Finite Mathematics With Business Applications pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Prentice Hall

作者:John G. Kemeny

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1972-05

价格:USD 58.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780133173215

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 有限数学
• 商业应用
• 应用数学
• 高等数学
• 大学教材
• 经济数学
• 统计学
• 离散数学
• 优化

《线性代数：理论与应用》 一、本书概述 《线性代数：理论与应用》是一本面向大学本科生和研究生，旨在系统阐述线性代数核心理论并深入探讨其实际应用的教材。本书的编写遵循“理论为基石，应用为导向”的原则，力求在保证数学严谨性的同时，清晰展示线性代数在现代科学、工程、经济和计算机科学等诸多领域的强大工具属性。全书结构清晰，逻辑严密，内容覆盖了从基础概念到前沿应用的完整知识体系。 二、内容结构与深度解析 全书共分为七个主要部分，每个部分都围绕一个核心主题展开，并辅以大量的例题和应用案例。 第一部分：基础回顾与向量空间（Foundations and Vector Spaces） 本部分旨在为读者打下坚实的预备基础，并引入线性代数最核心的抽象结构——向量空间。 1. 代数预备知识回顾： 简要回顾复习集合论、函数、矩阵运算（加法、乘法、转置、求逆）的性质，确保读者具备必要的代数基础。 2. 域（Fields）： 重点讨论实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$，并简要介绍有限域的概念，为后续抽象理论的构建提供环境基础。 3. 向量空间的基本定义： 严格定义向量空间的五大公理。通过 $mathbb{R}^n$ 上的标准向量空间到函数空间、多项式空间的过渡，展示向量空间的普遍性。 4. 子空间、生成集与线性相关性： 详细阐述子空间的判定定理，引入线性组合、张成（Span）的概念。深入探讨线性相关与线性无关的判定方法及其几何意义。 5. 基（Basis）与维度（Dimension）： 给出基的严格定义，证明基的存在性和唯一性。系统阐述维度定理，并探讨基的选取对坐标表示的影响。本节将通过具体例子（如矩阵的列空间和零空间）来深化理解。 第二部分：线性变换与矩阵（Linear Transformations and Matrices） 本部分将代数结构与几何直观相结合，探讨线性变换的性质以及矩阵作为其表示工具的角色。 1. 线性变换的定义与性质： 定义线性变换 $T: V o W$，分析其保持加法和数乘的性质。讨论核空间（Kernel）和像空间（Range）的概念，并证明秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）。 2. 矩阵的表示： 阐述如何在不同基下表示同一个线性变换（相似变换）。详细讲解如何通过坐标变换矩阵来处理基的变化，这是理解相似性的关键。 3. 矩阵代数的深入性质： 讨论矩阵的相似性，包括合同（Congruence）和相似（Similarity）的区别。探讨初等矩阵及其与矩阵初等行变换（Elementary Row Operations）的内在联系。 第三部分：线性方程组的求解（Solving Linear Systems） 本部分回归线性代数最直接的应用——求解线性方程组，重点介绍高效的算法和理论分析。 1. 高斯消元法与行阶梯形： 详细介绍高斯消元法（Gaussian Elimination）的步骤，引入行阶梯形（Row Echelon Form, REF）和简化行阶梯形（Reduced Row Echelon Form, RREF）。 2. 解的存在性与唯一性： 利用 RREF 分析方程组解的结构——自由变量、基本变量与解集的几何描述（点、线、平面）。 