具体描述
Combinatorial optimization has its roots in combinatorics, operations research,
and theoretical computer science. A main motivation is that thousands of real-life
problems can be formulated as abstract combinatorial optimization problems. We
focus on the detailed study of classical problems which occur in many different
contexts, together with the underlying theory.
Most combinatorial optimization problems can be formulated naturally in terms
of graphs and as (integer) linear programs. Therefore this book starts, after an
introduction, by reviewing basic graph theory and proving those results in linear
and integer programming which are most relevant for combinatorial optimization.
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1 Enumeration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Running Time of Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Linear Optimization Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Sorting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1 Basic Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Trees, Circuits, and Cuts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Connectivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4 Eulerian and Bipartite Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5 Planarity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6 Planar Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3 Linear Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1 Polyhedra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2 The Simplex Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 Implementation of the Simplex Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.4 Duality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.5 Convex Hulls and Polytopes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4 Linear Programming Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1 Size of Vertices and Faces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2 Continued Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3 Gaussian Elimination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4 The Ellipsoid Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.5 Khachiyan’s Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.6 Separation and Optimization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5 Integer Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.1 The Integer Hull of a Polyhedron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2 Unimodular Transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.3 Total Dual Integrality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.4 Totally Unimodular Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.5 Cutting Planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.6 Lagrangean Relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6 Spanning Trees and Arborescences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.1 Minimum Spanning Trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.2 Minimum Weight Arborescences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.3 Polyhedral Descriptions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
6.4 Packing Spanning Trees and Arborescences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
7 Shortest Paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.1 Shortest Paths From One Source . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.2 Shortest Paths Between All Pairs of Vertices . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
7.3 Minimum Mean Cycles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8 Network Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
8.1 Max-Flow-Min-Cut Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.2 Menger’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
8.3 The Edmonds-Karp Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
8.4 Blocking Flows and Fujishige’s Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
8.5 The Goldberg-Tarjan Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
8.6 Gomory-Hu Trees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
8.7 The Minimum Capacity of a Cut in an Undirected Graph . . . . . . . 186
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
9 Minimum Cost Flows . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
9.1 Problem Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
9.2 An Optimality Criterion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
9.3 Minimum Mean Cycle-Cancelling Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
9.4 Successive Shortest Path Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
9.5 Orlin’s Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
9.6 The Network Simplex Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
9.7 Flows Over Time . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
作者简介
目录信息
读后感
评分
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用户评价
