线性代数.概率论与数理统计证明题500例解析 pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:高等教育

作者:本社

出品人:

页数:496

译者:

出版时间:2008-1

价格:20.00元

装帧:

isbn号码:9787040226638

丛书系列:

图书标签:

数学
Math
2008
#数学基础
Math/杂
线性代数
概率论
数理统计
证明题
解析
高等数学
数学辅导
教材
习题集
考研

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具体描述

《大学数学学习辅导丛书·线性代数概率论与数理统计证明题500例解析》是为了有效地提高学生求解线性代数和概率统计证明题的效率，培养训练数学思想方法与掌握数学算理，引导学生探索证明题的基本求解思路。怎样寻找有效途径可以达到证明目的？如果题目的已知条件不变化，而证明的结论发生变化，证明的思路将发生什么变化？如果已知条件变化，而证明的结论不变，证明的思路将发生什么变化？外观形式相仿的题目，证明的思路是否相同？外观形式不同的证明题，它们的证明思路是否也不同？希望能通过这种训练，有效地提高证明题的求解能力。

《大学数学学习辅导丛书·线性代数概率论与数理统计证明题500例解析》选题范围较广。依据本科数学基础课程教学基本要求，参考研究生入学数学考试大纲，由多本线性代数和概率统计习题集、考研试题、数学竞赛题中选择约500道证明题进行归类、分析。

