高等数学（下册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:李先记 编

出品人:

页数:132

译者:

出版时间:2008-6

价格:16.00元

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isbn号码:9787122024602

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• 高等数学
• 数学
• 微积分
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深入解析经典著作：《微积分的基石与应用》 图书名称：《微积分的基石与应用》 图书简介： 《微积分的基石与应用》是一本旨在为读者构建坚实微积分理论基础，并系统展示其在现代科学与工程领域广泛应用的深度参考教材。本书并非对传统高等数学课程的简单重复，而是立足于对微积分核心概念的本质性理解和深刻剖析，引导读者从更深层次上把握这门学科的内在逻辑与强大力量。全书内容严格围绕微积分的核心理论体系展开，聚焦于极限、导数、积分及其在多元函数、级数等高级主题中的应用，完全避开了“高等数学（下册）”所涵盖的具体章节内容。 第一部分：极限理论的严谨重构与直觉拓展 本书的开篇部分，我们首先对微积分的分析基础——极限理论进行了全面且极其严谨的重构。我们不再满足于对 $epsilon-delta$ 语言的表面化叙述，而是深入探讨了极限的拓扑学基础，包括序列收敛、聚点、紧致性等概念在实数系统上的具体体现。 我们详细剖析了各种类型的极限存在性判据，如单调有界定理（Monotone Convergence Theorem）的深刻内涵，以及柯西收敛准则（Cauchy Criterion）在判断序列收敛性中的关键作用。在此基础上，本书引入了更广阔的视角，探讨了非标准分析（Nonstandard Analysis）中无穷小量的概念，以期为读者提供理解极限过程的另一种直观且严密的视角，尽管最终回归到标准的黎曼-魏尔斯特拉斯分析框架。 本部分特别强调了连续性的深刻意义。我们不仅定义了几种不同类型的连续性（点态连续、一致连续），还深入研究了连续函数的性质，特别是关于极值定理（Extreme Value Theorem）和介值定理（Intermediate Value Theorem）的严格证明及其在优化问题中的理论价值。对于函数空间中的一致收敛和可微性之间的关系，我们也进行了细致的讨论，突显了分析的深度。 第二部分：微分学的深化探索与动态建模 在极限理论奠定坚实基础后，本书转向微分学。不同于侧重于计算技巧的传统叙述，我们更侧重于导数作为瞬时变化率和切线斜率的几何意义，以及其作为线性近似工具的分析意义。 本书详细阐述了微分法则的普适性。在基础的求导法则之外，我们花费大量篇幅研究了微分的线性近似误差，并引入了高阶导数的泰勒级数展开。这里的泰勒定理不仅是近似工具，更是我们理解函数局部行为和超越方程解的根本手段。我们对拉格朗日余项和柯西余项进行了细致的比较分析，论证了它们在估计误差时的不同适用场景。 此外，我们深入探讨了微分的内在结构，包括微分形式（Differential Forms）在曲线和曲面上的初步应用，这为后续理解向量微积分中的线积分和面积分做好了铺垫。对于隐函数存在定理和反函数定理，本书提供了严谨的证明，并着重分析了这些定理在确定函数局部可逆性和方程组解的性质时的关键地位。我们通过具体的例子，展示了如何利用微分的“链式法则”来解析复杂的物理和经济模型，强调了其作为动态系统分析工具的强大能力。 第三部分：积分理论的本质与广义化 积分理论是全书的另一个核心支柱。本书放弃了对定积分计算的机械化训练，转而聚焦于黎曼积分的精确定义、可积性的充要条件，以及积分与导数之间的基本关系——微积分基本定理。 我们不仅深入证明了微积分基本定理（即牛顿-莱布尼茨公式）的两个部分，还探讨了其背后的深刻意义：微分和积分是互逆的运算。随后，本书将积分的范畴大大拓宽。 首先，我们系统地研究了反常积分（Improper Integrals），包括积分区间为无穷大或被积函数在区间内有无穷间断点的情况。我们使用收敛判别法（如比较判别法、阿贝尔判别法）来精确判断这些广义积分的敛散性。 其次，本书引入了更广义的积分概念——勒贝格积分（Lebesgue Integration）的初步思想。虽然不深入到测度论的全部细节，但我们通过直观的“简单函数逼近”来阐明勒贝格积分在处理更复杂函数（如狄利克雷函数）时的优越性，并展示了它如何解决了某些黎曼积分无法处理的问题，为读者未来深入学习泛函分析打下基础。 第四部分：级数分析与函数逼近的艺术 本书的最后一部分专注于无穷级数，这是将离散求和提升到连续分析层面的关键步骤。我们详尽分析了无穷级数的收敛判别法，包括比值检验、根值检验以及积分检验法，并特别强调了绝对收敛和条件收敛的区别。 核心内容集中在幂级数（Power Series）及其应用上。我们定义了函数的泰勒级数展开，并详细讨论了幂级数的收敛半径和收敛区间。我们严格论证了在收敛区间内，如何对幂级数进行逐项求导和逐项积分，从而有效地利用已知的初等函数的级数来构造和分析更复杂的函数。 此外，本书探讨了傅里叶级数（Fourier Series）的初步理论。我们解释了傅里叶级数作为将周期函数分解为正弦和余弦函数之和的意义，强调了它在解决偏微分方程（如热传导方程、波动方程）中的核心作用。我们讨论了狄利克雷条件下收敛性的保证，以及其在信号处理和数据分析中的理论基础。 总结 《微积分的基石与应用》旨在培养读者严谨的数学思维和强大的分析能力。它要求读者不仅“会算”，更要“懂理”。全书内容构建在一个清晰、逻辑严密的分析体系之上，是为有志于在数学、物理、工程、经济学等领域进行深度研究的读者量身打造的理论指南，确保读者掌握的是微积分思想的精髓，而非仅仅是解题的技巧。本书的每一部分都相互关联，共同构成了一个完整且强大的分析工具箱。

