实用高等数学（第2册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:黄海哨

出品人:

页数:274

译者:

出版时间:2008-5

价格:30.00元

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isbn号码:9787811370478

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• 高等数学
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空间几何的奥秘：解析几何与微分几何导论 本书简介 本书深入探讨了空间几何学的核心概念与应用，旨在为读者构建一个坚实而直观的几何思维框架。全书分为上下两大部分，系统性地梳理了欧几里得空间中的点、线、面，以及在此基础上发展出的微分几何初步理论。我们摒弃了单纯依赖代数运算的机械方法，强调几何直觉的培养与数学结构的内在统一性。 第一部分：解析几何的拓扑与结构 本部分聚焦于在三维欧几里得空间 $mathbb{R}^3$ 中对几何对象进行精确描述和分析的工具——解析几何。我们从最基础的向量空间结构出发，探讨如何利用坐标系来量化几何关系，但始终保持对几何本质的关注。 第一章：三维向量空间基础与坐标变换 本章首先回顾了向量的基本运算，包括加法、数乘、点积（内积）和叉积（外积）。重点在于理解点积在度量角度和投影中的作用，以及叉积在定义垂直关系和确定平面法向量上的关键地位。 随后，我们引入了坐标系的概念。欧几里得空间中的几何对象可以通过坐标来表达，但我们必须认识到坐标系的选取是任意的。因此，本章的核心内容是正交变换（旋转与反射）下的坐标如何变化。通过讨论正交矩阵的性质，我们展示了距离、角度和体积等基本度量在坐标系变换下保持不变，这是几何内在性的体现。本章详细推导了欧拉角和旋转向量（轴角表示法）在三维旋转描述中的应用，为后续的曲面分析奠定基础。 第二章：直线、平面与二次曲面的描述 本章将解析工具应用于具体几何形体。 直线的表示： 我们细致区分了直线的参数方程和对称方程，并深入分析了如何通过两个点、一个点和一个方向向量，或者通过两个平面的交线来定义直线。特别地，探讨了异面直线之间的最短距离计算，这需要依赖于方向向量的叉积。 平面的结构： 平面由法向量和空间中一点确定。本章详述了法向量的几何意义，并探讨了平面与直线、平面与平面的交角问题。我们推导了点到平面距离的公式，并从几何投影的角度解释了其推导过程。 二次曲面： 这是本部分的高潮。我们系统性地引入了二次曲面的标准形式，如球面、椭球面、双曲面（单叶和双叶）、抛物面（椭圆和双曲）以及圆锥面。每一个曲面都配有详细的截面分析。例如，通过改变 $z$ 值观察曲线的轮廓，利用平面平行于坐标轴的截面来识别曲面的类型。本章强调理解二次曲面的几何特性，例如中心、轴线、顶点以及渐近线（对于双曲面）。我们利用二次型的特征值和特征向量理论，推导了如何通过坐标旋转将任意二次曲面化为标准形式，这体现了代数工具服务于几何简化的过程。 第三章：曲线的几何性质与运动学描述 本章将视角从静态的形体转向动态的轨迹——空间曲线。 参数曲线与运动： 空间曲线 $C(t) = (x(t), y(t), z(t))$ 被视为一个粒子的运动轨迹。本章的核心是理解如何从运动的描述中提取几何信息。我们定义了曲线的弧长，并讨论了弧长参数化（单位速度参数化）的意义——它使得速度的大小不再依赖于参数的选取。 Frenet-Serret 标架： 这是本章的精髓所在。