探索代数与概率的深度交织：深入理解数学原理的基石本书旨在为读者提供一个全新的视角，探索数学基础理论中两个核心分支——线性代数与概率论与数理统计——的深刻联系与应用。不同于侧重于计算技巧或公式罗列的传统教材，本书致力于构建起一套严谨的理论框架，帮助读者真正理解这些学科背后的数学逻辑与证明思想。第一部分：线性代数的几何与代数精粹线性代数是现代数学的语言之一，其重要性不言而喻。本书将线性代数的学习从单纯的矩阵运算提升到向量空间和线性变换的抽象层面，并通过严谨的证明过程，揭示其内在的结构美。 1. 向量空间与子空间：结构的基础我们首先从最基本的定义出发，深入探讨向量空间的公理化结构。本书着重证明了线性无关集、生成集和基的概念之间的内在联系。例如，我们将详细证明：在一个有限维向量空间中，任何一组基都具有相同的基元的个数（即维数），并通过构造性的方法来阐述如何从线性无关集扩展到基。关键证明点：维度定理的严格推导，张成空间的性质，以及子空间交集与和空间的维数公式 ($ ext{dim}(U+W) = ext{dim}(U) + ext{dim}(W) - ext{dim}(U cap W)$) 的完整论证。 2. 线性映射与矩阵表示：联系的桥梁线性映射是连接不同向量空间的“动作”。本书详细论证了线性映射的核空间（Kernel）和像空间（Image）的性质，并严格证明了秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）： $ ext{dim}( ext{Ker}(T)) + ext{dim}( ext{Im}(T)) = ext{dim}(V)$。我们不仅会展示如何通过选择不同的基来得到不同的矩阵表示，更重要的是证明：相似矩阵描述的是同一个线性映射在不同基下的不同视角。这一证明需要对相似变换矩阵的结构进行深入分析。 3. 特征值、特征向量与对角化：动态系统的核心特征值问题是分析线性系统稳定性的关键。本书将重点放在证明：对于实对称矩阵，其特征值必然是实数，并且可以被对角化（正交对角化）。这一证明依赖于施瓦茨不等式在欧几里得空间中的应用，以及拉格朗日乘数法在寻找极值点上的辅助作用。此外，我们还将探讨若尔当标准型（Jordan Canonical Form）的存在性证明，它揭示了不可对角化矩阵的结构本质。 4. 内积空间与正交性：几何直觉的量化内积的引入使得我们可以谈论长度、角度和正交性。本书将详细证明施密特正交化过程的有效性，确保任何 $n$ 维空间都可以找到一组正交基。关于正交补（Orthogonal Complement）的证明是理解最小二乘解和投影定理的基础，我们将严谨论证 $V = W oplus W^perp$ 这一关键分解。 --- 第二部分：概率论与数理统计的严谨推导概率论与数理统计是处理不确定性的科学。本书摒弃了仅仅依赖经验法则的讲解方式，而是从概率的公理系统出发，构建起坚实的理论大厦，并在此基础上推导出统计推断的有效性。 1. 概率论基础：从公理到随机变量我们从 Kolmogorov 的三大公理出发，证明诸如 $sigma$-代数、可测函数等概念的必要性。随机变量被严格定义为可测函数，这为后续的积分和期望计算奠定了基础。本书将详细证明独立事件的充要条件与条件概率的乘法公式的推广形式。 2. 随机变量的矩与分布的性质期望（Expectation）和方差的性质是通过勒贝格积分的性质推导出来的。本书将深入证明切比雪夫不等式的精确推导过程，并以此为基础，严格证明大数定律（Weak Law of Large Numbers, WLLN）的几种不同形式（如伯努利大数定律）。 3. 随机变量的收敛性与中心极限定理极限理论是统计推断的理论基石。我们不仅仅介绍中心极限定理（Central Limit Theorem, CLT）的结论，更会选取 Cauchy 序列或特征函数方法之一，完整展示 CLT 的证明过程，解释为什么在足够多的独立同分布（i.i.d.）随机变量的均值服从正态分布。对于依概率收敛和依分布收敛的区分，本书通过反例和定义证明来强化读者的理解。 4. 数理统计：参数估计与假设检验的数学基础在统计推断部分，本书聚焦于估计量的性质证明。估计量性质：严格证明无偏性、有效性（最小方差）的定义，并展示如何使用 Cramér-Rao 下界来判断一个估计量是否为最小方差无偏估计（UMVUE）。该证明过程涉及对数似然函数的求导和协方差矩阵的性质。大样本性质：证明最大似然估计量 (MLE) 的渐近正态性、一致性以及渐近有效性。这些证明充分利用了线性代数中泰勒展开和矩阵求逆的连续性性质。假设检验： Neyman-Pearson 引理的证明将是核心内容，它揭示了最 UMP（Uniformly Most Powerful）无偏检验的构建原则，体现了统计决策论的严谨性。 --- 第三部分：理论的融合与应用启示本书的最终目标是展示线性代数与概率论并非孤立的学科，而是在高维数据分析和随机过程建模中相互交织的工具。虽然本书不包含具体计算范例，但其理论框架为理解以下领域奠定了基础：主成分分析（PCA）： PCA 的核心在于寻找协方差矩阵的最大特征值对应的特征向量，这完全依赖于对称矩阵的对角化和特征分解的理论。多元统计分析：多元正态分布的密度函数涉及到协方差矩阵的行列式和逆矩阵，这直接应用了线性代数中矩阵可逆性的判定及其逆矩阵的求解方法。马尔可夫链与随机过程：长期状态分布的计算，往往通过分析转移概率矩阵的特征值（特别是特征值 1 对应的特征向量）来求解，这要求读者对矩阵的谱理论有深刻的理解。本书适合对象：面对高阶数学建模、科学计算、数据科学、理论物理或工程领域，需要掌握数学理论深层逻辑的本科高年级学生、研究生及专业研究人员。它提供的不是解题的捷径，而是通往数学证明的坚实阶梯。

作者简介

本书依据本科数学基础课程教学基本要求，参考研究生入学数学考试大纲，由多本线性代数和概率统计习题集、考研试题、数学竞赛题中选择约500道证明题进行归类、分析。有效地提高学生求解线性代数和概率统计证明题的效率，培养训练数学思想方法与掌握数学算理，引导学生探索证明题的基本求解思路。本书适用于理工类、经济类、管理类本科生学习，也适用于备考研究生的学生选作学习证明题的参考书。

