实变函数与泛函分析学习指导 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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页数:285

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出版时间:2008-9

价格:15.00元

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isbn号码:9787312011948

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探索数学的无限疆域：从实数到抽象空间的奥秘 本书旨在带领读者踏上一段严谨而引人入胜的数学探索之旅，聚焦于实变函数与泛函分析这两大核心数学分支。通过系统性的梳理与深入浅出的讲解，我们将一起揭示数学结构背后隐藏的深刻规律，感受从具体数值到抽象空间的逻辑之美。 第一部分：实变函数——精雕细琢的实数世界 在这一部分，我们将重新审视我们熟悉的实数系统，并在此基础上构建一个更为强大、更为精密的分析框架。 集合与测度：量化的基石 我们将从集合论的基石出发，理解可测集合的概念，学习如何为这些集合赋予“大小”，即测度。这包括对勒贝格测度的引入，它如何克服黎曼积分的局限性，为更广泛的函数类提供积分基础。 我们将探讨一些重要的测度，如长度、面积、体积，以及它们在不同维度下的性质。通过对测度论的深入理解，我们将为后续的积分理论和概率论打下坚实的基础。 重点关注可测函数，理解它们在集合上的行为，以及它们与测度的相互作用。 勒贝格积分：超越黎曼的积分力量 我们将详细阐述勒贝格积分的构造过程，并与黎曼积分进行对比，突出其优越性。勒贝格积分的强大之处在于其积分对象可以是更加一般的函数，并且在收敛性定理方面表现出色。 我们将深入探讨勒贝格积分的几个核心定理，如单调收敛定理、Fatou引理、控制收敛定理（Lebesgue Dominated Convergence Theorem）。这些定理是进行函数分析和微分方程研究的基石，它们允许我们在各种条件下交换积分与极限的顺序，极大地拓展了积分的应用范围。 通过丰富的例子和练习，我们将掌握勒贝格积分的计算技巧，并理解其在数学分析、概率论、偏微分方程等领域的广泛应用。 Lp空间：函数空间的分析舞台 我们将引入Lp空间的概念，这些空间由在特定幂次下可积的函数组成。Lp空间是泛函分析的核心研究对象之一，它们构成了一系列重要的函数空间，在信号处理、量子力学等领域扮演着关键角色。 我们将探讨Lp空间的度量结构（范数），理解完备性（Banach空间）和希尔伯特空间（L2空间）的重要性质。我们将证明Minkowski不等式和Hölder不等式，这些不等式是理解Lp空间性质的关键。 我们将研究Lp空间之间的关系，例如Hahn-Banach定理在该空间上的应用，以及对偶空间的概念。 第二部分：泛函分析——抽象空间的结构与变换 在这一部分，我们将目光投向更为抽象的数学空间——赋范线性空间，并研究其内在的结构和作用于这些空间的线性算子。 赋范线性空间：孕育结构的温床 我们将从向量空间的基本概念出发，引入范数的概念，从而构造赋范线性空间。范数赋予了空间距离的概念，使得我们可以讨论收敛性、连续性和完备性。 我们将重点关注Banach空间（完备的赋范线性空间）和希尔伯特空间（带有内积的Banach空间）。这些空间具有良好的结构，是研究线性算子和方程的重要场所。 我们将介绍单位球、紧集、开集等拓扑概念在赋范线性空间中的体现，并研究它们的重要性质。 线性算子：连接空间的桥梁 我们将研究作用于赋范线性空间之间的线性算子，特别是连续线性算子。连续性是理解算子性质的关键，它意味着微小的输入变化只会引起输出的微小变化。 我们将介绍有界线性算子的概念，并证明有界线性算子必是连续的。我们将研究算子的范数，以及算子空间的代数结构。 我们将深入探讨一些重要的线性算子及其性质，例如逆算子、投影算子、微分算子等，并分析它们在解决方程问题中的作用。 谱理论：揭示算子的本质 谱理论是泛函分析中最深刻和最有力的工具之一，它研究线性算子在复数域中的“特征值”或“谱”。谱揭示了算子作用在空间上的本质行为，类似于矩阵的特征值。 我们将介绍有界线性算子的谱，并探讨不同类型的谱（点谱、连续谱、残缺谱）。 我们将介绍谱定理（Spectral Theorem），特别是对于自伴算子（Hermitian operators）的谱分解。谱定理在量子力学、微分方程、积分方程等领域有着极其广泛的应用。 积分方程与微分方程的泛函分析视角 我们将展示如何运用实变函数和泛函分析的工具来研究积分方程和微分方程。例如，许多微分方程可以通过转化为积分方程来求解，而泛函分析的框架为研究这类方程的解的存在性、唯一性以及近似解提供了强大的理论支持。 我们将介绍一些经典的积分方程（如Fredholm方程、Volterra方程）以及它们在物理和工程中的应用。 本书的编写力求概念清晰、逻辑严谨，并配以丰富的例题和习题，帮助读者巩固所学知识，提升解题能力。无论你是数学专业的学生，还是对数学的深度和广度充满好奇的研究者，本书都将是你深入理解实变函数与泛函分析的理想伙伴，助你开启更广阔的数学视野。

