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出版者:Springer

作者:B.L. van der Waerden

出品人:

页数:296

译者:

出版时间:2003-10-17

价格:USD 44.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780387406251

丛书系列:

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线性代数基础：结构、变换与应用 作者： [虚构的作者姓名，例如：罗伯特·S·哈里斯 (Robert S. Harris)] 出版社： [虚构的出版社名称，例如：普林斯顿大学出版社 (Princeton University Press)] --- 图书概述 《线性代数基础：结构、变换与应用》是一本旨在为读者提供坚实、直观且应用驱动的线性代数知识体系的教材。本书超越了传统教科书侧重于纯粹的计算技巧的局限，深入探讨了向量空间这一核心概念的内在结构，线性变换的几何意义，以及矩阵代数如何作为描述这些结构的强大工具。本书特别强调从几何直觉出发理解抽象概念，并通过大量的真实世界案例，展示线性代数在现代科学、工程、计算机图形学、数据分析和优化理论中的不可替代的作用。 本书内容经过精心组织，旨在帮助初学者构建清晰的认知框架，同时为有一定基础的读者提供深化理解和探索高级主题的跳板。我们假设读者具备微积分（单变量和多变量）的基本知识，但本书会独立于微积分的复杂性来介绍线性代数的原理，确保其普适性。 第一部分：向量空间与基础结构 (Foundations of Vector Spaces) 本部分是全书的基石，致力于建立读者对线性代数核心概念的直观和严格理解。 第1章：向量与线性组合的几何意义 本章从二维和三维欧几里得空间（$mathbb{R}^2$ 和 $mathbb{R}^3$）入手，引入向量的代数表示、向量的加法和标量乘法。我们着重于向量的几何解释——位移、方向和大小。随后，引入线性组合、张成（Span）的概念，并首次探讨线性相关性和线性无关性，通过几何图形来阐述这些概念的物理意义。重点讨论如何通过线性组合来描述空间中的子集（如直线和平面）。 第2章：子空间、基与维度 (Subspaces, Basis, and Dimension) 本章将概念推广到任意域上的抽象向量空间。我们严格定义子空间，并详细考察四种基本子空间：列空间（Column Space）、零空间（Null Space）、行空间（Row Space）和左零空间（Left Null Space）。“基”（Basis）的概念被引入为“最小生成集”和“最大无关集”的统一描述。维度定理（Rank-Nullity Theorem）在此处得到详细的几何证明和应用阐述。读者将学会如何系统地构造和识别任意向量空间的基。 第3章：矩阵与线性映射 (Matrices and Linear Mappings) 本章是连接代数与几何的桥梁。矩阵不再仅仅是数字的矩形阵列，而是从一个向量空间到另一个向量空间的线性映射（Linear Transformation）的明确表示。我们分析线性映射的性质，如保持加法和标量乘法。重点讨论矩阵乘法如何对应于线性映射的复合。本章细致区分了变换的类型，如旋转、缩放、投影和剪切，并展示这些变换如何通过特定的矩阵来编码。 第二部分：线性方程组与矩阵分析 (Solving Systems and Matrix Analysis) 本部分专注于线性方程组的求解过程，并引入矩阵分解作为理解系统特性的强大工具。 第4章：高斯消元法与矩阵的秩 高斯消元法（Gaussian Elimination）被介绍为求解 $Amathbf{x} = mathbf{b}$ 的系统化算法。我们深入分析行阶梯形（Row Echelon Form）和简化行阶梯形（Reduced Row Echelon Form）的唯一性和重要性。重点讨论自由变量、基本变量以及解集的几何结构（解空间是子空间吗？）。本章详尽解释了矩阵的秩（Rank）与其基本子空间的关系，以及如何利用秩来判断方程组解的存在性和唯一性。 第5章：逆矩阵与矩阵的分解 本章探讨可逆矩阵（Invertible Matrices）的性质，即“方阵的等价定理”。我们将逆矩阵视为逆变换的矩阵表示。