Selected Problems in Real Analysis (Translations of Mathematical Monographs) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:B. M. Makarov

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1992-11

价格:USD 52.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780821845592

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精选实数分析问题 (选自数学专著译丛) 一本深刻而全面的实数分析习题集，旨在引导读者深入理解和掌握现代数学分析的核心概念与技巧。 本书精选了一系列具有代表性和挑战性的实数分析问题，这些问题源于经典分析理论的各个分支，从基础的拓扑结构到高级的测度论与泛函分析的边缘。它并非一本传统的教科书，而是一本面向研究生、高年级本科生以及希望深入钻研分析学的研究人员的“思维训练场”。本书的结构经过精心设计，旨在逐步提升读者的分析思维能力，促使他们从简单的公式推导迈向深刻的数学洞察。 第一部分：基础与拓扑结构的回顾与深化 本部分侧重于巩固和扩展读者对实数系统 $mathbb{R}$ 上拓扑性质的理解，为后续更复杂的分析打下坚实基础。 1. 拓扑空间基础： 集中探讨 $mathbb{R}^n$ 中的点集拓扑，包括开集、闭集、紧集、连通集及其性质。习题将要求读者证明著名的 Heine-Borel 定理的推广形式，并深入探讨完备度（Completeness）在序列收敛中的关键作用。特别地，将包含关于Baire范畴定理的应用，例如证明某些函数空间中稠密子集的性质。 2. 连续性与一致连续性： 核心内容围绕连续函数在不同拓扑结构下的保持性质。大量题目将涉及紧致性与连续性的相互作用，例如在紧集上连续函数的最大值定理的非标准证明方法，以及如何利用一致连续性来构建特定函数。此外，还将探究在度量空间中，Lipschitz 连续性与紧映射定理的初步联系。 3. 序列与级数： 本节的重点超越了基础的 $varepsilon-N$ 论证。问题将聚焦于函数项级数的均匀收敛性（Weierstrass M-检验的精细应用），以及在不同收敛模式下交换极限顺序（求和与积分、求导）的可行性。读者需要掌握如何构造反例来证明在非均匀收敛情况下交换顺序的危险性。 第二部分：勒贝格积分理论的构建与精细分析 这是本书的核心部分之一，旨在系统地构建和深入理解勒贝格积分的理论框架，这是现代分析的基石。 1. 测度论基础： 习题涵盖了从 $sigma$-代数到外测度，再到 $sigma$-有限测度的构建过程。一个关键的挑战性专题是Carathéodory外测度扩张定理的构造性证明，要求读者精确处理不可测集的问题。同时，对勒贝格测度在 $mathbb{R}^n$ 上的平移不变性与唯一性进行深入探讨。 2. 可测函数与勒贝格积分： 本部分大量题目要求读者熟练掌握简单函数逼近定理、单调收敛定理（MCT）和优函数收敛定理（DCT）的各种变体和应用。一个重要的练习是利用这些收敛定理来证明经典的傅立叶级数收敛性的特定结果。此外，书中包含了一系列关于“几乎处处”收敛与“依测度”收敛之间关系的辨析题。 3. $L^p$ 空间简介： 引入 $L^p(mu)$ 空间，并要求读者证明 Hölder 不等式和 Minkowski 不等式的严格推导过程。更进一步，读者将被引导去探究 $L^2$ 空间的希尔伯特空间结构，包括内积的定义和完备性（这为泛函分析做了铺垫）。 第三部分：微积分的高级主题与微分性质 本部分将实分析的工具应用于更具几何意义的问题上，探索微分与积分之间的深刻联系。 1. 多元函数微分： 重点在于雅可比矩阵和微分的定义。习题会要求读者严格区分偏导数存在性与全微分存在性，并处理复杂复合函数的链式法则。一个显著的难点是关于反函数定理和隐函数定理的证明，需要利用压缩映射原理或更精细的级数展开方法来论证。 2. 黎曼-斯蒂尔切斯积分 (Riemann-Stieltjes Integral)： 这一章节提供了对传统黎曼积分的推广。题目会要求读者计算涉及不同累积函数 $g(x)$ 的积分，并证明 $R-S$ 积分的可积条件，特别是当被积函数 $f$ 具有有限个第一类间断点，而累积函数 $g$ 具有单调性时的情形。这部分为理解测度论中的测度乘积打下了直观基础。 3. 函数空间中的收敛性： 探讨函数在不同范数下的收敛，例如 $L^p$ 范数下的收敛与点态收敛的对比。这里包含了对 Arzelà-Ascoli 定理的深入应用，要求读者确定哪些函数族在给定拓扑下是紧致的，这在微分方程解的存在性证明中至关重要。 第四部分：测度论的延伸与泛函分析的初步接触 最后一部分将读者的视野拓宽到更广阔的现代分析领域。 1. 乘积测度和 Fubini 定理： 本节要求读者理解 $mathbb{R}^n$ 上勒贝格测度的构造，并严格证明 Fubini-Tonelli 定理。习题将侧重于判断何时可以安全地交换二重积分的次序，特别是针对非负函数和一般可积函数的情况，并构造积分不交换的经典反例。 2. 泛函分析的萌芽： 引入有限维向量空间上的拓扑。读者需要证明在有限维欧几里得空间中，所有范数都是等价的（即一致性），以及证明闭集和紧集的等价性。同时，会引入线性泛函的连续性概念，并探索其与有界性的关系。 3. 泛函分析中的关键不等式： 专门探讨了分析学中的一些高级不等式，例如 Rademacher 的函数不等式在特定结构下的应用（作为对 $ ext{Minkowski}$ 的进一步拓展），以及对测度空间上的卷积的初步探讨，展示了如何通过积分运算将两个函数的信息“混合”起来。 本书的每一个章节后都附有详细的提示和解决方案的深度讨论（ Solutions and Detailed Discussions 部分），这些讨论不仅给出了最终答案，更重要的是阐明了推导背后的数学思想和可能的替代路径，确保读者能够真正领会每道题目的精妙之处。它是一份严格的、需要投入大量精力的学习资源，旨在培养下一代分析学家的严谨思维。

