具体描述
《数理基础与应用分析导论》图书简介 （一本面向工程、科学及经济学领域深度学习者的严谨教材） 本书定位与特色： 《数理基础与应用分析导论》并非传统的“高等数学”续篇，而是将传统微积分、线性代数的核心概念与现代科学计算、数据分析的需求深度融合的一本前沿教材。本书着重于构建坚实的数学直觉与严谨的逻辑推理能力，旨在帮助读者从“计算”思维过渡到“建模”与“证明”思维。我们假设读者已掌握基础的微积分运算能力，本书将把重点放在概念的深化、理论的拓展以及复杂问题的解决框架构建上。 第一部分：多变量函数的深度剖析与优化理论（对应传统微积分下册的进阶与拓展） 第1章：拓扑预备与向量空间基础回顾 本章首先回顾了实数空间 $mathbb{R}^n$ 的基本拓扑性质（开集、闭集、紧集），并引入了在更高维度空间中处理极限、连续性、一致收敛的严格标准。随后，我们系统地引入了 $mathbb{R}^n$ 上的向量空间结构，强调其作为函数空间基础的重要性。重点讨论了范数、内积的几何意义，以及它们在误差分析中的作用。 第2章：微分的几何升华——张量分析与微分形式 超越梯度的简单概念，本章深入探讨了多变量函数的微分本质。通过介绍雅可比矩阵的几何意义（线性逼近与局部形变），我们将微分扩展到张量运算的范畴。核心内容包括： 方向导数与梯度场的物理诠释： 如何通过梯度场理解物理量（如电磁场、热流）的分布与变化。 多重积分的变量代换原理： 不仅仅是计算技巧，更深入探讨了雅可比行列式作为局部体积/面积缩放因子的深刻内涵。 微分形式与外微分： 为后续的场论（如麦克斯韦方程组的现代表述）奠定基础，引入了“差分”的抽象代数结构。 第3章：线性和非线性系统的稳定性分析与固定点理论 本章将微分方程的定性分析提升到新的高度。重点不再是求解初值问题，而是分析系统的长期行为。 常微分方程组的相平面分析： 对于二维自治系统，利用平衡点（奇点）的线性化分析，详细分类鞍点、结点、中心、焦点等拓扑结构。 庞加莱-李雅普诺夫稳定性理论： 引入李雅普诺夫函数，提供判断非线性系统稳定性的强大工具，避免了直接积分的困难。 不动点定理的应用： 讨论布劳威尔不动点定理和巴拿赫压缩映射原理，展示其在证明解的存在性（如 Picard 迭代的收敛性保证）中的关键作用。 第4章：变分法入门与泛函分析的初步接触 本章是连接传统微积分与现代控制论、场论的桥梁。 欧拉-拉格朗日方程的推导与应用： 从能量泛函最小化的物理原理出发，推导出决定曲线族特性的微分方程。典型应用包括最短路径问题、悬链线问题等。 泛函的变分与首要变分： 引入泛函微分的概念，为后续的泛函分析打下基础。 第二部分：无穷维空间的理论基础与现代分析工具（对应传统课程中的级数与初步积分变换） 第5章：傅里叶分析的严谨化与工程实现 本章对傅里叶级数和傅里叶变换进行深入的、基于收敛性理论的讨论。 狄利克雷条件与傅里叶级数的收敛性： 探讨函数在间断点处的收敛行为（吉布斯现象的数学解释）。 傅里叶变换的定义域与性质： 深入分析函数的傅里叶变换存在的充分必要条件，强调其在频域分析中的核心地位。 卷积定理的深度解析： 将卷积视为“平滑”或“滤波”操作的数学实现，并与信号处理中的相关性概念联系起来。 第6章：勒贝格积分理论的必要性与基础 为了处理更广泛的函数类（如不连续函数、极限函数），本章引入了更强大的积分理论。 测度论基础： 简要介绍外测度、可测集和 $sigma$ 代数，解释为什么需要比“区间长度”更抽象的测度概念。 简单函数与勒贝格积分的构造： 严谨地定义勒贝格积分，并说明它在处理序列极限下的积分运算时相对于黎曼积分的优越性（单调收敛定理、有界收敛定理）。 第7章：复变函数论的核心理论与保角映射 本部分将分析工具扩展到复平面，这对于物理学、流体力学和电路理论至关重要。 柯西-黎曼方程与解析函数的性质： 强调解析函数（全纯函数）的强大性质，如无穷次可微性与泰勒展开性。 柯西积分定理与柯西积分公式的几何解释： 将积分路径的选择与复平面上的“穿绕数”（拓扑性质）联系起来。 留数定理及其在实积分中的应用： 详细展示留数定理如何高效地解决传统微积分中难以处理的特定类型实积分。 保角映射： 探讨共形映射如何将复杂区域的边值问题转化为简单区域（如单位圆、上半平面）上的问题。 第三部分：线性代数的抽象化与应用（对应传统课程的线性代数强化） 第8章：抽象向量空间与线性算子 本章将对向量空间的概念从 $mathbb{R}^n$ 提升到任意域上的抽象空间，并引入线性映射（算子）。 基、维数与同构： 严格定义向量空间的基，并阐述任何有限维向量空间都同构于 $mathbb{R}^n$ 或 $mathbb{C}^n$ 的意义。 线性算子在函数空间中的作用： 将微分算子、积分算子视为线性算子，为泛函分析做准备。 核空间（Null Space）与像空间（Image Space）： 讨论算子作用下信息的损失与保留。 第9章：特征值问题的深化与谱理论 特征值和特征向量是理解动态系统和数据结构的关键。 矩阵的对角化与若尔当标准形（Jordan Canonical Form）： 当矩阵不可对角化时，若尔当标准形是分析系统演化和矩阵函数（如矩阵指数）的最终工具。 对称矩阵的谱定理： 强调正交对角化在最小二乘法、主成分分析（PCA）等领域中的基础性地位。 矩阵函数： 利用泰勒级数定义和若尔当分解计算 $e^A, sin(A)$ 等矩阵函数，应用于求解线性常微分方程组。 结语： 本书旨在为有志于从事高精尖研究或需要处理复杂数学模型的读者，提供一个既具深度又具广度的数理工具箱。它要求读者不仅掌握运算技巧，更要理解数学概念背后的几何直觉和逻辑结构。阅读完毕后，读者将能够自信地进入更专业的领域，如偏微分方程、高级数值分析、控制理论或现代统计学。
作者简介
目录信息
读后感
评分
评分
评分
评分
评分
用户评价
评分
评分
评分
评分
评分
相关图书
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2026 book.quotespace.org All Rights Reserved. 小美书屋 版权所有