Introduction to Hilbert Spaces with Applications pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Academic Press

作者:Lokenath Debnath

出品人:

页数:600

译者:

出版时间:2005-09-29

价格:USD 97.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780122084386

丛书系列:

图书标签:

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《希尔伯特空间导论及应用》 本书为一本介绍希尔伯特空间理论及其在各个领域中广泛应用的入门级教材。希尔伯特空间作为函数空间中的一个重要分支，是现代数学，特别是泛函分析的核心内容之一。它提供了一个强大的框架，用于研究无穷维向量空间，并将代数和几何的概念相结合，为解决许多复杂的数学和物理问题提供了有力的工具。 本书内容涵盖了希尔伯特空间的基础理论，从向量空间的基本概念出发，逐步引入内积空间、完备性、正交性等关键概念。读者将深入了解希尔伯特空间的定义、性质以及其重要的结构特征，例如闭子空间、投影算子等。 理论讲解部分，本书详细阐述了希尔伯特空间中的有界线性算子，这是理解和应用希尔伯特空间的关键。读者将学习算子的定义、性质、谱理论，以及像自伴算子、酉算子等特殊算子的特性。特别是谱理论，它揭示了算子在希尔伯特空间中的“行为模式”，为理解微分方程、量子力学等领域的问题奠定了理论基础。 除了理论框架，本书的另一大亮点在于其丰富的应用实例。我们将看到希尔伯特空间如何在偏微分方程的求解中扮演重要角色，如何用于分析和处理无限维系统，以及在信号处理、图像分析等实际应用中展现其强大的能力。 本书的结构安排如下： 第一部分：基本概念与理论框架 第一章：向量空间回顾 本章将简要回顾线性代数中的基本概念，包括向量空间、子空间、线性无关、基、维数等，为后续深入学习希尔伯特空间打下坚实基础。 第二章：内积空间 引入内积的概念，探讨内积空间的定义、性质及其与距离、角度等几何概念的联系。学习柯西-施瓦茨不等式等基本定理。 第三章：完备性与希尔伯特空间 深入理解完备性的概念，以及完备内积空间——希尔伯特空间的定义。分析希尔伯特空间的结构特性，为后续讨论算子及其应用奠定基础。 第四章：闭子空间与投影 研究希尔伯特空间中的闭子空间，并介绍正交投影定理。理解投影算子在希尔伯特空间中的重要作用，以及如何利用正交性简化问题。 第二部分：有界线性算子与谱理论 第五章：有界线性算子 定义有界线性算子，研究其基本性质，包括线性、连续性、范数等。探讨算子代数和算子序列的概念。 第六章：有界线性算子的范数 详细分析有界线性算子的范数，理解其几何意义和计算方法。研究算子范数与距离的关系。 第七章：紧算子 介绍紧算子的概念及其性质。分析紧算子在无穷维空间中的重要性，以及其与有限维空间算子的区别。 第八章：自伴算子与酉算子 深入研究自伴算子和酉算子。理解它们的性质、特征值和特征向量，以及它们在物理学和工程学中的应用。 第九章：谱理论初步 引入算子谱的概念，探讨其定义、性质以及谱分解。这是理解算子行为的关键，也是求解微分方程和研究量子力学的基础。 第三部分：应用与进阶 第十章：偏微分方程中的应用 展示希尔伯特空间如何用于求解重要的偏微分方程，例如拉普拉斯方程、波动方程等。探讨弱解和能量方法。 第十一章：傅里叶分析与信号处理 将傅里叶分析置于希尔伯特空间的框架下进行考察，深入理解傅里叶级数和傅里叶变换的本质。探讨其在信号处理、图像压缩等领域的应用。 第十二章：量子力学导论 介绍量子力学中状态空间与希尔伯特空间的对应关系。阐述算符在量子力学中的意义，以及如何利用谱理论求解量子系统的演化。 第十三章：其他应用领域 简要介绍希尔伯特空间在统计学、机器学习、逼近论等其他领域的应用，展现其普适性和强大的解决问题的能力。 本书的写作风格力求严谨而清晰，理论推导过程详细，并辅以大量的例题和习题，帮助读者巩固所学知识。我们希望通过本书，能够帮助广大读者建立起对希尔伯特空间坚实的理论基础，并激发他们将其应用于解决实际问题的热情。 无论您是数学专业的学生，物理学爱好者，还是工程师，希望在您的学术旅程或专业实践中，本书都能成为一本得力的助手。

