Galois Modules in Arithmetic pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Erez, Boas

出品人:

页数:300

译者:

出版时间:

价格:22.01

装帧:Pap

isbn号码:9783540570769

丛书系列:

图书标签:

• Galois theory
• Arithmetic
• Number theory
• Algebraic number theory
• Modules
• Field theory
• Algebra
• Mathematics
• Abstract algebra
• Group theory

好的，这是一本关于“Galois 模”在数论中应用的图书的详细简介，不包含您提及的书籍《Galois Modules in Arithmetic》的具体内容，侧重于该领域其他核心主题的介绍。 --- 书名：代数数论中的结构与应用：从类域论到算术几何的桥梁 图书简介 本书旨在为高等代数、代数数论及相关领域的读者提供一个深入且全面的视角，探索现代代数结构在数论问题中的核心作用。全书内容围绕代数结构（特别是群论、环论和模论的特定分支）如何被应用于解决经典数论中的难题展开，重点关注从局部到全局的结构分析，以及这些结构如何塑造了我们的算术认知。 本书的构建遵循一个逻辑递进的路径：从扎实的代数基础出发，逐步过渡到复杂的数论构造，最终触及前沿的研究领域。全书共分为七个主要部分，旨在全面覆盖代数数论中的关键概念，并展示它们在数论实践中的强大威力。 第一部分：基础代数回顾与数论的交汇 本部分首先回顾了群论、环论和域论中与代数数论紧密相关的核心概念，特别是关于有限域扩张（Field Extensions）的结构。我们深入探讨了伽罗瓦群（Galois Groups）的定义、性质及其在域扩张中的作用。不同于仅仅停留在理论层面，本章强调了这些代数结构如何具体地“编码”了数论信息，例如通过判别式（Discriminants）和范（Norms）的计算。我们将详细分析伽罗瓦群的表示理论的初步概念，为后续深入探讨模结构奠定基础。本部分着重于清晰地建立代数结构与数论对象（如整数环）之间的对应关系。 第二部分：局部场论：结构清晰的基石 局部场，特别是 $p$ 进数域 $mathbb{Q}_p$ 及其整数环 $mathbb{Z}_p$，是现代数论的基石。本部分将详细介绍这些空间的拓扑结构、完备性性质以及它们在解析数论中的重要性。我们将深入探讨离散赋值（Discrete Valuations）的性质，以及幂级数展开、Teichmüller 升（Teichmüller Lifts）等关键工具。局部伽罗瓦群的结构是本节的核心。我们分析了局部扩张的惯性群（Inertia Groups）和完全分歧群（Total Ramification Groups）的结构，展示了它们如何精确描述了 $mathbb{Z}_p$ 上的扩张行为。特别是对单位群（The Unit Group）的研究，为理解后续更复杂的模结构提供了必要的经验基础。 第三部分：代数整数环与理想论 本部分聚焦于数域中的代数整数环 $O_K$。我们将详细分析在域扩张下，理想如何分解（Decomposition of Ideals）。通过引入素理想（Prime Ideals）、理想的因子化（Factorization）和关联的概念，我们揭示了 $O_K$ 作为一个 Dedekind 环的结构特性。本章将详述理想类的概念，特别是理想类群（Ideal Class Groups）的有限性定理（Finiteness Theorem）的背景和意义，探讨了类数（Class Number）在衡量代数数域“非唯一因子化”程度上的作用。 第四部分：类域论的经典框架 类域论是代数数论中最辉煌的成就之一，它连接了局部和全局的算术信息。本部分将系统地介绍班（Class Field Theory）的核心思想。我们将详细探讨 Artins 局部-全局原理（Local-Global Principle）在类域论中的体现，重点分析了局部阿廷符号（Local Artin Symbol）的构造及其性质。随后，我们将转向全局情况，构建了最大阿贝尔扩张（Maximal Abelian Extension）的伽罗瓦群结构，即绝对伽罗瓦群的阿贝尔化。本部分将详细阐述主定理（Main Theorem of Class Field Theory），解释了如何通过局部 $mathbb{Z}_p$ 上的共轭作用来完全描述域扩张的结构。 第五部分：超越阿贝尔扩张：非阿贝尔伽罗瓦理论 当扩张不再是阿贝尔扩张时，伽罗瓦群的结构变得更为复杂，这要求我们使用更强大的代数工具。本部分转向非阿贝尔扩张的研究。我们将介绍表示论在非阿贝尔伽罗瓦群分析中的应用，探讨如何通过 Clifford 代数和更高级的张量积来描述这些结构。本章着重于如何利用代数群（Algebraic Groups）的语言来研究非阿贝尔扩张的局部性质，并分析了如何使用其特征标（Characters）来提取关于扩张分支（Branching）和惯性作用的信息。 第六部分：算术几何的代数基础 本部分将代数数论的工具延伸至算术几何的领域。我们将介绍由 Arakelov 引入的“Arakelov 几何”的概念，这是一个将经典的代数几何结构与分析方法（如 $mathrm{p}$-adic 解析）相结合的框架。重点讨论了 Arakelov 理论中的局部高度（Local Heights）和全局高度（Global Heights）的构造，这些高度在解决丢番图方程（Diophantine Equations）的有效性问题中起着至关重要的作用。我们将分析如何使用这些高度函数来度量代数簇上的有理点集。 第七部分：模论视角下的算术结构 本部分探讨了特定模结构在数论中的实际应用，这是理解代数对象如何“作用于”数论空间的关键。我们将分析在有限域扩张下的整数环上建立的模块结构，并考察其在模表示理论中的意义。这包括对域扩张的理想结构施加的群作用的深入分析，以及这些作用如何揭示出数域的算术性质。我们将考察在特定同调序列中出现的模理论工具，展示它们如何被用来计算或约束某些代数不变量。本部分侧重于代数结构作为研究工具的内在机制，而非直接计算特定模本身。 目标读者 本书适合于数学系研究生、博士后研究人员以及从事代数数论、代数几何或相关领域的专业数学家。读者应具备扎实的抽象代数和复分析（或初步的拓扑学）基础。本书试图在提供严谨数学论证的同时，也为读者勾勒出代数结构在整个数论图景中扮演的关键角色。通过对不同层级结构的系统性梳理，本书旨在帮助读者建立起从局部到全局、从经典到现代的数论思维框架。

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