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当我第一次看到这本书的名字时，脑海中立刻浮现出那种沉浸在数学世界中的感觉——严谨的逻辑，优美的证明，以及对抽象概念的深刻洞察。实分析，对我而言，是数学世界中最具魅力的领域之一。然而，学习实分析的过程中，常常会遇到一些“拦路虎”——那些看起来简单，但要给出严谨证明却异常困难的问题，或者是一些能让你豁然开朗的巧妙解法。“Selected Problems”这本书，恰恰弥补了这一点。它不是简单地罗列知识点，而是通过精选的问题，引导读者去主动思考，去探索。我希望通过这本书，能够接触到那些能够挑战我思维极限、并且能够帮助我建立更深厚数学理解的问题。“Translations of Mathematical Monographs”的副标题，则让我对这本书的内容质量和深度充满了信心。这通常意味着书中收录的问题，可能来自于一些重要的数学文献，能够让我接触到不同数学学派的思考方式和研究成果。

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我一直觉得，学习数学最有效的方式之一，就是通过解决问题来加深理解。理论知识固然重要，但只有在实践中运用，才能真正内化。实分析，作为一个基础而又深邃的数学分支，更是如此。这本书的出现，恰好满足了我对更具挑战性和启发性的实分析问题的渴求。它不是一本初学者教程，更像是为那些已经对基础概念有所掌握，渴望进一步提升自己分析能力的人准备的。我特别看重“Selected Problems”这个定位，它意味着书中不会充斥着大量的重复性练习，而是精挑细选了那些能够触及实分析核心思想、具有代表性和深度的题目。我相信，解决这些问题，不仅能帮助我巩固已有的知识，更能让我接触到那些可能在标准教材中被一带而过的微妙之处，或者是一些更高级、更精巧的证明技巧。“Translations of Mathematical Monographs”这个副标题则更让我确信其内容的价值，它暗示着这些问题可能源自重要的数学文献，经过时间的考验，具有普遍的数学意义。