随后，引入初等矩阵（Elementary Matrices）的概念，并展示如何将任何矩阵分解为一系列基本操作的复合——LU分解。LU分解不仅是计算效率的保证，也是理解矩阵结构的关键。 第6章：行列式：面积、体积与可逆性 行列式（Determinant）被介绍为衡量线性变换对体积（或面积）的缩放因子。本章先从定义出发，阐述其多线性、反对称性质，并建立行列式与逆矩阵存在性的联系（$det(A) eq 0$）。重点讨论行列式的计算方法，包括代数余子式展开和通过行简化计算。行列式在求解线性方程组的克拉默法则（Cramer's Rule）的应用将被作为理论有趣的补充。 第三部分：特征值、对角化与动力系统 (Eigenvalues, Diagonalization, and Dynamical Systems) 本部分是线性代数应用最为广泛的领域之一，聚焦于系统不变性、稳定性和长期行为的分析。 第7章：特征值与特征向量 (Eigenvalues and Eigenvectors) 特征值和特征向量被定义为在特定线性变换下方向保持不变的特殊向量。本章阐述如何通过求解特征方程 $det(A - lambda I) = 0$ 来找到它们。我们强调特征向量的几何意义：它们定义了系统中最“基本”的运动轴。 第8章：对角化与矩阵函数 本章的核心是“对角化”（Diagonalization）。当一个 $n imes n$ 矩阵可以被对角化时，计算其高次幂 $A^k$ 或矩阵函数（如 $e^A$）将变得异常简单。我们详细推导对角化条件（特征向量的完备性），并分析不可对角化的情况。对角化在求解离散时间动力系统（如马尔可夫链）和常微分方程组中的应用被作为关键案例进行演示。 第9章：对称矩阵与正交性 (Symmetric Matrices and Orthogonality) 正交性是几何学中最自然的概念之一，本章将其提升到抽象向量空间。我们定义内积（Inner Product），并基于内积定义正交向量、正交基和正交矩阵。重点介绍格拉姆-施密特正交化过程（Gram-Schmidt Process），用于构造任意子空间的标准正交基。对称矩阵的谱定理（Spectral Theorem）是本章的亮点，它保证了所有实对称矩阵都可以被正交对角化，这在最小二乘法和主成分分析（PCA）中至关重要。 第四部分：高级主题与应用拓展 (Advanced Topics and Applications) 本部分提供对特定应用领域的深入探讨，展示线性代数工具的广阔视野。 第10章：最小二乘法与数据拟合 当系统 $Amathbf{x} = mathbf{b}$ 无精确解时（超定系统），最小二乘法（Least Squares）成为寻找“最佳近似解”的标准方法。本章解释了如何通过求解正规方程（Normal Equations）来实现最小残差。我们利用正交投影的概念，清晰地阐明了最小二乘解的几何意义——它是在 $A$ 的列空间中的投影。 第11章：Jordan 标准型（简介） 对于那些特征向量个数不足以对角化的矩阵，本章提供了一种推广的分解形式——Jordan 标准型。虽然计算相对复杂，但理解 Jordan 块对于分析微分方程组的稳定性至关重要。本章仅侧重于概念介绍和其在理论上的必要性。 第12章：应用案例：主成分分析 (PCA) 与数据压缩 本章将前几章的知识（特征值、对称矩阵、正交性）集成，用于处理高维数据。我们解释了协方差矩阵、特征向量如何定义数据的主方向（即方差最大的方向），从而实现有效的降维和数据可视化，这是现代数据科学的核心技术之一。 本书特点： 1. 几何驱动 (Geometry-Driven)： 每一个抽象概念（如基、秩、特征值）都首先通过 $mathbb{R}^2$ 或 $mathbb{R}^3$ 的直观图像进行解释。 2. 计算与概念平衡 (Balance)： 算法（如高斯消元）的介绍总是紧随其理论意义，确保读者理解“为什么”而不是仅仅“如何做”。 3. 丰富的应用示例 (Rich Examples)： 内容穿插了电路分析、图论、线性规划的可行域、图像处理中的卷积基础等具体实例，使读者能立即将所学知识应用于解决实际问题。 4. 理论严谨性 (Rigorous Yet Accessible)： 虽然概念推导严谨，但语言力求清晰流畅，避免不必要的术语堆砌，适合自学和课堂教学。 本书旨在培养读者用“线性代数的思维”去看待和解决问题的能力，是通往更高级数学和工程领域的必经之路。