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我拿到这本《高等数学（下册）》后，最大的感受是它的“广度”和“深度”都达到了一个相当高的水准。它不像某些教材只停留在计算层面，而是努力将计算与背后的几何直觉和物理意义相结合。比如，对曲面积分和通量的讲解，书中不仅仅给出了计算公式，还通过类比水流穿过某个面的情景，形象地解释了“通量”的物理意义，这种结合让我对抽象的数学概念有了更直观的把握。此外，这本书的习题编排也很有层次感，从基础的巩固练习，到中等的综合应用，再到最后那些需要融会贯通才能解开的挑战题，梯度设计得非常合理，让人能够逐步适应学习的强度。它迫使你不仅要记住公式，更要理解公式的适用条件和推导背景。虽然它的理论阐述略显冗长，但正是这种详细的推导，有效避免了初学者在理解上产生误区，为后续学习打下了坚实的基础。

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这本书的特点在于其极强的逻辑连贯性，它仿佛是为那些已经对微积分基础有一定了解的学习者量身定做的进阶读物。在处理偏微分方程的部分，作者的处理方式显得尤为成熟，它没有急于介绍各种解法，而是先花了篇幅阐述了这些方程在物理学中的基本边界条件和定解问题，将数学工具与实际应用背景紧密地联系起来。我发现，书中对特征值问题的讲解非常透彻，特别是对称矩阵的对角化过程，每一步的矩阵变换和特征向量的求解都讲解得细致入微，这对于理解傅里叶级数的正交性至关重要。当然，这本书的阅读门槛不低，它的语言简洁但信息密度极大，每页都塞满了需要仔细咀嚼的数学语言，不适合那种希望快速浏览过一遍的读者。它更像是一部“工具书”与“教科书”的完美结合体，值得反复研读，每一次重温都会有新的体悟。

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这本《高等数学（下册）》真是让我又爱又恨，爱它是因为它系统地梳理了微积分下半部分的知识脉络，那些关于多变量函数、积分学和微分方程的章节，虽然初看起来像是一座座难以逾越的高山，但一旦你跟上作者的讲解节奏，那种豁然开朗的感觉，简直是知识飞跃的里程碑。比如，书中对梯度、散度、旋度这些矢量场的概念的阐述，图文并茂，配合着清晰的定义和例题，使得抽象的几何意义变得具象化。我尤其欣赏它在讲解重积分时，对坐标系变换的细致推导，从直角坐标到柱坐标再到球坐标，每一步的变量替换和雅可比行列式的引入，都交代得非常明白，没有丝毫含糊。对于我这个需要经常处理物理建模和工程计算的读者来说，这些内容是我的“兵器库”，让我能更精确地描述和解决现实世界中的复杂问题。当然，学习过程并非一帆风顺，某些习题的难度设置，有时候会让人在深夜里抓耳挠腮，但正是这种挑战，才真正锤炼了对理论的掌握深度。总而言之，这是一本扎实、全面，且具有很高参考价值的教材。

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说实话，这本书的装帧设计和纸张质量都挺不错，看得出来是认真出版的作品，但真正吸引我的是其内容编排的匠心独运。它似乎更侧重于理论的构建和证明过程的完整性，而不是花哨的图示或生活化的应用案例。例如，在讨论向量场中的格林公式、斯托克斯公式时，作者用了大量的篇幅来展示如何从最基本的线积分和面积分逐步过渡到这些高阶定理，每一步的数学推理都清晰可见，像是在走一条精心铺设的逻辑阶梯。这种严谨性对于我个人而言，是构建稳固数学思维的基石。唯一让我感到略微不便的是，书中对一些较为深奥的定理（比如斯托克斯定理的严格证明），似乎引用了更高级别的数学知识作为铺垫，这使得非数学专业的读者在理解其深层含义时，可能需要额外的耐心去查阅和补充背景知识。但瑕不掩瑜，它为有志于深入研究数学的人士提供了一个极佳的起点。

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翻开这本书，首先感受到的是一股浓厚的学术气息，它不像某些流行的科普读物那样追求轻松愉悦的阅读体验，而是以一种近乎严谨的、教科书式的语言，构建起一个逻辑严密的数学体系。内容覆盖面极广，从最基础的无穷级数判定到更深入的傅里叶分析初步，几乎涵盖了本科阶段高等数学下学期的核心知识点。我特别留意了它在讲解泰勒级数展开时的处理方式，作者没有直接抛出公式，而是通过对皮亚诺余项和拉格朗日余项的对比分析，深入探讨了近似的误差控制问题，这对于理解级数收敛的“为什么”比“怎么算”更为重要。书中例题的选择也很有代表性，大多是经典且具有代表性的难题，如果能扎实地做完这些例题，我相信对考研或者后续的专业学习都会大有裨益。不过，对于初次接触这门学科的学习者来说，可能需要配合大量的辅助资料，因为书本的“跳跃性”偶尔会显得有些快，需要读者具备一定的预备知识和较强的自我学习能力来填补消化过程中的空白。

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