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出版者:Ingram Pub Services

作者:Singmaster, David/ Frey, Alexander H.

出品人:

页数:204

译者:

出版时间:2001-12

价格:$ 28.25

装帧:HRD

isbn号码:9780718825553

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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现代代数结构：从群论到环与域的深度探索 本书内容简介 本书旨在为读者提供一个全面而深入的现代代数基础，内容涵盖了代数结构中最核心的部分：群（Groups）、环（Rings）与域（Fields）。本书的叙述风格力求严谨、清晰，并注重理论与实际应用的结合，特别是在代数几何和数论的初步应用方面。 第一部分：群论基础与结构 本书的开篇聚焦于群的定义、基本性质以及其丰富的内在结构。我们将从集合上的运算和封闭性等基础概念出发，逐步构建起对抽象群结构的理解。 第十一章：群的定义与基本性质 详细阐述群的四条公理（封闭性、结合律、单位元存在性、逆元存在性）。在此基础上，我们将推导出如单位元和逆元唯一性等基础定理。重点讨论阿贝尔群（交换群）的特性，并介绍有限群的阶（Order）的概念，包括拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）及其直接推论，例如子群的阶必须整除群的阶。 第十二章：子群与陪集 深入研究子群的判定法则，以及由元素生成的循环群（Cyclic Groups）。我们将系统地介绍陪集（Cosets）的概念，区分左陪集与右陪集，并以此为基础，对拉格朗日定理给出更具洞察力的证明。正规子群（Normal Subgroups）的定义与判定，是理解商群结构的关键前提。 第十三章：同态、同构与群的分类 群同态（Homomorphisms）是连接不同群结构的桥梁。本书详细讲解同态的基本性质，如核（Kernel）和像（Image）的性质，并证明第一同构定理（First Isomorphism Theorem），这是抽象代数中最重要的结构定理之一。同构（Isomorphism）的概念用于区分结构相同的群。循环群的完整分类（所有循环群都同构于 $mathbb{Z}$ 或 $mathbb{Z}_n$）将被详细证明。 第十四章：群作用与Sylow定理 群作用（Group Actions）提供了一种将抽象群与具体集合联系起来的有力工具。我们将利用轨道-稳定子定理（Orbit-Stabilizer Theorem）来计算相关结构。本书的重头戏之一是Sylow定理的完整陈述与证明。Sylow三定理（关于最大 $p$-子群的存在性和数量）是分析有限群结构、特别是判断非阿贝尔群性质的关键。我们将展示如何运用Sylow定理来确定某些阶的群是否是唯一确定的（例如，阶为 $p^2$ 的群的分类）。 第十五章：直积与有限生成阿贝尔群 探讨群的组合——直积（Direct Products），包括内直积和外直积。我们将分析有限生成阿贝尔群的结构定理（The Fundamental Theorem of Finitely Generated Abelian Groups），证明任何此类群都同构于若干个循环群的直和（$mathbb{Z}_{n_1} oplus mathbb{Z}_{n_2} oplus cdots$）。 第二部分：环论的构造与结构 本书的第二部分将视角转向更复杂的结构——环（Rings）。环在加法上构成阿贝尔群，在乘法上则需要满足分配律。 第二十一章：环的基本概念与例子 环的定义、零因子（Zero Divisors）、整环（Integral Domains）的引入。本书详尽分析具有重要意义的例子，如整数环 $mathbb{Z}$、多项式环 $R[x]$，以及矩阵环 $M_n(R)$。单位（Units）的概念与环的构造紧密相关。 第二十二章：特殊类型的环 深入研究具有特定乘法性质的环：域（Fields）、可除环（Division Rings）。我们阐述了整环成为域的条件，即分数域（Field of Quotients）的构造过程，以 $mathbb{Z}$ 构造 $mathbb{Q}$ 为核心案例。 第二十三章：子环、理想与商环 子环的定义与性质。理想（Ideals）作为环中推广了“正规子群”概念的特殊子集，是理解环结构的基石。我们将定义主理想（Principal Ideals）和极大理想（Maximal Ideals），并证明商环（Quotient Rings）的构造。第一同构定理在环论中的对应形式将被严格证明。 第二十四章：环同态与素理想 环同态的性质，及其与核和像的关系。素理想（Prime Ideals）与零因子的关系，极大理想与域的联系（极大理想恰好是商环为域的理想）。本书将详细探讨这些理想之间的层次关系。 第二十五章：整环中的特殊结构 本书随后转向研究具有良好除法性质的整环。唯一分解整环（Unique Factorization Domains, UFDs）的定义（例如，每个元素都可以唯一地分解为素元素或不可约元素）。主理想整环（Principal Ideal Domains, PIDs）是UFD的特例（例如 $mathbb{Z}$ 和多项式环 $F[x]$）。最后介绍欧几里得整环（Euclidean Domains）作为PIDs的最强结构，并展示欧几里得算法在PIDs中的推广应用。 第三部分：域与伽罗瓦理论的序曲 本书的最后部分着眼于域的扩张，为更高级的伽罗瓦理论奠定基础。 第三十一章：域扩张 域 $E$ 作为域 $F$ 的扩张 $E/F$ 的概念。扩张的次数 $[E:F]$。代数扩张（Algebraic Extensions）与超越扩张（Transcendental Extensions）。我们重点研究代数数与超越数的基本性质，并提供李昂维尔数（Liouville Numbers）作为超越数的构造性实例。 第三十二章：代数闭包与有限域 代数闭包（Algebraic Closure）的存在性证明。域的特征（Characteristic）的概念。对有限域（Finite Fields）的结构进行详尽分析，证明任何有限域的阶必然是素数的幂 $p^n$，并证明对于任意 $p^n$ 阶的域都存在一个唯一的（同构意义下）域，即伽罗瓦域 $mathrm{GF}(p^n)$。 第三十三章：多项式环与不可约性 在域 $F$ 上的多项式环 $F[x]$ 中，不可约多项式的概念。使用爱森斯坦判别法（Eisenstein's Criterion）来判断多项式的不可约性。考察商环 $F[x] / langle p(x) angle$ 的结构，并证明如果 $p(x)$ 是不可约的，则该商环是一个域。 本书内容详实，旨在为数学、物理及计算机科学中的高级研究者打下坚实的抽象代数基础，并提供足够的例证和练习来巩固理论理解。本书的重点在于清晰地阐释结构如何从公理中自然地涌现出来。

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