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出版者:Springer

作者:Enrico Arbarello

出品人:

页数:404

译者:

出版时间:1984-12-20

价格:USD 119.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387909974

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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《代数几何曲线几何》 简介 《代数几何曲线几何》一书深入探讨了代数曲线这一数学领域的核心概念及其丰富的几何性质。本书旨在为读者提供一个全面而严谨的视角，去理解和掌握代数曲线的内在结构、分类方法以及它们在几何分析中所扮演的关键角色。 核心内容概览 本书的起点是对代数曲线的基本定义的阐述，包括其在射影平面中的表示，以及齐次坐标和仿射坐标之间的转换。我们将详细介绍多项式方程如何定义这些曲线，并探讨曲线的不可约性、奇异点以及多重性等基本性质。奇异点的分析是代数曲线研究中的一个重要分支，本书将深入剖析切线、法线、自相交点以及尖点等不同类型的奇异点，并介绍消除奇异点的方法，如通过降秩变换（blowing up）。 本书的另一核心部分是曲线的几何不变量。我们将详细介绍亏格（genus）的概念，这是代数曲线最 fundamental 的拓扑不变量之一。亏格揭示了曲线的“孔洞”数量，直接影响着曲线的性质和分类。我们将通过一系列例子，包括平面曲线的亏格计算，来阐明亏格的重要性。此外，我们还会探讨其他重要的几何不变量，例如闭合链（fundamental group）的结构，以及它们与曲线的拓扑性质之间的深刻联系。 对于不同次数的代数曲线，本书将提供详尽的分析。例如，我们将会详细研究三次曲线，这是代数几何中最经典和研究最透彻的曲线类之一。三次曲线的分类，以及其上椭圆曲线的阿贝尔群结构，将是本书的重点内容。我们将探讨牛顿的三次曲线分类，以及更现代的基于模空间的分类方法。 本书还将深入研究曲线的相交理论。通过贝祖定理（Bézout's Theorem），我们将理解两条代数曲线在射影平面上的交点个数。贝祖定理不仅提供了交点数量的上限，更是代数几何中数量关系的重要体现。我们还将讨论相交的重数（multiplicity of intersection），以及如何计算和理解这些重数。 曲线的切空间和法空间也是本书的重要组成部分。我们将学习如何利用导数来定义曲线在一点的切线，并进一步推广到切空间的向量空间结构。这将为理解曲线的局部几何性质提供强大的工具。法空间则提供了曲线在外部的视角，帮助我们理解曲线的整体形状和行为。 为了更深入地理解代数曲线，本书还将介绍一些重要的代数工具，例如环论（ring theory）和概形论（scheme theory）的初步概念。虽然本书主要侧重于几何直观，但引入这些代数工具可以为理解更高级的理论打下基础，并揭示代数曲线的代数结构。 本书的另一重要主题是曲线的模空间（moduli space）。模空间是一个空间，其中的每个点都代表一个特定的代数曲线（或一族具有相似性质的曲线）。模空间的研究是代数几何中的一个活跃领域，它允许我们将一族曲线的性质转化为对该空间的几何性质的研究。我们将介绍一些基本的模空间，并阐述它们在分类和理解代数曲线时的作用。 此外，本书还将涉足黎曼面（Riemann surfaces）的几何。黎曼面是复变量函数论中的一个重要概念，而代数曲线与黎曼面之间有着深刻的联系。我们将探讨代数曲线如何诱导一个黎曼面，反之亦然，以及这种联系如何为我们理解代数曲线的拓扑和分析性质提供新的视角。 本书的最后一个部分将聚焦于一些经典的代数曲线问题和定理，例如塞雷的定理（Serre's Theorem）和阿蒂亚-辛格指数定理（Atiyah-Singer index theorem）的一些基本思想，以及它们如何应用于代数曲线的研究。我们将通过这些例子来展示代数几何曲线几何的强大力量和广泛应用。 目标读者 《代数几何曲线几何》一书适合数学专业本科高年级学生、研究生以及对代数几何、微分几何、拓扑学和复分析等领域感兴趣的研究人员。本书假设读者具备一定的抽象代数和线性代数基础，并对微积分有扎实的理解。 本书特色 本书以清晰的逻辑结构、严谨的数学表述和丰富的几何图例相结合的方式，力求使抽象的数学概念变得直观易懂。通过大量的例题和练习，读者可以巩固所学知识，并培养解决代数几何问题的能力。本书的写作风格力求自然流畅，避免机械的堆砌和空泛的理论，而是将理论知识与几何直觉紧密结合，让读者在理解数学本身的同时，也能体会到数学的优美和深刻。 总结 《代数几何曲线几何》是一本全面介绍代数曲线及其几何性质的著作。它从基本概念出发，逐步深入到亏格、相交理论、模空间以及与黎曼面的联系等高级主题。本书将为读者打开一扇理解和探索代数几何世界的大门，并为进一步研究相关领域奠定坚实的基础。

