨，从基础的变分原理和充分条件出发，逐步深入到方程的非线性复杂性。我们详细分析了涉及高斯曲率、平均曲率或更一般形式的二次微分形式的非线性偏微分方程。这些方程的显著特征在于其非线性的二阶导数项，这使得传统的线性方程理论难以直接应用，需要借助更精妙的分析工具，如弱解理论、凸函数理论以及临界点理论。 核心章节与重点内容： 第一部分：变分基础与背景几何 本部分首先回顾了必要的测度论、 Sobolev 空间以及泛函分析基础，为后续的偏微分方程分析奠定基础。随后，我们引入了与几何结构紧密相关的能量泛函。重点阐述了如何将几何问题（如极小曲面问题、等周问题等）转化为寻找特定能量泛函的极小值点，进而引出非线性椭圆型方程的变分结构。 1.1 凸集与凸函数空间： 详细讨论了由 $mathbb{R}^n$ 上的凸函数组成的函数空间 $C^{0, alpha}(Omega) cap ext{Convex}$ 的拓扑性质。探讨了这些函数在几何上的意义，例如描述了势函数的梯度场或曲率信息。 1.2 黎曼度量与曲率形式： 简要回顾了度量空间上的可微结构。特别强调了通过度量张量诱导的二次微分形式，以及如何利用这些形式定义微分算子。引入了曲率的分析表示法，为理解高阶非线性方程的几何本源做铺垫。 第二部分：非线性椭圆型方程的定性理论 本部分是全书的核心，致力于分析一类特定的、结构上包含非线性二阶导数项的偏微分方程。这类方程的解通常反映了某种最优的几何配置。 2.1 弱解的存在性： 针对具有散度形式的非线性方程，我们利用 Mössbauer 不动点定理或更现代的极小化方法来证明弱解的存在性。重点讨论了在边界条件相对不光滑或定义域非凸的情况下，如何利用紧性技术（如 Rellich-Kondrachov 定理的推广）来提取收敛子列。 2.2 正则性理论： 讨论了弱解提升到光滑解的过程。我们细致分析了关于解的梯度（或一阶导数）的先验估计，特别是利用 $W^{2, p}$ 估计和 De Giorgi-Nash-Moser 理论的框架来分析方程的内部正则性。对于涉及更复杂非线性项的方程，我们引入了势函数的技巧，将非线性问题转化为关于某个势函数的线性方程，从而利用成熟的线性理论来解决。 2.3 唯一性与比较原理： 针对具有单调性的非线性算子，我们建立了严格的比较原理。这使得我们可以确定在给定边界条件下解的唯一性，或在不同边界条件下解的相对大小关系。比较原理在证明解的稳定性方面至关重要。 第三部分：特定几何约束下的非线性演化方程 本部分将理论分析应用于具体的几何问题，关注解在时间上的动态演化。 3.1 几何流的分析框架： 引入了描述几何曲面演化的热流方程。这些方程通常是抛物型的，但其非线性项来源于曲率的定义，使其在分析上具有椭圆型方程的某些特征。详细分析了在平均曲率流或曲率驱动流下的光滑性保持和极限行为。 3.2 势流与最优传输理论的联系： 探讨了某些非线性扩散方程如何与最优传输问题中的势场结构相联系。特别是，讨论了在概率测度之间寻求“最短路径”时，其生成方程所具有的非线性椭圆特性。这部分内容涵盖了梯度流的理论，将非线性扩散视为能量泛函在某一特定度量空间上的梯度流。 3.3 奇点的形成与避免： 对于演化方程，一个关键挑战是研究解的有限时间奇点形成。我们分析了通过能量估计和 Harnack 估计来预测或避免奇点形成的方法。例如，在某些曲率驱动的流中，奇点的出现往往与几何拓扑的变化相关联，本书将讨论这些几何事件的分析前兆。 第四部分：数值逼近与应用展望 最后一部分简要概述了求解这些方程的数值方法，并展望了其在现代物理学和工程学中的潜在应用。 4.1 有限元与有限差分方法： 讨论了针对非线性椭圆型方程的稳定、一致的离散化方案。重点关注如何处理非线性项的离散化，以及如何结合凸性约束进行稳定的迭代求解。 4.2 几何分析的现代方向： 总结了当前研究的热点，包括高维空间中的正则性问题、具有随机扰动的非线性方程，以及这些方程在数据科学和机器学习中的新角色。 本书适合于具有扎实泛函分析和偏微分方程基础的研究生和研究人员。它不仅提供了严格的数学证明，更重要的是，阐明了驱动这些复杂方程背后的深刻几何直觉。通过对这些问题的系统性研究，读者将能掌握分析高度非线性偏微分方程的强大工具集，并能将其应用于几何测度论及相关领域的尖端研究中。