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这本书的语言风格非常吸引人，它没有教科书那种刻板的、枯燥的语调，而是充满了作者的个人思考和对数学的热情。读这本书的时候，我感觉就像是在和一位经验丰富的数学家在进行一场关于代数的深入对话。作者在讲解抽象概念时，常常会插入一些 historical context，介绍某个概念是如何被发现和发展的，这不仅增加了阅读的趣味性，也让我对这些概念有了更深层次的理解。例如，在介绍伽罗瓦理论时，作者花了相当大的篇幅讲述了多项式方程求解的历史，从意大利人的三次方程解法到拉格朗日和高斯的贡献，再到最终由伽罗瓦彻底解决。这种叙事性的讲解方式，让抽象的理论变得更加生动和立体。而且，作者在解释一些比较困难的证明时，会采用多种角度，或者提供一些直观的几何解释，即使在代数领域，也能感受到数学的几何直觉。我印象最深刻的是关于“正规子群”的讲解，作者用了一种非常巧妙的比喻，将正规子群比作一种“保持结构不变的对称性”，这比干巴巴的定义要容易理解得多。这本书不仅提升了我的代数知识，更激发了我对数学研究本身的兴趣，让我开始思考数学的本质和发展脉络，这对我来说是意外的收获。

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这本书的排版和设计非常用心，每一页都经过精心设计，使得阅读过程更加舒适和愉悦。即使是处理一些复杂的数学公式和符号，它也能够做到清晰明了，让人一目了然。我尤其欣赏它在章节之间设置的“回顾”和“展望”部分，这不仅帮助我巩固了之前的知识，也为我即将学习的新内容做好了铺垫。在我看来，一本好的数学教材，不仅仅在于内容的深度和准确性，还在于它能否激发读者的学习兴趣，能否让学习过程变得更加顺畅。这本书在这方面做得非常出色。它不仅提供了丰富的理论知识，还辅以大量的例题和习题，这些习题的设计也很有层次感，从易到难，循序渐进，让我能够逐步掌握和运用所学的知识。我曾经因为一道习题冥思苦想了整整一个晚上，最终在理清了书中的某个定理之后，豁然开朗，那种成就感是无与伦比的。而且，书中的一些小插曲，比如关于某个定理的发现过程，或者某个数学家的趣闻，都为严肃的数学学习增添了一抹亮色，让我在紧张的学习之余，也能感受到数学世界的生动和有趣。

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这本书的实践应用部分也给我留下了深刻的印象，它不仅仅局限于理论探讨，还巧妙地将抽象代数概念与一些实际问题联系起来。我一直以为代数只是纯粹的理论研究，但在阅读这本书之后，我才发现代数在密码学、编码理论、计算机科学等领域有着广泛的应用。作者在讲解某些定理时，会举出相关的应用实例，这不仅让我看到了代数的实用价值，也大大激发了我进一步深入学习的动力。例如，书中关于“循环群”的讲解，就与许多密码学算法有着密切的联系。作者通过一个简化的例子，展示了如何利用循环群的性质来构建一个简单的加密系统，这让我对抽象的数学概念有了更直观的认识。此外，书中关于“有限域”的讲解，也与纠错码等现代技术紧密相关。这种理论与实践相结合的学习方式，让我的学习过程不再枯燥乏味，而是充满了探索的乐趣。它让我意识到，数学不仅仅是纸上的推演，更是解决现实世界问题的强大工具。