我们引入了三个相互正交的单位向量：切向量 $mathbf{T}$（描述瞬时方向）、主法向量 $mathbf{N}$（指向曲线的“凹”侧）和副法向量 $mathbf{B}$（与前两者垂直，构成右手系）。通过对 $mathbf{T}$ 求导，我们定义了曲率 $kappa$，它度量了曲线偏离直线的程度。接着，我们引入了挠率 $ au$，它度量了曲线偏离包含切向量和法向量的平面的程度（即曲线的扭曲程度）。 Frenet-Serret 公式组以矩阵形式简洁地表达了这三个向量如何随参数变化而变化，揭示了空间曲线在局部具有“振动”和“扭转”的内在动力学。本章最后讨论了曲率和挠率作为不变量的几何意义，即使在坐标系旋转下，它们的值依然保持不变。 --- 第二部分：微分几何的初步探索 本部分超越了欧几里得空间中平坦的局部几何，开始探究曲面上（内在的）几何结构，为读者构建理解黎曼几何的桥梁。 第四章：曲面的参数化与第一基本形式 从空间曲线到曲面，我们从描述一个三维空间中的对象，过渡到描述一个二维流形的局部结构。 曲面的参数化： 曲面通常由 $mathbf{r}(u, v)$ 来描述。我们详细讨论了曲面参数化的优缺点，特别是“好的”参数化（如正则参数化）与“不好的”参数化（如奇异点）的区别。 第一基本形式（The First Fundamental Form）： 这是微分几何的基石。我们引入了度量张量 $g_{ij}$（即 $mathbf{r}_u cdot mathbf{r}_u, mathbf{r}_u cdot mathbf{r}_v, mathbf{r}_v cdot mathbf{r}_v$），并展示了如何利用它在曲面上进行内蕴的长度、角度和面积计算。核心思想在于，第一基本形式是只依赖于曲面自身结构的量，它允许我们在不依赖于外部三维空间（嵌入空间）的情况下，研究曲面上的几何。本章通过计算圆柱面、球面和环面的 $g_{ij}$ 分量，展示了如何应用它们计算弧长和面积。 第五章：曲面的第二基本形式与曲率的内蕴性 本章将几何分析提升到更高的维度，探讨曲面的弯曲程度。 法向量场与第二基本形式： 我们首先定义了曲面的单位法向量场 $mathbf{N}$，并讨论了如何在参数化下计算它。接着，引入了第二基本形式 $L du^2 + 2M du dv + N dv^2$，它衡量了曲面在法线方向上的弯曲程度。 主曲率与主方向： 通过分析第二基本形式矩阵的特征值，我们定义了主曲率 $kappa_1$ 和 $kappa_2$。它们代表了在曲面上任意点，沿着两个相互垂直的方向上测得的最大和最小的法曲率。 Gauss 曲率与平均曲率： 我们定义了高斯曲率 $K = kappa_1 kappa_2$ 和平均曲率 $H = (kappa_1 + kappa_2)/2$。 Theorema Egregium（高斯绝妙定理）： 这是本部分乃至整个微分几何中最伟大的成果之一。我们深入证明了高斯曲率 $K$ 仅仅是第一基本形式的函数，即 $K$ 是一个内蕴量。这意味着，如果你是一个生活在光滑曲面上的“二维生物”，仅凭测量你周围的几何关系（如三角形内角和），你就能判断出你所在的面是否是平坦的（如平面或圆柱面， $K=0$），还是具有内在弯曲（如球面， $K>0$）。这标志着从“嵌入几何”向“内蕴几何”的根本性飞跃。 结语 本书通过严谨的推导和丰富的几何实例，将解析工具与微分思想熔于一炉。读者将掌握描述和分析空间曲线与曲面的强大技术，并对现代几何学中关于“内蕴性”和“弯曲”的深刻见解有所体会。本书适合具有扎实微积分基础，并渴望深入理解几何学本质的研究生、高年级本科生及相关领域的工程技术人员阅读。