这本书给我最深刻的印象是其强大的“模型构建”能力。作者不仅仅是介绍算法，更重要的是他教会读者如何将现实世界中的复杂问题，抽象成数学模型，然后选择合适的算法来求解。我非常喜欢他关于“旅行商问题”的讨论。旅行商问题是一个经典的NP-难问题，意味着随着城市数量的增加，找到最优解的计算成本呈指数级增长。作者在这部分内容中，详细介绍了精确算法（如动态规划和割平面法）和近似算法（如最近邻算法和2-opt算法），并对它们的性能进行了比较。他还讨论了如何将旅行商问题转化为一个整数规划模型，并且如何利用商业求解器来解决大规模的实例。这种从问题到模型，再到求解器的完整流程，让我受益匪浅。此外，书中关于“最大化边际收益”的章节也让我印象深刻。许多现实世界的优化问题，其目标函数并非简单的线性或二次函数，而是具有一定的“边际收益”特性。作者在这部分内容中，介绍了如何利用贪心算法和一些动态规划的技巧来解决这类问题，例如在用户推荐系统中，如何选择最具吸引力的商品来最大化用户购买的可能性。他对这些算法的解释非常清晰，并且总是会附带一些易于理解的图例。这本书的实用性和理论深度兼具，为我提供了宝贵的知识财富。
评分这本书的结构设计非常合理，循序渐进，从基础概念到高级算法，层层深入。我尤其喜欢作者在介绍“网络流”问题时，首先从一个非常简单的“水管”比喻开始，让我们理解什么是一个流，什么是一个容量，以及我们需要解决什么样的问题。然后，他逐步引入最大流最小割定理，并给出了几种不同的证明方法。这些证明方法虽然各有侧重，但都清晰地揭示了最大流和最小割之间的内在联系。在阅读这部分内容时，我时常会想到一些实际的通信网络或交通网络中的流量优化问题，比如如何最大化数据在网络中的传输速率，或者如何最小化交通拥堵。书中还详细介绍了匈牙利算法，用于解决指派问题，也就是如何将一组任务分配给一组执行者，使得总成本最小化。这个算法的优雅之处在于它能够高效地找到一个最优的指派方案，而且其证明过程也相当精巧。我曾经遇到过类似的问题，比如如何为一个项目团队分配不同的任务，以最大化团队的整体效率，而匈牙利算法的思路为我提供了很好的借鉴。作者对每种算法的分析都非常细致，不仅包括其工作原理，还包括其时间复杂度和适用范围。这使得我能够根据具体问题的特点，选择最合适的算法。
评分这本书在我书架上占据了一个很重要的位置，我经常会时不时地翻阅其中的某些章节，每次都能获得新的启发。我尤其对书中关于“局部搜索”和“全局搜索”策略的对比分析印象深刻。作者通过模拟退火、遗传算法等启发式方法，展示了如何在巨大的解空间中，寻找到一个足够好的解，即使它不一定是绝对最优的。这种“满足于好”的思想，在很多现实世界的决策中都至关重要，因为在时间或计算资源有限的情况下，追求绝对最优往往是不切实际的。他将这些算法与一些经典的优化模型，如背包问题、最大团问题等结合起来讲解，让我们看到这些抽象模型在现实世界中的具体应用。例如，在解决投资组合优化问题时，我们可以将不同的资产视为“元素”，而投资组合的“价值”则是一个需要最大化的目标函数，而组合中资产的数量或总权重则可能受到各种约束。作者在讲解这些模型时，总是会先给出模型的数学形式，然后详细解释每个变量和约束的含义，以及它们如何对应现实中的具体情况。这种严谨的建模过程，是解决任何复杂问题都不可或缺的第一步。我还很喜欢书中关于“网络流”的章节，特别是最小割最大流定理的证明。虽然证明过程相当精巧，但作者通过图示和分步讲解，将一个看似复杂的数学定理变得易于理解。这让我意识到，很多看似难以解决的优化问题，其实都可以通过巧妙的转换，归结为图论中的某个基本问题。这本书的深度和广度都非常出色，它涵盖了从理论基础到实际应用，从经典算法到现代元启发式方法，为读者提供了一个全面的视角。
评分这本书给我的最大感受是其“算法的博弈性”和“复杂性的挑战”。作者在介绍NP-难问题时，并没有止步于说明问题的难以求解，而是深入探讨了如何通过近似算法、随机算法和启发式算法来寻找“足够好”的解决方案。我尤其对书中关于“最大独立集问题”的讨论印象深刻。这是一个寻找图中顶点子集，使得任意两顶点之间没有边连接的子集，并且这个子集的大小是最大的问题。这是一个典型的NP-难问题，意味着我们很难找到一个高效的精确算法来求解。作者在这部分内容中，介绍了多种近似算法，包括基于贪心策略的算法和基于随机化的算法，并对它们的性能进行了比较。他还讨论了如何通过将最大独立集问题转化为最大团问题，或者利用一些特定的图结构来加速求解。这种对于算法在面对困难问题时不同策略的探索，让我对算法设计有了更深的理解。书中还提到了很多关于“图匹配”的算法，例如最大基数匹配和最大权匹配，这些算法在很多领域都有广泛的应用，比如在任务分配、资源调度以及社交网络分析等方面。我对作者对于这些算法的时间复杂度的分析非常感兴趣，他不仅给出了算法的理论复杂度，还解释了这些复杂度是如何影响算法在实际应用中的表现的。
评分第一次拿到这本书，我被它的分量所震撼，但当我真正开始阅读时，我发现它远比我想象的要易于接受。作者在介绍每一个新的算法或概念时，都遵循着一个清晰的逻辑：先描述问题场景，然后解释为什么经典方法不够用，接着引出新的方法，并详细阐述其工作原理和数学基础。我尤其喜欢书中关于“约束规划”的讨论。约束规划是一种与数学规划不同的解决问题的方法，它侧重于描述问题中的各种约束条件，然后通过搜索和传播技术来找到满足所有约束的解。作者在这部分内容中，介绍了诸如回溯搜索、前向检查、弧一致性等重要的约束传播技术，并解释了它们如何有效地缩小搜索空间。这让我意识到，很多复杂的问题，与其试图去构建一个精密的数学模型，不如先将所有已知的约束条件清晰地列出来，然后利用这些技术来求解。书中还提到了许多关于“图着色”和“调度”问题的经典算法，这些问题在计算机科学和运筹学中都占据着重要地位。作者将这些问题与实际应用场景相结合，比如如何为通信网络中的频率分配颜色，或者如何为一个制造车间安排生产任务，都使得这些理论知识更加生动和实用。我对作者在这部分内容中对于算法复杂度的分析尤其感兴趣，他不仅给出了算法的时间和空间复杂度，还解释了这些复杂度是如何影响算法在实际应用中的表现的。
