Algebraic Function Fields And Codes pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Stichtenoth, Henning

出品人:

页数:270

译者:

出版时间:

价格:$59.95

装帧:Pap

isbn号码:9783540564898

丛书系列:

图书标签:

• Algebraic Function Fields
• Coding Theory
• Finite Fields
• Algebraic Geometry
• Number Theory
• Error-Correcting Codes
• Polynomials
• Algebra
• Mathematics
• Cryptography

深入探索数论、几何与密码学的交汇点：一本关于椭圆曲线、模形式与算术几何的著作 书名（假定，为突出内容差异）： 《超越代数函数域：椭圆曲线、L-函数与算术几何前沿》 --- 内容简介： 本书旨在为高级研究生和研究人员提供一个全面而深入的视角，探讨现代代数几何与数论交叉领域的前沿课题，特别是围绕椭圆曲线、高维模形式（Modular Forms）的理论构造，以及它们在计算数学和密码学中的应用。本书将视角从传统的函数域理论（如代数函数域上的黎曼-罗赫定理及其应用）提升至更具挑战性的、基于数域上的代数几何结构。 第一部分：椭圆曲线的代数与算术基础 本部分聚焦于椭圆曲线（Elliptic Curves）——定义在数域或有限域上的光滑、射影的代数簇——的精细结构。 第1章：椭圆曲线的经典构造与模空间 我们将从椭圆曲线的局部构造出发，详细阐述其在 $mathbb{C}$ 上的复解析结构，即作为复环面 $mathbb{C}/Lambda$ 的描述。随后，本书将过渡到代数层面，通过Weierstrass标准形式，讨论曲线上的群律的严格推导。重点将放在 $j$-不变量（$j$-invariant）上，作为模空间 $mathcal{M}_{1,1}$ 的坐标，并探讨模空间 $mathcal{M}_{1,1}$ 的几何结构，即其如何通过模函数（Modular Functions）进行参数化。 第2章：有理点群与Mordell-Weil定理 本章深入研究椭圆曲线上的有理点集 $E(mathbb{Q})$ 的群结构。我们将详细阐述Mordell-Weil定理的现代证明框架，即 $E(mathbb{Q})$ 是一个有限生成阿贝尔群。核心内容包括：如何构造Tate-Shafarevich群（Sha/ $E(mathbb{Q})$）及其在零阶猜想中的地位。我们还将介绍Weil配对（Weil Pairing）和Tate对（Tate Pairing）在研究曲线上的点阶和构造理想类群时的作用。 第3章：Hasse-Weil L-函数与黎曼猜想的类比 本章将椭圆曲线的算术信息与其分析对象的联系——Hasse-Weil L-函数 $L(E, s)$——作为核心。我们将严格定义有限域 $mathbb{F}_q$ 上的点计数，并推导出Hasse-Weil不等式。随后，我们将介绍该L-函数的欧拉乘积展开，并讨论其满足的功能方程（Functional Equation）。我们将深入探讨Birch和Swinnerton-Dyer（BSD）猜想的椭圆曲线版本，特别是Rank的预测，以及通过Mazur-Tate-Teitelbaum等解析方法对该猜想的初步验证。 第二部分：模形式与L-函数的统一 本部分将视角从单一椭圆曲线扩展到更一般的模形式理论，这是连接代数几何、表示论和数论的桥梁。 第4章：模形式的经典理论与拉马努金的遗产 本章回顾模群 $ ext{SL}_2(mathbb{Z})$ 及其作用于上半平面的模形式的定义。重点介绍Eisenstein级数和尖点形式（Cusp Forms）的性质，以及它们如何通过Petersson内积形成希尔伯特空间。我们将探讨拉马努金 $ au$-函数，并将其与模形式的Fourier系数联系起来。 第5章：Hecke代数与Eichler-Shimura同构 本章是理论的核心。我们将详细构建Hecke代数 $mathbb{T}$，并分析其与模形式空间上Hecke算子作用的代数结构。关键在于Eichler-Shimura同构，它建立了模块化形式空间与特定层（Sheaves）的范畴之间的联系。我们将展示如何使用Hecke特征值来计算数域上的Galois表示，这是Taniyama-Shimura-Weil猜想（现为模定理）的基础。 第6章：高维情况：自守形式与Langlands纲领的初步介绍 本章将内容拓展至更一般的自守表示（Automorphic Representations）。我们将简要介绍General Linear Group $GL_n$ 上的自守形式，以及它们如何通过Langlands函子（Functoriality）与Galois表示相关联。本书将以“函数域”的视角对比“数域”上的情形，说明函数域上的情况（如Drinfeld-Lagharias理论）如何为数域上的复杂问题提供了启发和模型。 第三部分：算术几何中的应用与前沿 本部分探讨上述理论在解决具体算术问题和现代密码学中的应用。 第7章：局部-全局原理与Skolem-Mahler-Lech定理 本章讨论代数数论中的“局部到全局”思想的体现。我们将研究$p$-adic分析在椭圆曲线上的应用，特别是定义 $p$-adic L-函数。接着，我们将详细阐述Skolem-Mahler-Lech定理，该定理精确描述了代数数序列中周期性项的集合，并将其应用于分析椭圆曲线上无穷阶点的结构。 第8章：构造性密码学与基于困难问题的构造 本章将理论成果转化为计算应用。我们将专注于基于离散对数问题（DLP）的困难性假设。重点讨论基于Weil配对的高效密钥交换协议（如Boneh-Lynn-Shacham, BLS协议），这些协议直接依赖于椭圆曲线群上的高阶配对运算。此外，还将探讨基于更高阶代数结构（如超椭圆曲线或Faltings模）的潜在抗量子密码学方案的理论基础，尽管这些方案在实践中仍面临挑战。 总结： 本书摒弃了对代数函数域几何这一成熟领域的详尽描述，转而聚焦于数域上代数簇——特别是椭圆曲线——的算术性质。它要求读者具备扎实的代数几何、代数数论和复分析基础，致力于构建一个清晰、深入的框架，以理解现代数论研究中的核心工具：模形式、L-函数以及它们在统一Galois表示与自守表示中的强大力量。本书的最终目标是使读者能够接触到当前研究的最前沿，为进一步深入研究BSD猜想或Langlands纲领的特定实例奠定坚实的基础。

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