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这本书给我留下最深刻印象的，是它在处理一些经典问题时所展现出的现代性。它没有沉湎于历史回顾，而是用最新的工具和视角去重新诠释了代数几何中的基石。阅读过程中，我不断地在思考，那些古老的几何直觉是如何被现代的代数框架所捕捉、量化和推广的。书中对某些核心证明的构造，体现出一种优雅的简洁性，仿佛是经过无数次提纯后的数学结晶。这种简洁并非肤浅的简化，而是对复杂性本质的深刻把握。它成功地在两个看似分离的世界——几何的直观空间和代数的符号世界——之间架起了一座坚固且美观的桥梁。对于希望在这一领域进行深入研究的后学者来说，这本书提供了一个坚实的、可以反复查阅和引用的参考点，它不仅是一个知识的载体，更像是一份对代数几何学科精神的忠实宣言。

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这本书在处理一些核心概念时，展现出了一种罕见的深度和细致，这使得它在同类题材中显得尤为突出。例如，对于奇点理论的探讨，作者并没有止步于表面现象的描述，而是深入挖掘了其背后的代数拓扑根源。许多教科书可能会轻描淡写地带过这些复杂的部分，但这里却给予了充分的篇幅和严谨的推导，确保读者能够真正理解“为什么”会是这样，而不仅仅是“是什么”。对于那些致力于将代数几何应用于更广泛领域的研究人员而言，这种扎实的理论基础构建至关重要。我个人认为，这本书的价值不仅在于它提供了知识，更在于它提供了一种“看待问题”的视角——一种能穿透具体实例，直达抽象结构本质的数学洞察力。即使是那些已经被其他资源解释过的概念，通过这本书的视角重新审视时，也常常能发现新的细微之处和更深层次的联系，这一点非常难得。

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这本《代数曲线的几何学》的书名本身就带着一种神秘的吸引力，尤其对于那些对数学的抽象美感有着深厚兴趣的读者来说。我最初翻开这本书时，就被它那种深邃的、几乎是哲学性的探讨所吸引。它不仅仅是关于形状和曲线的，更是关于这些形状如何通过代数的语言被精确地定义和理解。作者在构建理论体系时，展现出了一种令人叹服的逻辑清晰度，仿佛在引导我们走过一条由严谨定义铺就的、通往更高维度理解的阶梯。初学者可能会觉得门槛略高，因为书中对预备知识的假设相对较高，但对于那些已经有一定代数背景的读者来说，这本书无疑是一次智力上的盛宴。它巧妙地将古典几何的直观美感与现代代数工具的强大能力结合起来，展现了数学研究的深度和广度。书中的论证过程层层递进，每一次突破都伴随着对先前概念的重新审视和升华，让人在阅读过程中不断体验到“豁然开朗”的喜悦。尤其是在某些高级章节，作者对某些看似不相关的概念之间的深刻联系的揭示，更是让人拍案叫绝，体会到数学结构之下的统一之美。

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从装帧和排版来看，这本书显然是为专业读者量身打造的，印刷质量毋庸置疑，数学符号的清晰度极高，这在阅读高度依赖视觉信息的数学著作时至关重要。然而，如果以一个希望快速入门的读者的角度来看，这本书的结构可能会显得有些过于线性化和密集。它似乎更偏向于展示一个完整的、自洽的理论体系的最终形态，而非循序渐进地引导读者“发现”这些理论的过程。这意味着，如果读者没有事先接触过相关基础知识，直接从第一页开始阅读可能会感到有些“失重”，缺乏足够的背景铺垫来建立直观的理解。它更像是为那些已经站在一定高度的学者准备的一份详尽地图集，而不是为初探者准备的向导手册。因此，我建议初学者可以先通过其他更具启发性的读物建立初步的几何直觉，再回过头来系统地研读此书，以充分吸收其蕴含的严密性。

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不得不说，这本书的文字风格是极其严谨且内敛的，它追求的是数学上的绝对精确性，而非花哨的修辞。对于习惯了通俗读物叙事节奏的读者来说，一开始可能会感到有些吃力，因为它更像是一份精心打磨的专业论文集，而不是一本轻松的科普读物。然而，正是这种不妥协的严谨性，构成了它无可替代的价值。每一个定理的证明，每一个引理的铺垫，都像是精密机械中的一个齿轮，无可替代且功能明确。我尤其欣赏作者在引入新概念时所采用的克制与精准，没有多余的赘述，所有信息都服务于构建起一个坚不可摧的理论框架。这种写作方式要求读者必须全神贯注，稍有走神就可能跟不上思绪的跳跃。但正是这种挑战性，使得最终掌握书中内容的成就感倍增。它不是那种“读完就忘”的书，而是那种需要你反复咀嚼、在草稿纸上演算印证，才能真正内化于心的经典之作。它强迫你的思维进入一种高度集中的状态，这对于任何严肃的数学学习者来说都是一种宝贵的训练。

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