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这本书的深度和广度超出了我的预期，它不仅仅是关于基础的群论和环论，还涉及到一些更高级的主题，比如模论、表示论和域扩张等。我之前一直以为代数就只是那些基础的运算和概念，但通过阅读这本书，我才意识到代数的强大和包容性。作者在讲解每个主题时，都能够做到既有深入的理论探讨，又不乏生动的例子支撑，让我能够逐步理解那些看似难以企及的数学难题。我特别喜欢书中关于“理想”的章节，它不仅讲解了理想的定义和基本性质，还深入探讨了主理想域、唯一因子分解域等概念，并将其与数论中的应用联系起来。这种将抽象理论与具体应用相结合的方式，让我的学习过程更加充实和有意义。书中有些证明过程非常精巧，需要反复推敲才能领会其精髓，这锻炼了我严谨的逻辑思维能力。例如，关于“主理想定理”的证明，作者用了非常清晰的步骤，一步步地引导我理解了其中的数学思想，让我对数学的严谨性和创造性有了更深刻的认识。这本书确实是一本能够让你在代数领域“精进”的优秀教材。

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这本《代数（第二卷）》带给我的数学学习体验，简直是一种前所未有的触及灵魂的深度。我一直认为数学是抽象的，是冰冷的公式和定理的堆砌，但这本书彻底颠覆了我的认知。它没有像其他教材那样，冷冰冰地抛出定义和证明，而是通过一种非常富有启发性的方式，将那些看似晦涩难懂的概念，一步步地展现在我面前。我尤其喜欢书中对群论和环论的引入，作者巧妙地运用了例子，从对称性到数论中的性质，将这些抽象的代数结构与我们熟悉的世界联系起来。读这本书的时候，我感觉自己不是在死记硬背，而是在探索一个全新的数学宇宙。它不仅仅是教授我知识，更重要的是，它教会我如何去思考，如何去发现数学之美。比如，在讲解群的同态映射时，作者并没有直接给出定义，而是先通过一个非常直观的例子，比如一个旋转对称的物体，然后引出保持这种对称性的映射。这种“由表及里”的学习方式，让我对数学的理解不再停留在表面，而是深入到了其内在的逻辑和结构。而且，书中的练习题也设计得非常精妙，它们既有巩固基础的题目，也有挑战思维的难题，每一道题都好像在引导我进一步探索代数的奥秘。我发现自己越来越享受解决问题的过程，甚至会在深夜仍然沉浸在书本中，试图去解开那些看似无解的难题。这本书让我对代数产生了深深的敬畏和热爱，它不仅仅是一本教材，更像是一位循循善诱的导师，引领我走进了更广阔的数学天地。

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这本书对于深入理解抽象代数概念的帮助是无可替代的。作者在讲解过程中，非常注重概念之间的联系和递进关系，使得整个知识体系显得非常完整和统一。我一直认为，学习数学最重要的一点就是理解概念之间的内在逻辑，而不是死记硬背公式。这本书恰恰做到了这一点，它在讲解每个新概念时，都会将其与之前学过的知识联系起来，或者通过类比的方式来解释，让我能够更好地理解和记忆。我印象特别深刻的是关于“同态”和“同构”的讲解，作者通过一系列的例子，从整数加法到矩阵乘法，再到更抽象的代数结构，让我清晰地理解了这两种概念的异同，以及它们在代数研究中的重要性。而且，书中关于“有限群”的章节，对群的阶、子群、陪集等概念的讲解都非常透彻，并通过大量的实例，让我能够更好地掌握这些抽象的概念。当我完成这本书的阅读后，我感觉自己对代数体系的理解上升到了一个新的高度，对未来进一步学习代数领域的知识充满了信心。