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我对数学的兴趣，很大程度上来自于它解决现实问题（即使是抽象的数学现实）的强大能力，以及其中蕴含的逻辑美感。实分析，作为连接代数和分析的关键桥梁，更是这种美感的集中体现。然而，实分析的很多证明过程，需要极高的抽象思维和精妙的技巧，这让我一直觉得，仅仅依靠一本标准教材的例题，很难完全领会其精髓。“Selected Problems”这本书，恰恰抓住了这一点，它表明作者（或编者）认为，真正掌握实分析，需要通过解决那些经过深思熟虑、能够揭示核心概念的题目。我希望通过这本书，能够接触到那些“不一样”的解法，那些能够启发我从新的角度审视问题的思路。同时，“Translations of Mathematical Monographs”这个副标题，也让我对它的内容质量充满了信心，它预示着书中收录的问题可能来自一些重要的数学文献，代表了不同数学文化下的研究成果，这对于拓展我的数学视野，提升我的数学品味，具有不可估量的价值。

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我对数学的热情，很大程度上来自于它那种严谨而又充满创造力的逻辑体系。实分析，无疑是这个体系中最为基础也最为精妙的部分之一。然而，在学习过程中，我常常会遇到一些瓶颈，感觉自己虽然掌握了定义和定理，但在灵活运用和深入理解方面还有欠缺。“Selected Problems”这个书名，正是抓住了我这种需求。它不像一本全面的教科书那样面面俱到，而是精选了那些能够触及实分析核心、最具代表性的问题。我期待通过这些问题，能够激发我对数学更深层次的思考，去领悟那些隐藏在证明背后的智慧。同时，“Translations of Mathematical Monographs”的副标题，也让我对接下来的内容充满了期待。它表明这本书可能汇集了来自不同数学文化背景下的重要问题，这对于我拓展视野、吸收多元化的数学思想，无疑具有非常重要的意义。

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我一直坚信，学习任何一门学科，尤其是数学，最关键的一步在于“融会贯通”。对于实分析这样一门严谨且抽象的学科，更是如此。理论知识固然是基础，但只有通过解决实际问题，才能真正地将知识内化，并发展出独立思考的能力。“Selected Problems”这本书的出现，恰好满足了我对这种“融会贯通”的追求。它不像一本普通教材那样提供海量的练习题，而是经过精心筛选，提供了那些最具代表性、最能触及实分析核心问题的题目。我期待这些问题能够帮助我深入理解那些抽象的概念，并学习到更高级、更巧妙的证明技巧。“Translations of Mathematical Monographs”的副标题，更是让我对接下来的内容充满了期待。它暗示着本书的问题可能源自世界各地的优秀数学文献，能够让我接触到多元化的数学思想和解决问题的视角，这对于拓展我的数学视野，提升我的数学修养，具有不可替代的价值。

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自从我开始接触高等数学以来，实分析就一直是我的“心头好”之一。那种将直观的几何概念转化为严谨的代数语言的过程，总让我着迷。然而，也正因为其严谨性，实分析的许多概念和定理的证明过程往往充满了技巧和深度，需要反复揣摩和理解。当我看到这本书的标题时，我立刻被它吸引住了。“Selected Problems”表明它不是那种会一股脑给你所有理论的百科全书式书籍，而是更注重精炼和提炼，通过具体的问题来引导读者深入思考。我相信，好的问题不仅能检验理解程度，更能激发新的见解。而“Translations of Mathematical Monographs”的副标题，则让我对接下来的内容充满了期待。这通常意味着书中收录的问题和解答，来自于不同文化背景下的顶尖数学家，可能蕴含着不同的数学视角和解决问题的方法。我希望通过这本书，能够接触到那些非标准但却极具启发性的解法，拓展我的数学视野，甚至领悟到一些全新的数学思想。

