具体描述
经济法（经济管理类专业用），ISBN：9787109118737，作者：李彤
宇宙的宏大叙事：量子场论导论 本书旨在为物理学、数学及相关领域的研究者和高年级本科生提供一套深入且严谨的量子场论（Quantum Field Theory, QFT）基础框架。我们避开了那些侧重于特定现象（如粒子物理标准模型或凝聚态物理特定模型）的叙述方式，转而聚焦于构建和理解量子场论这一理论语言本身的数学与概念核心。 本书的结构精心设计，旨在通过层层递进的方式，引导读者从经典的场论概念出发，逐步过渡到量子化的世界，并掌握现代物理学研究中不可或缺的计算工具。 --- 第一部分：经典场论的回顾与深化 (The Classical Foundation) 在正式进入量子化之前，我们首先需要对支配宏观和微观世界的经典场进行深入的梳理。本部分是全书的基石，它强调了场（Field）作为基本物理实体的重要性，而非粒子。 第一章：拉格朗日力学与哈密顿力学的场论推广 我们从分析力学的核心——拉格朗日量出发，探讨如何将其从离散的粒子系统推广到连续的场系统。核心概念是拉格朗日密度（Lagrangian Density $mathcal{L}$），它是一个依赖于场 $phi(x)$ 及其一阶偏导数 $partial_mu phi(x)$ 的函数。 本章详细推导了欧拉-拉格朗日方程在场论中的形式，即： $$partial_{mu} left( frac{partial mathcal{L}}{partial (partial_{mu} phi)}
ight) - frac{partial mathcal{L}}{partial phi} = 0$$ 随后，我们引入能量-动量张量（Energy-Momentum Tensor $T_{mu
u}$），通过对拉格朗日密度的变分定义了它。这是后续诺特定理和量子化中能量守恒的关键。 第二章：对称性、守恒律与诺特定理 对称性是物理学的灵魂。本章的核心在于诺特定理（Noether's Theorem）的完整阐述和应用。我们严格证明了：对于任何连续的、作用在场方程上的时空对称性（如平移、旋转、洛伦兹变换），都存在一个相应的守恒流 $J^mu$，使得 $partial_mu J^mu = 0$。 我们详细分析了以下几种关键对称性及其对应的守恒量： 1. 时间平移不变性 $
ightarrow$ 能量守恒（对应 $T_{00}$ 的时间积分）。 2. 空间平移不变性 $
ightarrow$ 总动量守恒。 3. 洛伦兹不变性 $
ightarrow$ 总角动量守恒。 4. 全局内禀对称性（如 $U(1)$ 变换） $
ightarrow$ 守恒荷（如电荷或粒子数）。 第三章：自由标量场与波动方程 本章聚焦于最简单的经典场模型——无质量实值自由标量场 $phi(x)$。其拉格朗日密度为： $$mathcal{L} = frac{1}{2} (partial_mu phi) (partial^mu phi) - frac{1}{2} m^2 phi^2$$ 我们推导出支配此场的克莱因-戈登方程（Klein-Gordon Equation），并讨论了其平面波解的形式，为后续的正则量子化做好了铺垫。 --- 第二部分：正则量子化与粒子概念的诞生 (Canonical Quantization) 如何将描述场的经典理论转化为描述具有粒子激发态的量子理论，是本部分的核心挑战。我们采用传统的正则（哈密顿）量子化方法。 第四章：正则对易关系与场算符 我们定义场 $phi(mathbf{x}, t)$ 和其共轭动量 $pi(mathbf{x}, t)$： $$pi = frac{partial mathcal{L}}{partial (partial_t phi)}$$ 然后，我们将经典变量提升为算符（Operators），并引入在同一时间切片上必须满足的正则对易关系（对于玻色子）： $$[phi(mathbf{x}, t), pi(mathbf{y}, t)] = i delta^3(mathbf{x} - mathbf{y})$$ $$[phi(mathbf{x}, t), phi(mathbf{y}, t)] = 0, quad [pi(mathbf{x}, t), pi(mathbf{y}, t)] = 0$$ 这些代数关系定义了量子场论的结构。 第五章：粒子态的构造：产生与湮灭算符 通过对场算符 $phi(mathbf{x}, t)$ 进行傅里叶分解，并利用对易关系，我们引入了至关重要的产生算符 ($a^dagger_{mathbf{p}}$) 和湮灭算符 ($a_{mathbf{p}}$)。 本章详细展示了如何利用真空态 $|0
angle$（定义为 $a_{mathbf{p}}|0
angle = 0$）通过迭代作用这些算符来构建所有多粒子态（Fock Space）。例如，一个单粒子态被定义为： $$|mathbf{p}
angle = a^dagger_{mathbf{p}} |0