3. 矩阵的秩与解空间： 将线性方程组视为矩阵方程 $Ax=b$，利用矩阵的秩来判断解的存在性和自由度。系统分析零空间 $N(A)$ 和列空间 $C(A)$ 在求解过程中的作用。 4. LU分解与矩阵求逆： 介绍 LU 分解作为高效求解多个右端项向量线性方程组的方法，并给出使用初等矩阵推导求逆过程的严格证明。 第四部分：特征值与特征向量（Eigenvalues and Eigenvectors） 特征值理论是理解线性系统长期行为和动力学系统的核心工具。 1. 特征值与特征向量的定义： 引入特征方程 $det(A - lambda I) = 0$，求解特征值 $lambda$。讨论特征空间（Eigen-space）的构造，并证明属于不同特征值的特征向量是线性无关的。 2. 对角化（Diagonalization）： 给出矩阵可对角化的充要条件（特征向量的数量与代数重数、几何重数的匹配）。详细讨论如何利用特征分解 $A = PDP^{-1}$ 来简化矩阵的幂运算 $A^k$。 3. 实对称矩阵的正交对角化： 重点讨论实对称矩阵的特殊性质，证明其特征值必为实数，且特征向量可以正交化。引入施密特正交化过程（Gram-Schmidt Process）来构造标准正交基。 第五部分：内积空间（Inner Product Spaces） 将欧几里得空间的概念推广到任意维度的抽象空间中，引入长度、角度和投影的概念。 1. 内积的定义与性质： 定义内积（Inner Product），并讨论其在不同向量空间上的具体形式（如函数空间中的积分内积）。 2. 长度、正交性与投影： 利用内积定义向量的范数（长度）和角度。重点讲解正交投影定理，这是最小二乘法的基础。 3. 正交基与傅里叶级数： 引入正交基和标准正交基，利用 Gram-Schmidt 过程将任意基转化为正交基。简要介绍正交基在傅里叶分析中的应用背景。 第六部分：二次型与正定性（Quadratic Forms and Definiteness） 本部分关注与二次多项式相关的几何形状（如椭圆、双曲面）的分析。 1. 二次型的矩阵表示： 将二次型 $Q(mathbf{x}) = mathbf{x}^T A mathbf{x}$ 与对称矩阵 $A$ 联系起来。 2. 主轴定理（Principal Axis Theorem）： 利用对称矩阵的正交对角化理论，推导出二次型可以被旋转坐标系对角化，从而消除交叉项。 3. 正定性判据： 定义正定、半正定、不定等概念。介绍判断二次型正定性的方法，包括特征值符号法、合同对角化法以及西尔维斯特准则（Sylvester's Criterion）。 第七部分：应用与扩展（Applications and Extensions） 本部分选取几个重要的应用领域，展示线性代数的威力。 1. 微分方程组的解法： 利用特征值分解求解一阶线性常系数微分方程组 $mathbf{x}' = Amathbf{x}$，展示该方法在描述动态系统中的重要性。 2. 图论与邻接矩阵： 介绍图的表示，重点分析邻接矩阵（Adjacency Matrix）的特征值与图的连通性、遍历性的关系。 3. 数据分析中的最小二乘法： 详细推导在超定系统 $Ax=b$（无精确解）下，如何通过最小化误差范数 $|Ax-b|$ 来找到最佳近似解 $hat{mathbf{x}}$，这通常涉及对 $A^TA$ 的求解。 三、教学特色 1. 理论推导的完整性： 书中所有关键定理均提供完整的、易于理解的证明过程，强调“为什么”而不是仅仅“是什么”。 2. 跨学科的案例： 引入了大量来自物理学（振动分析）、计算机科学（图像处理基础）、经济学（投入产出模型简化）的真实问题模型，帮助读者建立数学模型与实际问题的桥梁。 3. 计算工具的整合： 在每一章的末尾，提供了使用主流计算软件（如 MATLAB/Octave 或 Python/NumPy）进行数值计算和验证的指导，强调现代数学实践与理论学习的结合。 本书旨在培养读者严谨的数学思维能力，使其不仅能熟练运用线性代数工具，更能理解这些工具背后的深刻数学原理，为后续深入学习高等数学、数值分析、优化理论或数据科学打下坚实的基础。