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翻阅这本书的第一感觉，是它的厚重感，不仅仅是纸张的质感，更是内容上预示的深度。实分析，这个领域本身就充满了挑战，它要求我们对数的性质、集合的结构、函数的行为有极其深刻的理解。而“Selected Problems”这个词，更是直接点明了它的核心价值——它不是一本包罗万象的教科书，而是一本精心挑选、极具代表性的问题集。这意味着每一道题都可能是一个思想的载体，一个概念的缩影，或者是一个理论的试金石。我尤其期待书中那些“monograph”式的题目，它们往往不是简单的计算或证明，而是涉及到一些前沿的、或者具有历史意义的数学思想。我希望能够通过解决这些问题，来提升自己对实分析的掌握程度，不仅仅是记住那些定义和定理，更要能够理解它们的来龙去脉，以及它们在更广阔数学天地中的应用。这本书就像一个宝藏地图，指引着我探索实分析领域中那些最闪耀的节点，我迫不及待地想要开始这段寻宝之旅。

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实分析，对我来说，就像是一场关于“极限”和“连续”的哲学探索，它将我们从直观的几何世界带入到严谨的逻辑殿堂。在学习过程中，我常常会遇到一些问题，它们看似简单，但要给出严谨的证明却异常困难，或者是一些我从未想过的角度来理解某个概念。这正是“Selected Problems”这本书的魅力所在。它不是一本教你“是什么”的书，而是一本引导你“怎么想”和“怎么做”的书。我期待它能够提供给我一系列精心设计的“拦路虎”，迫使我去深入思考，去运用我所学的知识，甚至去学习新的技巧。而“Translations of Mathematical Monographs”的副标题，则让我联想到那些在数学界享有盛誉的研究性论文或专著。这意味着这本书中的问题，很可能凝结了不同学派、不同时代数学家的智慧，它们可能不仅仅是习题，更是数学思想演进的见证。我希望通过这本书，能够与这些伟大的数学思想进行一场跨越时空的对话。

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一直以来，我对实分析的迷恋，源于它对我们日常认知进行的一次深刻“重塑”。那些看似理所当然的连续性、可微性，在严谨的数学框架下，需要付出多少努力才能定义和证明。这正是“Selected Problems”这本书的吸引力所在。它不是一本“填鸭式”的教科书，而是提供了一个“动手实践”的平台。我期待这本书中的每一个问题，都能成为一把钥匙，打开我理解那些深奥概念的锁。而且，我特别看重“Translations of Mathematical Monographs”这个副标题，它暗示着书中问题的来源可能非常广泛，涵盖了不同国家和地区的数学研究成果，这意味着我能够接触到更多元化的数学思想和解题方法。我希望通过解决这些问题，不仅能提升我的技术能力，更能培养我独立思考、创新解决问题的能力，让我能够真正地“玩转”实分析。

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这本书的封面设计就足够吸引人，那种经典而又沉静的色调，加上书名中“Real Analysis”几个字，瞬间就勾起了我对数学深处探索的渴望。我知道，实分析绝对不是一条轻松的路，它需要严谨的逻辑、敏锐的直觉，还有不懈的努力。我一直觉得，真正的数学之美，很大程度上就蕴藏在这门学科之中。这本书的副标题“Translations of Mathematical Monographs”也暗示了它的价值所在——它可能包含了来自世界各地数学家们的心血之作，是经过时间沉淀和同行认可的经典。我期待它能像一位经验丰富的向导，带领我穿梭于实分析的复杂山脉，揭示那些隐藏在定义、定理和证明背后的深刻洞察。我之所以选择它，是因为我渴望的不仅仅是解题技巧，更是对数学思想的理解，对推理论证过程的体悟。我希望这本书能够提供给我这样的机会，让我能够从不同的角度去审视那些熟悉的（也可能是不熟悉的）实分析概念，看到它们是如何在不同的数学传统中被发展和完善的。这本书对我而言，是一次精神的冒险，一次对自我数学能力的挑战，我准备好投入其中，去感受它可能带来的震撼和启发。

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