目录信息

第一篇证明题
第一章行列式
1.1.1 行列式的定义与性质
1.1.2 行列式按行（列）展开
第二章矩阵
1.2.1 矩阵的概念、线性运算、乘积与转置
1.2.2 逆矩阵
1.2.3 矩阵的初等变换与初等矩阵及矩阵的秩
1.2.4 分块矩阵
第三章向量
1.3.1 向量的线性组合及线性相关性
1.3.2 向量组的极大线性无关组及向量组的秩
第四章线性方程组
1.4.1 线性方程组解的判别齐次线性方程组的基础解系和通解
1.4.2 非齐次线性方程组解的结构及通解
第五章矩阵的特征值和特征向量
1.5.1 矩阵的特征值和特征向量
1.5.2 相似矩阵及矩阵的对角化
1.5.3 实对称矩阵的对角化
第六章二次型
1.6.1 二次型及其矩阵二次型的标准形及规范形
1.6.2 二次型及其矩阵的正定性概念及判别法
第二篇证明题解析
第一章行列式
2.1.1 行列式的定义与性质
2.1.2 行列式按行（列）展开
第二章矩阵
2.2.1 矩阵的概念、线性运算、乘积与转置
2.2.2 逆矩阵
2.2.3 矩阵的初等变换与初等矩阵及矩阵的秩
2.2.4 分块矩阵
第三章向量
2.3.1 向量的线性组合及线性相关性
2.3.2 向量组的极大线性无关组及向量组的秩
第四章线性方程组
2.4.1 线性方程组解的判别齐次线性方程组的基础解系和通解
2.4.2 非齐次线性方程组解的结构及通解
第五章矩阵的特征值和特征向量
2.5.1 矩阵的特征值和特征向量
2.5.2 相似矩阵及矩阵的对角化
2.5.3 实对称矩阵的对角化
第六章二次型
2.6.1 二次型及其矩阵二次型的标准形及规范形
2.6.2 二次型及其矩阵的正定性概念及判别法
第一篇证明题
第一章随机事件和概率
1.1.1 事件及其关系和运算
1.1.2 事件的概率
1.1.3 独立事件和独立试验
第二章随机变量及其分布
1.2.1 随机变量的分布函数
1.2.2 离散型随机变量
1.2.3 连续型随机变量
第三章多维随机变量的分布
1.3.1 联合分布的一般性质
1.3.2 多元正态分布
1.3.3 随机变量的独立性
1.3.4 随机向量函数的分布
第四章随机变量的数字特征
1.4.1 一般性质
1.4.2 概率论中常见的不等式
1.4.3 随机变量的相关性
第五章中心极限定理
1.5.1 依概率收敛和大数定律
1.5.2 中心极限定理
第六章数理统计的基本概念（抽样分布）
1.6.1 总体、样本和统计量
1.6.2 正态总体的常用抽样分布
1.6.3 极限抽样分布
第七章参数估计
1.7.1 未知参数的点估计
1.7.2 求估计量的方法
1.7.3 正态总体参数的估计
1.7.4 非正态总体参数的区间估计
第八章假设检验与比较
1.8.1 假设检验的两类错误
1.8.2 正态总体参数的显著性检验
1.8.3 比率的显著性检验
第二篇证明题解析
第一章随机事件和概率
2.1.1 事件及其关系和运算
2.1.2 事件的概率
2.1.3 独立事件和独立试验
第二章随机变量及其分布
2.2.1 随机变量的分布函数
2.2.2 离散型随机变量
2.2.3 连续型随机变量
第三章多维随机变量的分布
2.3.1 联合分布的一般性质
2.3.2 多元正态分布
2.3.3 随机变量的独立性
2.3.4 随机向量函数的分布
第四章随机变量的数字特征
2.4.1 一般性质
2.4.2 概率论中常见的不等式
2.4.3 随机变量的相关性
第五章中心极限定理
2.5.1 依概率收敛和大数定律
2.5.2 中心极限定理
第六章数理统计的基本概念（抽样分布）
2.6.1 总体、样本和统计量
2.6.2 正态总体的常用抽样分布
2.6.3 极限抽样分布
第七章参数估计
2.7.1 未知参数的点估计
2.7.2 求估计量的方法
2.7.3 正态总体参数的估计
2.7.4 非正态总体参数的区间估计
第八章假设检验与比较
2.8.1 假设检验的两类错误
2.8.2 正态总体参数的显著性检验
2.8.3 比率的显著性检验
参考书目
· · · · · · (收起)