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从实用性的角度来看，这本书的广度令人惊讶。尽管核心聚焦于抽象的向量空间理论，但作者非常高明地将这些理论的触角伸向了多个应用领域。例如，它在介绍紧算子（Compact Operators）时，立即关联到了其在偏微分方程中的谱理论应用，而非仅仅停留在抽象的拓扑学框架内；同时，在讨论无限维空间中的傅里叶级数时，又无缝衔接到量子力学中状态空间的描述。这种跨学科的视野，对于那些希望将纯数学知识应用于物理、工程或数据科学领域的读者来说，简直是如获至宝。它避免了将应用部分草草了事地放在书的末尾，而是将应用作为理论发展的内在驱动力来呈现。这本书成功地证明了，最抽象的数学结构，往往蕴含着最坚实的应用基础，让人对未来深入研究这些领域充满了信心和清晰的方向感。

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坦白说，我最初是被它后半部分的应用案例所吸引的，但深入阅读后才发现，作者在基础概念的构建上倾注了异乎寻常的耐心。举例来说，对于线性算子的定义和性质的阐述，它并没有直接跳到抽象的泛函分析语言，而是巧妙地从有限维欧几里得空间中的矩阵运算入手，逐步引入内积空间的概念，然后才水到渠成地过渡到完备性——这个在理论中至关重要的步骤。这种循序渐进的教学法，极大地降低了初学者的门槛。我记得自己曾在其他教材中被“稠密性”和“完备性”的概念卡住很久，但在这本书里，作者通过一系列精心设计的几何直觉图示（尽管是文字描述的，但意境十足），成功地将这些抽象概念具象化了。我感觉作者的教学目标不是简单地“传授知识”，而是“培养直觉”，这对于一个想真正掌握泛函分析工具的读者来说，价值无可估量。

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这本书在习题设计上的用心程度，简直是教科书级别的典范。我通常习惯于先阅读理论，然后尝试解决配套习题来巩固。但这里的习题设计逻辑非常精妙，它们大致分为三类：第一类是直接检验对核心定义的理解，数量适中，作为“热身”；第二类是要求读者自行推导关键定理的中间步骤或特殊情况，这部分是真正锻炼“肌肉”的；而最让我印象深刻的是第三类——“概念延伸与边界探索”。这些习题通常不会直接给出明确的结论引导，而是抛出一个稍微偏离主线但又紧密相关的开放性问题，鼓励读者去思考理论的适用范围和潜在的改进方向。我花费了大量时间在这些“开放题”上，虽然过程充满挫折，但每当攻克一个，那种思维被拉伸的感觉，是单纯听讲座或看证明所无法比拟的。这使得这本书成为了我案头必备的“问题集”，而非仅仅是“知识点集合”。

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这本书的封面设计着实抓人眼球，那种深沉的藏蓝色调，配上简洁有力的银色字体，散发出一种古典与现代交织的学术气息。我通常对数学专著的封面不太抱太大期望，但这一本明显是用心了。翻开扉页，装帧质量也令人满意，纸张的触感厚实而细腻，不是那种廉价的影印纸，这对于需要反复查阅的参考书来说至关重要。更值得称赞的是其排版布局，字体选择既清晰易读，又保持了足够的专业感，页边距处理得当，留出了足够的空间供读者进行批注和划重点，这在深度学习复杂的数学概念时是极为体贴的设计。即便是第一次接触这个领域，光是看着这本实体书摆在书架上，就已经能感受到它所承载的知识的厚重与严谨。它不像有些教材那样堆砌公式，而是力求在视觉上营造一种通透、逻辑严密的阅读体验，让人在进入内容之前，就已经对接下来的探索充满了敬畏与期待。这本书的物理呈现本身，就是对数学美学的一种致敬。

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与其他侧重纯理论推导的书籍相比，这本书的一个显著特点在于其对历史背景和不同数学学派观点的穿插介绍。它不是冷冰冰的定理堆砌，而是将这些理论的诞生置于一个动态的、充满争议的历史场景中。比如在讨论测度与积分理论的联系时，作者花了相当的篇幅去对比Lebesgue和Riemann积分的局限性，并引用了早期数学家的通信片段，这使得原本枯燥的定义变得鲜活起来。这种叙事手法极大地增强了阅读的沉浸感，仿佛不是在阅读一本教科书，而是在跟随一位知识渊博的向导，探索数学思想的演变历程。对我个人而言，理解一个概念的“为什么”比单纯记住“是什么”要重要得多，而这本书恰恰满足了这种深层次的好奇心。它教会我如何像一个真正的数学史学家一样去审视那些被奉为圭臬的定理。

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nice book, 尤其讲self-adjoint operator的部分恰好最近用得着

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水平是本科低年级参考书

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