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对于许多数学学习者而言，实变函数和泛函分析往往是学习生涯中绕不过去的“大山”。而这本书，就像一位经验丰富的向导，引领我一步步翻越这座山峰。作者在讲解“测度”时，从最基础的“集合”概念出发，逐步引入“外测度”和“测度空间”，这个过程非常细致，丝毫没有遗漏任何关键步骤。让我深刻理解了测度的本质，以及它在量化几何对象上的重要作用。

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我一直对泛函分析这个领域充满了好奇，但又觉得它十分抽象，难以入手。这本书的出现，彻底改变了我的看法。作者用一种非常生动形象的语言，将抽象的数学概念具象化，比如在讲解“Banach空间”时，通过类比“函数空间”的集合属性，让我对这个概念有了直观的认识。同时，书中对“希尔伯特空间”的深入剖析，特别是其完备性和正交性等重要性质，更是为我打开了新的视野，让我看到了数学在解决实际问题中的强大力量。

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这本书的另一个亮点在于其对“算子”的深入研究。从“有界线性算子”的性质，到“紧算子”的谱分析，再到“自伴算子”的性质，每一个章节都如同剥洋葱一般，层层深入地揭示了算子的奥秘。作者在讲解“算子范数”时，通过对算子作用的几何意义的解释，让我对这个抽象的概念有了更深的理解。

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在我看来，这本书最宝贵的地方在于其对“Lp空间”的细致讲解。作者不仅阐述了Lp空间的完备性，还深入探讨了其对偶空间、内积结构等重要性质。这些内容对于理解许多现代数学分支，如量子力学、信号处理等，都起着至关重要的作用。

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总而言之，这本书是学习实变函数与泛函分析的必备之作。它不仅内容详实，讲解清晰，更重要的是，它能够真正激发读者对数学的兴趣，并引导读者掌握解决问题的能力。我强烈推荐所有对这个领域感兴趣的学习者阅读此书。

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我尤其欣赏书中对于“收敛性”概念的探讨。无论是“几乎处处收敛”、“依测度收敛”，还是“Lp收敛”，作者都清晰地梳理了它们之间的关系和区别，并且通过精妙的例子来阐释。这对于理解数学分析中的一些微妙之处至关重要，也帮助我避免了许多常见的误解。书中对于“单调收敛定理”和“控制收敛定理”的讲解，更是让我对积分和极限的交换有了更深刻的认识。

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阅读这本书的过程，我深切体会到了作者在编排上的匠心独运。不仅仅是理论知识的堆砌，更重要的是，作者在每一部分都穿插了大量的例题和习题，这些题目设计得非常巧妙，既能帮助我们巩固刚刚学到的概念，又能引导我们深入思考，理解理论的精髓。特别是那些需要运用多个定理才能解决的难题，更是激发了我挑战自我的热情。书后的解答部分也提供了详细的解题思路，让我这个初学者也能逐渐茅塞顿开，感受到学习的乐趣和成就感。

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这本书不仅是一本理论教材，更是一本实用的学习指南。作者在提供理论讲解的同时，还提供了许多学习建议，比如如何有效地阅读数学文献，如何进行数学证明的训练，以及如何培养数学直觉。这些建议对我这个自学的小伙伴来说，简直是及时雨。

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我特别喜欢书中关于“泛函”的讲解。作者从最基础的“线性泛函”定义出发，逐步深入到“共轭空间”的概念，并详细阐述了“Hahn-Banach定理”。这个定理的证明过程十分巧妙，让我看到了数学逻辑的严谨性和创造力。

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这本书的封面设计非常吸引人，淡雅的蓝色背景配上简洁的银色字体，透露出一种严谨而又充满智慧的学术气息。初次翻开，我便被其清晰的目录结构所吸引，每一个章节的标题都精准地概括了内容要点，让人对即将展开的学习之旅充满了期待。从“勒贝格积分”的定义和性质，到“测度空间”的构造，再到“可测函数”的性质探究，每一个概念的引入都循序渐进，逻辑严密，为读者打下了坚实的基础。

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