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这本书的书写风格极为细腻，它在保证数学严谨性的同时，又融入了作者对数学研究的深刻见解和独特思考。在阅读过程中，我时常会被作者的某些观点所启发，或者被他提出的问题所吸引，从而引发了我对代数更深层次的思考。它不仅仅是内容的传递，更是一种思想的交流。书中对某些经典问题的探讨，例如“五次及以上方程不可解性”的证明，作者不仅给出了严格的数学证明，还穿插了对高斯、阿贝尔等数学家在此过程中所做的贡献的介绍，让我在理解数学理论的同时，也对数学史有了更深的了解。我曾经对“域扩张”的概念感到困惑，很多书都只是给出了定义和一些基本的性质。但在这本书中，作者通过对数域、复数域等具体例子进行分析，并探讨了它们的扩张次数和不可约多项式，让我对域扩张的本质有了更深刻的理解。它不仅仅是一本学习代数的书，更是一本能够提升你数学思维境界的书。

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这本书的编排和逻辑性简直是业界良心。作为一名对高等代数有着浓厚兴趣但又缺乏系统学习机会的学生，我之前尝试过几本不同的教材，但都因为内容跳跃太大或者概念讲解不够清晰而放弃。然而，《代数（第二卷）》给我带来了完全不同的体验。它从基础的群论开始，逐步深入到更复杂的概念，比如环、域、模等等，并且在每一个阶段都给出了充分的背景介绍和motivation，让我能够理解为什么我们需要学习这些概念，以及它们在数学体系中的位置。作者在讲解每个新概念时，都力求清晰易懂，同时又不失严谨性。我特别欣赏它对抽象代数中的“结构”的强调，它不仅仅是给出定义，而是通过分析这些结构的性质和运算规则，来揭示代数世界的本质。书中大量的例子，从整数到多项式，再到更抽象的空间，都帮助我更好地理解和消化这些概念。我曾经花了好几天的时间去理解“理想”这个概念，很多书都只是给出定义，让我感到一头雾水。但在这本书中，作者通过对整环的理想的细致分析，以及它们在商环中的作用，让我豁然开朗。它就像是在为我搭建一座精密的数学桥梁，让我能够稳稳地从已知的数学知识走向更深层的抽象领域。每一章的结尾都有一个总结，将本章的核心内容提炼出来，这对于我复习和巩固知识非常有帮助。

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这本书在数学的逻辑严谨性上达到了令人称赞的高度，每一个定理的证明都力求详尽而清晰，不留一丝含糊。我一直以来都对数学证明的精妙之处着迷，而这本书在这方面做得堪称完美。作者在给出每个定理的证明时，都能够明确指出所依赖的公理、定义和之前证明过的引理，使得整个证明过程条理清晰，逻辑链条完整。我曾花过许多时间去理解某些抽象代数中的证明，比如关于“Sylow定理”的证明，许多教材都只是给出结果，或者证明过程过于简略。但这本书提供了非常详细的证明步骤，并且在关键的地方给出了注解，让我能够一步步地理解其中的逻辑推理。它不仅教授我知识，更重要的是，它教会我如何去构造一个严谨的数学证明，如何去进行逻辑思考。这本书的习题部分，也包含了很多需要自己独立完成证明的题目，这极大地锻炼了我进行数学证明的能力。读完这本书，我感觉自己在逻辑思维和解决复杂问题的能力上都有了显著的提升。

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这本书的教学方法非常独特，它更像是一种引导式的探索，而非填鸭式的灌输。作者在讲解抽象概念时，总是先抛出一个问题，或者一个直观的例子，然后通过层层递进的分析，自然而然地引出相关的数学概念和定理。我非常喜欢这种学习方式，它能够激发我的好奇心，让我主动去思考问题，而不是被动地接受知识。例如，在讲解“张量积”时，作者并没有直接给出复杂的定义，而是先从向量空间之间的“直积”开始，然后讨论如何在保持某些结构性质的前提下，构造一个更具普适性的积运算。这种循序渐进的讲解方式，让我在理解这些抽象概念时，能够感受到一种“自然而然”的流畅感。而且，书中为数众多的注释和旁白，为我提供了丰富的背景信息和思考角度，让我能够在更广阔的视野下理解这些代数概念。这本书真的让我感受到了数学学习的乐趣，它不仅仅是一本书，更像是一位智慧的引路人。

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