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这本书的习题设计是一大亮点，其难度梯度设置得极其科学合理，体现了编写者对教学规律的深刻理解。初级的例题注重基础概念的巩固，通常只需简单的代入和运算即可完成，目的是帮助读者快速建立信心。中级的习题则开始要求灵活运用多个定理进行综合分析，考验的是对知识点之间联系的把握。而最让我感到挑战和收获的是那些高级的“思考题”和“探究性问题”。这些题目往往没有固定的解题套路，需要读者跳出教材的框架，进行深入的逻辑推理和创造性思考。我花了整整一个下午来攻克其中一个关于极值点存在性的证明题，虽然过程曲折，但最终得出结论时的成就感是无与伦比的。更有价值的是，书后附带的详细解题步骤，其详尽程度几乎可以媲美一次小型的辅导课，不仅给出了答案，还分析了不同的解题路径及其优缺点。这种既有门槛又兼顾引导的习题体系，是真正能将学生从“会做题”提升到“懂数学”的关键所在。

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从内容深度和广度来看，这本书无疑是走在了前沿，但其最大的亮点在于对“应用性”的强调。它不仅仅满足于纯理论的推导，而是花了大量篇幅去展示这些高等数学工具在现代科学和工程领域中的实际应用场景。比如，在讨论到傅里叶分析时，书中没有止步于级数的展开，而是清晰地阐述了它在数字信号处理和图像压缩中的核心作用，甚至配上了简略的算法流程图。我感觉这不像是一本纯粹的数学书，更像是一本“数学工具箱的使用指南”。许多章节后面都附带了“前沿探索”栏目，简要介绍了最新研究中对这些理论的应用，这极大地激发了我进一步学习相关交叉学科的兴趣。通过阅读这些应用案例，我开始真正理解为什么我们要学习这些复杂的概念——它们不是为了难倒我们，而是为了解决真实世界中的复杂问题。这种以应用驱动的学习方式，彻底颠覆了我过去对数学学习的看法，让我感到所学的知识是真正有价值的、有生命力的。

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这本书的讲解风格，简直是为我这种“数学恐惧症患者”量身定制的。它完全没有传统高等数学教材那种高高在上、拒人于千里之外的架势。作者采用了大量的“对话式”教学语言，仿佛一位耐心十足的导师就在你身边耳提面命。每当引入一个新的定义或定理时，它都会先抛出一个生活中的实际问题，引导读者去思考，而不是直接抛出公式。我印象最深的是在学习“微分方程”那一章时，书中用了一个关于弹簧振动的例子，从最简单的物理模型逐步推导出复杂的数学表达式，每一步的推理都交代得清清楚楚，毫无跳跃感。更棒的是，它不像其他教材那样，只在书的末尾提供例题和习题的答案。这本书在关键的推导步骤后，会紧跟着一个小小的“思考点”或“自我检测”，让你立刻停下来检验自己的理解程度，这种即时反馈机制对于巩固知识至关重要。对于我这种需要反复确认才能安心前进的学习者来说，这种步步为营的教学设计，实在太友好了，让原本望而生畏的学科变得触手可及。

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这本书的装帧和细节处理，体现了一种近乎苛刻的匠人精神。我注意到，即便是那些看似不起眼的脚注或旁注，其字体大小和位置也经过了反复斟酌，确保在不打断主线阅读流畅性的前提下，又能提供必要的补充信息。更让我惊叹的是，全书几乎找不到任何印刷错误或排版上的瑕疵，这对于一本内容如此密集、符号如此众多的理工科教材来说，是极其难能可贵的。我曾经遇到过一些教材，在关键的证明过程中出现符号印刷错误，导致整个理解链条断裂，令人沮丧。而这本《实用高等数学》，从头到尾都保持着零失误的精准度，这背后需要校对团队付出多少心血可想而知。它提供了一种近乎完美的阅读体验，让学习者可以将全部的精力投入到对数学思想的理解上，而不是被低级的印刷错误所干扰。这种对质量的坚持，是判断一本教材是否真正“实用”的重要标尺，它无疑达到了顶级水准。

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这本书的封面设计简洁大气，米白色的背景上印着深蓝色的书名和作者信息，给人一种沉稳而专业的印象。拿到手里，首先感觉到的是纸张的质感，厚实而富有韧性，即便是频繁翻阅也不会轻易损坏。内页的印刷清晰度极高，字体排版也十分考究，疏密得当，长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。尤其值得称赞的是书中大量使用的彩色图表和示意图，它们将抽象的数学概念具象化，极大地降低了理解难度。我特别喜欢它在讲解一些复杂定理时，会穿插一些历史背景的小故事，这让原本枯燥的理论学习变得生动有趣起来。比如，在介绍向量空间时，作者用简洁的语言描述了其发展历程，让我对数学家们的探索精神有了更深的敬佩。全书的逻辑脉络非常清晰，章节之间的过渡自然流畅，仿佛在进行一次精心设计的知识旅程，让人不由自主地想一口气读下去，探索下一个知识的边界。这种细致入微的出版工艺，体现了出版方对读者的尊重和对知识传播的严谨态度，确实是一本值得珍藏的教材。

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