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出版者:Birkhäuser Boston

作者:Anthony W. Knapp

出品人:

页数:1176

译者:

出版时间:2005-8-9

价格:USD 109.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780817644079

丛书系列:

图书标签:

• 实分析
• 数学分析
• 高等数学
• 微积分
• 集合论
• 数学
• 基础数学
• 分析学
• 数学教材
• 学术著作

经典数学著作：《微积分基础与高等数学选讲》内容简介 本书旨在为读者提供一套全面且深入的数学分析基础训练，涵盖从初级微积分概念到更高级分析理论的构建。全书分为两部分，结构清晰，逻辑严谨，适合作为高等院校数学专业本科生及研究生早期课程的教材，同时也为准备深入研究数学理论的自学者提供坚实的基础。 第一部分：微积分基础 本部分旨在巩固和深化读者对微积分核心概念的理解，重点在于严谨性与直觉的平衡。我们不再仅仅停留在计算技巧的层面，而是深入探讨函数、极限、连续性、导数和积分背后的严格定义与基本性质。 第一章：预备知识与实数系统 本章首先回顾了集合论、逻辑推理的基础知识，为后续的严格证明做铺垫。核心内容聚焦于实数的构造及其完备性。我们详细阐述了有理数域的构造，随后引入实数的戴德金分割或柯西序列的定义，强调了实数系统（$mathbb{R}$）作为唯一（至同构意义下）完备有序场的地位。对上确界（最小上界）和下确界（最大下界）原理的详尽讨论，构成了后续所有收敛性论证的基石。 第二章：序列与极限 本章是分析学的核心起点。我们严格定义了数列的极限，并运用 $epsilon-N$ 语言对极限的定义进行了反复的练习与应用。重点讨论了单调收敛定理、柯西收敛准则（Cauchy Criterion）。此外，我们引入了子数列的概念，并证明了博尔扎诺-魏尔斯特拉斯定理（Bolzano-Weierstrass Theorem），该定理是处理有界序列性质的关键工具。对聚点（Limit Points）和极限点的区分与分析，也在此章得到细致阐述。 第三章：函数与连续性 在掌握了序列极限后，本章将讨论函数的极限。我们区分了函数在某一点的极限与在无穷远处的极限。连续性被定义为函数在每一点的极限等于函数值，并对 $epsilon-delta$ 定义进行了彻底的剖析。关键定理包括介值定理（Intermediate Value Theorem）和极值定理（Extreme Value Theorem），这些定理展示了连续函数在闭区间上的基本性质。本章还引入了均匀连续性（Uniform Continuity），并阐明了其与普通连续性的重要区别，特别是对于非紧区间上的函数而言。 第四章：导数与微分 导数的定义被提升到极限的严格框架内，讨论了微分的几何意义和物理意义。本章的重心在于微分学基本定理的证明，包括费马定理（Fermat's Theorem）、罗尔定理（Rolle's Theorem）、介值定理（Mean Value Theorem）及其推论。我们详细分析了导数的保号性与函数单调性的关系，并引出了泰勒定理（Taylor's Theorem）及其拉格朗日和佩亚诺余项形式，为函数局部近似提供了精确的工具。 第五章：黎曼积分 本章引入了定积分的概念，首先通过上和（Upper Sum）与下和（Lower Sum）来构造达布积分（Darboux Sums），最终定义黎曼可积性。讨论了可积函数的类别，例如连续函数和单调函数的可积性。随后，我们证明了微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus），该定理建立了微分与积分之间的深刻联系。本章还探讨了积分的性质，包括积分的中值定理，并对积分的定义进行了推广，为下一部分的不定积分和广义积分做准备。 第二部分：高等数学选讲 第二部分将分析学的视角从 $mathbb{R}$ 拓展到更抽象的空间，并引入更强大的工具来处理复杂函数序列和积分。 第六章：序列与函数的收敛性 本章关注函数序列和函数列的收敛性。我们将收敛概念扩展到点态收敛（Pointwise Convergence）和均匀收敛（Uniform Convergence）。均匀收敛是本章的重点，我们证明了级数一致收敛判别法（如魏尔斯特拉斯 M 检验法）。至关重要的是，我们严格证明了均匀收敛性如何保持连续性、可积性和可微性，例如，均匀极限的连续性保留定理。对幂级数（Power Series）的收敛半径和性质的讨论也在此章完成。 第七章：多变量函数与偏导数 本章将分析基础推广到 $mathbb{R}^n$ 空间。我们首先回顾 $mathbb{R}^n$ 上的拓扑概念，如开集、闭集和紧集。讨论多变量函数的极限和连续性。偏导数的概念被引入，随后是方向导数和梯度向量。高阶偏导数的讨论引出了 Schwarz 定理（混合偏导数等价性）的证明。多变量函数的极值问题，如使用 Hessian 矩阵进行二阶检验，也被详细介绍。 第八章：多变量函数的微分——微分形式 本章从更抽象的角度处理多变量微分，引入了线性映射和雅可比矩阵（Jacobian Matrix）。关键在于隐函数定理（Implicit Function Theorem）和反函数定理（Inverse Function Theorem）的叙述与证明，这些定理是理解多变量函数局部可逆性的基础。隐函数定理的证明依赖于对线性近似的精确控制。 第九章：多重积分与坐标变换 本章侧重于体积和面积的计算，即二重积分和三重积分。我们首先定义了 $mathbb{R}^2$ 和 $mathbb{R}^3$ 上的黎曼积分。核心内容是积分的累次计算（Fubini 定理的特例），以及坐标系变换（如极坐标、柱坐标和球坐标）对积分的简化作用。对这些变换下雅可比行列式的引入和计算，是掌握多重积分技巧的关键。 第十章：线积分与格林定理 本章开始涉及多元微积分的高级工具，主要讨论向量场上的积分。我们定义了曲线积分（线积分），并讨论了路径依赖性问题。随后引入保守向量场和势函数（Potential Function）的概念。最后，我们详细阐述了二维空间中的格林公式（Green's Theorem），该公式将平面区域上的线积分与该区域上的二重积分联系起来，是向量微积分（矢量分析）的基石之一。 全书的特点在于始终坚持对定义和定理的严格证明，同时辅以大量的几何直觉和计算实例，确保读者不仅“知道如何做”，更“理解为什么”。每一章末尾都配有分级练习题，以巩固所学知识。

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