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如果用一句话来概括我的感受，这本书更像是一本为已经掌握了扎实数学基础的人准备的“快速参考手册”，而不是一本旨在教授初学者的入门教材。它的难度曲线设置得非常陡峭，对读者的先验知识假设过高。在介绍诸如极限、矩阵运算这些基础概念时，作者使用了大量只有数学系学生才会熟悉的术语，却没有提供足够细致的解释或类比来帮助非专业背景的读者建立直观理解。例如，对于优化算法的收敛性讨论，往往一笔带过，仿佛读者已经默认接受了这些复杂的分析方法。对于我这样的商业应用导向的学习者来说，这种深度和广度的失衡是致命的。它更关注数学的严谨性，而牺牲了教学的有效性和对不同学习背景读者的包容性，导致学习过程充满了挫败感，仿佛在努力攀登一座为专业人士修建的陡峭山峰。

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阅读体验上，这本书的排版布局简直是一场灾难。页边距窄得令人发指，内容几乎要挤到书脊的缝隙里去，需要用力按平才能看清中间的公式。更要命的是，重要的定理和定义往往是以一种非常不显眼的方式嵌入在正文段落中的，没有加粗、没有独立方框，甚至连字体都没有变化，这使得我在复习时，很难快速定位到那些核心的知识点。你得靠着记忆中对某个句子的位置来寻找，而不是依赖清晰的视觉提示。此外，公式的编号和引用也做得非常混乱，经常出现引用前一个章节的公式，或者在一个大段落中突然插入一个编号，但紧接着的下一段又完全没有引用任何编号，让人感觉整个逻辑流是被割裂的。这严重影响了学习效率，因为你不得不将大量精力用于导航和定位信息，而不是吸收信息本身。

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书中对实际应用案例的选取，可以说是这本书最让人感到“隔靴搔痒”的部分了。它罗列了许多商业场景，比如投资回报率的计算、最优库存问题的设置等等，但这些案例的数学建模过程，往往被处理得过于简化了。例如，在涉及线性规划的部分，模型建立后，解题步骤似乎是直接跳跃到了一个“理想化”的完美解法，完全没有提及现实世界中数据不完整性、约束条件冲突性等更为复杂和常见的问题。这给人的感觉是，作者提供了一个理想化的“玩具模型”，而不是一个能够指导真实商业决策的工具箱。读者学到的更多是如何解决教科书式的、边界清晰的问题，而不是如何将这些数学工具应用到那些充满灰色地带和模糊信息的商业环境中去。我期待的不仅仅是“代入公式”，而是关于如何将一个真实的商业困境成功地转化为一个可解的数学框架的思维过程，这一点在这本书中体现得非常不足。

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这本书的封面设计简直是平淡得让人提不起兴趣，那种老式的、泛黄的排版风格，让人不禁怀疑自己是不是穿越回了上个世纪的大学课堂。内页的纸张质量也算不上上乘，印刷的字体大小不一，有些地方墨迹似乎有些模糊，阅读起来需要集中极大的注意力。章节的划分中规中矩，并没有什么特别的创新之处，基本就是按照传统的数学课程设置来组织内容。我花了很长时间才适应这种略显过时的视觉体验，说实话，如果不是课程要求，我可能早就把它束之高阁了。书中的例题配图，如果非要用“配图”来形容的话，那也只能说是极其简陋的线条图，完全无法提供任何直观的理解帮助，更别提什么精美的插画或者现代化的图表了。拿在手上沉甸甸的感觉，除了重量感，实在找不到任何值得称赞的地方。打开目录，那些熟悉的、略显枯燥的数学名词映入眼帘，仿佛预示着一场漫长而艰辛的学习过程，完全没有那种让人眼前一亮的感觉。

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我对这本书的行文风格感到非常困惑，它似乎在努力地在“深入理论”和“实用讲解”之间摇摆不定，结果两边都没能讨好。有时候，作者会突然抛出一个非常抽象的数学定义，后面紧接着就是一长串复杂的符号推导，让人感觉大脑皮层正在经历一场高强度的信息轰炸，几乎没有缓冲地带。然而，当你以为自己要开始理解某个核心概念时，下一页又跳到了一个看似非常贴近商业的案例，但这个案例的解释又显得过于草率和表面化，缺乏足够的背景铺垫来支撑它与前面理论的关联性。这种跳跃性让我的学习路径显得支离破碎，我常常需要频繁地翻阅前面的章节来回顾那些似乎在中间环节被省略掉的过渡性解释。对于一个初学者来说，这种“你必须自己脑补中间环节”的叙事方式，无疑是增加了学习的认知负担。我花了大量时间在试图理清作者的“思路轨迹”上，而不是真正地去掌握数学知识本身。

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