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这本书的装帧设计非常简洁大气，深色调的书名在米白色的封面上显得格外醒目，传递出一种沉静而又不容忽视的力量。我翻开书页，就被其中清晰的条理和严谨的数学表述所吸引。即使我还没有时间深入研读，但仅仅是浏览章节标题，就能感受到作者对于Monge-Ampere方程的理解是多么透彻和全面。我注意到书中可能包含了对不同解的存在性、唯一性以及光滑性等问题的深入探讨，这对于任何希望深入理解该方程的读者来说，都是至关重要的。此外，书中对于一些几何背景的介绍，也为理解方程的几何意义提供了必要的铺垫。我期待着，这本书能够帮助我建立起对Monge-Ampere方程的完整认知体系，从理论基础到可能的应用，都能够有一个清晰的认识。这仿佛是一次由浅入深，最终抵达数学真谛的旅程。

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这本书就像是一扇通往高维几何和分析世界的大门，而Monge-Ampere方程则是这扇门上最醒目的锁。我被书中的语言所吸引，那种严谨而又富有诗意的数学表达，让我仿佛置身于一个纯粹的智力殿堂。尽管我并非该领域的专家，但我能够感受到作者对于数学美的深刻理解和追求。书中那些精巧的推导过程，即便我无法完全消化，也让我对数学的逻辑力量和抽象思维之美有了新的体悟。我尤其对书中关于“最优输运”的介绍部分感到好奇，它似乎将Monge-Ampere方程与现实世界中的问题联系起来，比如资源的分配和数据的迁移，这让我对数学的应用有了更广阔的想象。我期待着，通过这本书，能够逐渐理解那些抽象的公式背后所蕴含的深刻意义，并尝试将这种理解转化为解决实际问题的能力。这本书不仅仅是知识的传递，更是一种思维的启迪。

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作为一个对数学物理交叉领域充满兴趣的读者，我被这本书的标题深深吸引。Monge-Ampere方程本身就是一个连接几何、分析乃至理论物理的重要桥梁，而这本书的出现，无疑为我提供了一个深入了解这一领域的绝佳机会。我粗略浏览了一下目录，发现书中不仅涵盖了方程的基本理论，还可能涉及其在弯曲空间、凸几何以及黑洞物理等方面的应用。这让我感到非常兴奋，因为这些领域正是当前研究的热点。我尤其期待书中能够对一些经典问题的解决过程进行详细的讲解，比如如何利用Monge-Ampere方程来刻画某些几何结构，或者在物理模型中扮演何种关键角色。这本书给我一种感觉，它是一本能够引导读者进行深入学术探索，并且具有高度前沿性的著作，它有潜力成为我研究道路上的重要参考。

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我拿到这本书时，第一感觉是它的“分量”。这不仅仅是物理上的重量，更是内容上的厚重感。从我粗略翻阅的几页来看，作者显然是深入研究了Monge-Ampere方程的方方面面，并且将其梳理得井井有条。我注意到，书中对于一些基础概念的介绍非常详尽，这对于我这样可能需要温习背景知识的读者来说，无疑是一大福音。而且，书中似乎引用了大量的前沿研究成果，这让我对这本书的时效性和学术价值充满了期待。我尤其好奇书中是如何处理方程的解的存在性和唯一性问题的，这通常是这类偏微分方程研究的核心难点。此外，书中是否涉及一些数值计算的方法，这也是我比较关心的一点，毕竟理论的验证往往离不开实际的计算。总的来说，这本书给我的第一印象是：它是一本能够带领读者深入探索Monge-Ampere方程世界，并且提供丰富理论和潜在实践指导的权威性著作。

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这本书的封面设计就透露着一股严谨与深邃的气息，深邃的蓝色背景上，银色的书名“The Monge-Ampere Equation”宛如星辰般点缀，低调却不失力量。翻开书页，我立刻被其清晰的排版和精致的图表所吸引。即便我还没有深入研究其中的每一个数学符号，但仅仅是浏览目录和章节标题，就足以让我感受到作者在组织材料上的匠心独运。那种循序渐进的逻辑脉络，似乎预示着即使是初学者，也能在这本书的引导下，一步步揭开Monge-Ampere方程的神秘面纱。我尤其对其中关于“几何测度论”与“最优输运”章节的联系产生了浓厚的兴趣，这似乎为理解方程的深层含义提供了全新的视角。我期待着，在接下来的阅读中，能在这本书的帮助下，不仅掌握Monge-Ampere方程的理论基础，更能对其在各个领域的实际应用有更深刻的认识。这本书的厚度也恰到好处，既不显得过于仓促，也不至于让人望而却步，仿佛是一次精心设计的探索之旅，等待着我去发掘其中的宝藏。

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