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

从知识覆盖的广度来看，这本书的选材非常具有代表性和前瞻性。它并非仅仅停留在教科书要求掌握的那些基础证明上，而是巧妙地融入了许多在研究生入学考试、乃至一些专业领域研究中会频繁出现的经典模型和技巧。例如，对于特征值和特征向量的讨论，它不仅限于对角化，还延伸到了若尔当标准型的概念引入，虽然没有深入展开，但为后续学习铺设了坚实的桥梁。此外，在概率论的部分，对于中心极限定理的各种变体和应用场景，也给予了非常详尽的分析，特别是那些涉及大数定律和极限定理的综合应用题，其解析的深度和广度，让我感觉自己仿佛在进行一次高强度的思维体操训练。它不只是帮你应付考试，更是在为你未来的学术探索做好知识储备。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我的最深感受是一种“解题的系统感”。以往我做题时，常常是东一榔头西一棒子，今天学这个技巧，明天记那个公式，缺乏一个整体的架构。而这本书，通过对500个例题的精心编排，形成了一个由浅入深、层层递进的知识网络。你会发现，很多看似毫不相关的证明题，其实共享着某几个核心的数学工具或者思想钢印。比如，通过观察不同章节中利用不等式技巧的灵活转换，我开始领悟到分析和代数思想的互通性。这种将零散的知识点串联成体系的过程，是自学过程中最难实现的突破。这本书有效地弥补了这一点，它不仅仅提供了答案，更重要的是，它提供了一套行之有效的解题方法论，让我从一个“题海战术的执行者”，逐渐转变为一个能够主动构建和运用数学模型的思考者。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计，从封面的配色到内页的排版，都透露着一股严谨而又亲切的气息。我记得第一次在书店里翻到它时，就被它那种扑面而来的专业感吸引了。纸张的质地摸起来很舒服，即便是长时间盯着那些复杂的公式和推导过程，眼睛也不会感到太过疲劳。这一点对于我们这种需要反复研读数学书籍的读者来说，简直是太重要了。书本的开本适中，既方便携带，又保证了足够的阅读空间，使得那些密集的证明步骤能够清晰地呈现出来。作者在版式设计上也颇费心思，章节的划分逻辑清晰，每一个例题的编号和标题都非常醒目，这让我在查找特定知识点时，能迅速定位，极大地提高了学习效率。总的来说，从硬件体验上来说，这本书绝对是市面上同类书籍中的佼佼者，它不仅仅是一本知识的载体，更是一件精心制作的阅读工具，让人在学习的枯燥过程中，也能享受到一些视觉上的愉悦。

评分☆☆☆☆☆

这本书的论述风格，简直就是数学逻辑的完美体现，它不是那种冷冰冰地堆砌公式的教材，而更像是一位经验丰富、循循善诱的导师在耳边为你讲解。作者在引入每一个定理或者概念时，都会先从直观的几何意义或者实际的物理背景入手，让那些抽象的概念一下子变得“触手可及”。我尤其欣赏的是它处理证明题的层次感。对于一个复杂的证明，它不会一下子抛出所有步骤，而是采用“分层解析”的方法，先给出整体的思路框架，就像是绘制了一张路线图，让你对整个证明的走向了然于心，然后再逐步填补每一个环节的细节推导。这种处理方式，极大地降低了初学者面对长篇证明时的畏惧感。很多时候，我看完一个例题的解析，都会有一种豁然开朗的感觉，仿佛作者已经提前预料到了我可能在哪里卡住，并提前准备好了最恰当的提示和引导。这种精妙的教学设计，是很多其他参考书所欠缺的。

评分☆☆☆☆☆

真正让我对这本书爱不释手的，是它对“思维陷阱”的捕捉和剖析能力。数学的学习，往往不仅仅是会做题，更重要的是避免那些看似合理实则谬误的逻辑漏洞。这本书在这方面做得极为出色。在许多例题的解析末尾，作者都会专门设置一个“易错点辨析”或者“关键细节提示”的栏目。比如，在处理矩阵的秩和线性方程组解的存在性时，它会明确指出在特定条件下，某些看似通用的结论失效的原因，并辅以反例进行说明。这种深入到“为什么不成立”的探讨，远比单纯告诉我“应该怎么做”要深刻得多。这迫使我不再满足于套用公式，而是真正开始思考每一步推导背后的数学原理的约束条件，这对于培养严谨的数学思维至关重要。它教会我的，是如何在复杂的运算迷宫中，保持清醒的头脑。

评分☆☆☆☆☆