评分这本书的封面设计就吸引了我，那种深邃的蓝色背景，搭配上几何图形的交织，似乎预示着其中蕴含的数学之美和逻辑的严谨。我一直对通过优化找到最佳解决方案的领域充满好奇，而“组合优化”这个名字本身就充满了力量感和神秘感。翻开扉页，作者用一种非常引人入胜的方式，将组合优化这样一个听起来高深的学科，与我们日常生活中遇到的各种问题联系起来，比如如何最优地安排物流路线，如何高效地分配资源，甚至是如何设计一个完美的日程表。我尤其喜欢作者在介绍基本概念时，并没有直接抛出复杂的数学公式，而是先通过生动的例子，比如解决旅行商问题时，你必须考虑每条可能的路径，并从中找到最短的那一条。这种循序渐进的学习方式，让我这样一个对数学并非十分精通的读者，也能迅速抓住核心要点。他巧妙地运用了图论、整数规划、动态规划等概念，但每次介绍时都会先从一个具体的场景出发，让我们理解这些工具解决的是什么样的问题，而不是仅仅记住一套抽象的理论。书中关于 NP-难问题和近似算法的讨论，更是让我大开眼界，原来有些问题是如此难以找到精确解，而巧妙的近似算法却能给我们带来意想不到的实用价值。阅读过程中，我时常会停下来，思考书中所讲的算法如何应用到我自己的学习和工作中。例如，在安排实验项目时，我就可以借鉴书中关于任务调度和资源分配的思路，以更有效率的方式进行。这本书不仅仅是一本技术手册，更像是一位经验丰富的导师，在引导我探索这个充满挑战和乐趣的领域。他对于算法效率和复杂性的分析，也让我对计算的本质有了更深的认识。我非常欣赏作者的写作风格，既有学术的严谨，又不失亲切的引导。
评分这本书的魅力在于它能够将看似枯燥的数学理论，与生动活泼的现实世界问题巧妙地融合在一起。我特别欣赏作者在讲解“背包问题”时，将一个经典的组合优化问题，转化为一个非常贴近生活的场景：一个登山者在一个有限的背包容量下，如何选择最有价值的物品来携带，以最大化总价值。他详细介绍了0-1背包问题和部分背包问题，以及它们各自的求解方法。对于0-1背包问题，他介绍了动态规划算法，并对其状态转移方程进行了详细的解释。对于部分背包问题，他则介绍了贪心算法，并证明了其最优性。这种由浅入深，由具体到抽象的讲解方式，让我能够非常轻松地理解这些算法的核心思想。书中还对“集合覆盖问题”进行了深入的探讨，这个问题涉及到如何用最少的集合来覆盖所有给定的元素，这在很多现实世界的应用中都非常常见，比如在电信网络中，如何选择最少的基站来覆盖所有用户区域。作者在这部分内容中，介绍了近似算法，并对其近似比进行了分析。他对算法的分析非常透彻，不仅给出了算法的步骤，还解释了算法背后的数学原理。这本书的内容非常扎实，而且涵盖了组合优化的许多重要方向。
评分这本书的“实战性”是我非常欣赏的一点。作者并没有将组合优化局限于理论研究，而是将其与许多实际应用场景紧密结合，例如物流配送、生产调度、金融投资组合优化等等。我尤其喜欢书中关于“装箱问题”的讲解。装箱问题是一个经典的组合优化问题，它涉及到如何在有限的箱子容量下，将一组物品装入最少的箱子中。作者在这部分内容中，详细介绍了多种装箱算法，包括首次适应算法、最佳适应算法以及改进的首次适应算法，并对它们的性能进行了比较。他还讨论了如何将装箱问题转化为一个整数规划模型，并且如何利用商业求解器来解决大规模的实例。这种从问题到模型，再到求解器的完整流程，让我受益匪浅。此外，书中关于“最短路径问题”的讨论也让我印象深刻。作者介绍了Dijkstra算法和Bellman-Ford算法，并对其应用场景进行了详细的说明。他还讨论了如何将图转化为一个网络流模型，以及如何利用网络流算法来解决一些与最短路径相关的问题。他对算法的分析非常透彻，不仅给出了算法的步骤，还解释了算法背后的数学原理。这本书的内容非常扎实，而且涵盖了组合优化的许多重要方向，为我提供了宝贵的知识财富。
评分这本书在“算法的迭代和改进”方面做得尤为出色。作者并没有满足于介绍经典的算法，而是深入探讨了如何对现有算法进行改进，以提高其效率和性能。我尤其对书中关于“遗传算法”的讲解印象深刻。遗传算法是一种模拟自然选择和遗传机制的随机搜索算法，它在解决复杂的组合优化问题方面取得了显著的成效。作者在这部分内容中，详细介绍了遗传算法的几个关键组成部分：种群初始化、选择、交叉和变异，并对它们的作用进行了详细的解释。他还讨论了如何根据问题的特点来设计合适的遗传算子，以及如何调整算法的参数以获得更好的结果。他对算法的分析非常透彻，不仅给出了算法的步骤，还解释了算法背后的数学原理。书中还对“模拟退火算法”进行了深入的探讨，这是一种基于物理退火过程的随机搜索算法，它能够有效地避免陷入局部最优解。作者在这部分内容中，详细介绍了模拟退火算法的核心思想，即通过引入一个“温度”参数来控制算法的探索和利用的平衡，并解释了如何根据问题的特点来选择合适的退火调度。我对作者对于这些算法的分析非常感兴趣，他不仅给出了算法的理论复杂度，还解释了这些复杂度是如何影响算法在实际应用中的表现的。这本书的内容非常扎实，而且涵盖了组合优化的许多重要方向。
评分这本书的写作风格非常独特，作者似乎有一种将抽象的数学概念“具象化”的能力。他不会回避复杂的数学推导，但他总能在推导之前，用一个非常直观的例子来铺垫，让我们理解为什么要进行这样的推导，以及推导的结果意味着什么。我特别欣赏他关于“整数规划”的章节。整数规划是一种非常强大的建模工具，但其难解性也众所周知。作者在这部分内容中，详细介绍了割平面法、分支定界法等求解整数规划的经典算法，并且对每种算法的优缺点进行了深入的分析。他解释了为什么整数约束会增加问题的难度，以及这些算法是如何通过巧妙的策略来处理这些约束的。在阅读这部分内容时，我时常会联想到自己在实际工作中遇到的需要做离散选择的问题，比如生产计划中，是生产某种产品还是不生产，或者选择哪个供应商，这些都是典型的二元决策，都需要整数规划来建模。书中还提到了许多关于“配对”问题的算法，比如稳定婚姻问题。虽然这看似是一个轻松的话题，但其背后的算法思想——如何通过迭代交换来达到一种稳定状态——却在很多其他领域都有广泛的应用，比如计算机网络中的资源分配，或者社交网络中的关系匹配。这本书的内容非常丰富，而且涵盖了组合优化的许多重要分支，从理论到实践，都展现了作者深厚的功底。
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