angle$$ 我们严格证明了这些算符满足玻色子对易关系，从而确立了粒子（即场的激发量子）在量子场论中的表象。 第六章：自由狄拉克场与费米子统计 对于描述自旋为 $1/2$ 粒子的狄拉克场 $psi(x)$，我们发现直接应用玻色子的正则对易关系会导致负概率（即违反幺正性）。本章的核心是引入反对易关系（Anti-commutation Relations）来处理费米子： $${psi(mathbf{x}, t), psi^dagger(mathbf{y}, t)} = delta^3(mathbf{x} - mathbf{y})$$ 我们推导出狄拉克场的自由拉格朗日量，并使用这些反对易关系来构造费米子的产生和湮灭算符，确保了泡利不相容原理的自然体现。 --- 第三部分：相对论性场论的进阶主题 (Advanced Relativistic Topics) 在建立了粒子图像后，本部分着眼于处理相对论性理论中不可避免的困难，特别是与因果律和无穷大相关的挑战。 第七章：自旋与统计：微观因果律 我们探讨了自旋与统计的深层联系——自旋统计定理。本章从保持物理学中微观因果律（即相隔类空（spacelike separated）的两个点上的物理量不对易）的严格要求出发，证明了整数自旋（玻色子）必须满足对易关系，而半整数自旋（费米子）必须满足反对易关系。这是QFT相对于非相对论量子力学的关键优势之一。 第八章：相互作用、微扰论与S矩阵 引入相互作用（如 $mathcal{L}_{ ext{int}} = -frac{lambda}{4!} phi^4$）后，薛定谔方程或狄拉克方程的解析解变得不可能。我们转向海森堡绘景下的微扰论。 本章的核心工具是Dyson级数展开的相互作用绘景中的时间演化算符 $U(t, t_0)$，它导出了S矩阵 (Scattering Matrix)，该矩阵的元素（$S_{fi} = langle f | S | i
angle$）直接给出了从初始态 $|i
angle$ 跃迁到最终态 $|f
angle$ 的概率幅。 第九章：费曼图与微扰展开 我们详细介绍如何利用费曼规则（Feynman Rules）将S矩阵的微扰展开式转化为费曼图（Feynman Diagrams）。每个图对应于一个具体的数学项，它直观地描绘了粒子在时空中的相互作用历史。我们着重于一阶和二阶相互作用的图示解析，包括： 1. 内部线（传播子，Propagator）的意义。 2. 顶点因子（Vertex Factor）的来源。 3. 连接图线所需的积分（动量积分）。 --- 第四部分：处理无穷大：重整化论的几何与代数 所有尝试计算高阶费曼图（闭合回路）时都会遇到积分发散至无穷大的问题。本部分是全书技术上最核心也最具挑战性的部分，它解释了量子场论如何通过重整化（Renormalization）来处理这些无穷大，并产生可预测的物理结果。 第十章：发散的起源与处理紫外灾难 我们首先识别出两种主要的发散： 1. 紫外（UV）发散：由高动量（短距离）积分引起。 2. 红外（IR）发散：通常与无质量粒子（如光子）的发射有关。 本章专注于紫外发散，并引入正则化（Regularization）方法，如截断法（Cutoff Regularization）和维度正则化（Dimensional Regularization），将无穷大暂时转化为依赖于某个参数（如截断 $Lambda$ 或维度 $epsilon$）的有限形式。 第十一章：重整化程序与“跑动”耦合常数 重整化的核心思想是区分“裸”参数（Bare Parameters，理论输入值）和“物理”参数（可观测值）。我们展示了如何通过重新定义场和参数，使得理论中的所有无穷大都能被吸收进对有限数量的原始参数的重新定义中。 我们引入有效作用量（Effective Action）的概念，并推导出重整化群方程（Renormalization Group Equation, RGE），特别是Callan-Symanzik方程。这揭示了物理量（如耦合常数）如何依赖于我们进行测量的能量尺度 $mu$，这被称为“耦合常数的跑动”（Running Coupling Constant）。 第十二章：重整化群流与渐近自由 利用重整化群方程，我们分析了理论的长期行为。本章深入探讨了渐近自由（Asymptotic Freedom）的现象——在高能（短距离）下，相互作用变弱的特性。通过分析特定的 $eta$ 函数，我们明确了哪些场论是可重整化的（即只有有限个参数需要重整化），以及哪些理论（如 $phi^6$ 理论）在紫外区是不可重整化的。 --- 结语：超越基础 全书在构建了严格的量子场论语言后，留下了一个展望：如何将这些工具应用于更复杂的实际物理学——如规范场论（涉及矢量玻色子）、自发对称性破缺，以及如何将重整化思想推广到统计物理学的临界现象中。本书的价值在于，它提供的不是一套现成的物理模型解释，而是一套严谨的数学和概念工具箱，供读者自行探索现代物理学的广阔疆域。
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