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出版者:Ace Academics Inc

作者:Ace Academics Inc 编

出品人:

页数:384

译者:

出版时间:

价格:$ 14.63

装帧:Pap

isbn号码:9781881374909

丛书系列:

图书标签:

• Geometry
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几何概念的深度探索与应用：突破思维定势的数学之旅 书籍名称： 《几何之境：从欧几里得到非欧几何的蜕变与构造》 书籍简介： 本书旨在为广大学生、数学爱好者以及对空间结构与逻辑推理抱有浓厚兴趣的读者，提供一套全面、深入且富有启发性的几何学知识体系。我们不满足于仅停留在平面图形和基础立体几何的表面，而是带领读者穿越数千年的数学演进史，探究几何学的核心思想、关键理论的诞生背景，以及它在现代科学与工程领域中的前沿应用。 本书的结构设计力求逻辑严谨而又不失阅读的趣味性。内容分为五个宏大板块，层层递进，引导读者构建起一个坚实的几何认知框架。 --- 第一部分：欧氏几何的基石与美学重塑 (Foundations and Aesthetic of Euclidean Geometry) 本部分将从根本上审视我们最为熟悉的欧几里得几何体系。我们不会简单地重复基础的定义和公理，而是深入剖析这些公理体系的内在一致性、完备性以及其历史局限性。 核心内容聚焦于： 1. 公理体系的哲学根源： 探讨“点、线、面”的抽象化过程，以及欧几里得《几何原本》如何确立了公理化方法的典范。我们将详细解析前四条公理的深刻含义，并着重分析第五公设（平行公设）在数学史上引发的巨大争议和后续的数学革命。 2. 欧氏几何的深度结构： 细致阐述平面几何中的关键定理，如欧拉线、九点圆、塞瓦定理、孟奈劳斯定理的几何推导过程。重点将放在超越标准教科书的复杂构造问题上，例如如何用尺规作图严格证明某些几何构造的唯一性或不可能性。 3. 立体几何的拓展与解析： 深入研究多面体的欧拉公式及其拓扑学意义。我们还将介绍三视图、截面分析在工程制图中的实际应用，并探讨正多面体（柏拉图立体）的对称性及其在晶体学中的基础关联。 --- 第二部分：超越平面的维度：解析几何的革命 (The Analytical Revolution: Bridging Algebra and Space) 本部分是连接代数与几何的桥梁，解析几何的发明彻底改变了我们研究形状的方式，使其从纯粹的直观想象转变为精确的代数运算。 核心内容聚焦于： 1. 笛卡尔坐标系的建立与应用： 详细讲解如何将抽象的几何图形转化为代数方程，以及反之亦然。重点分析直线、圆锥曲线（抛物线、椭圆、双曲线）的参数方程与标准方程的推导，以及如何通过配方法确定其几何特征。 2. 高等曲线的代数描述： 超越圆锥曲线，本书将介绍三次、四次曲线（如笛卡尔心形线、纽康蜗牛线）的参数化表示，并探讨它们在物理学（如摆的运动）中的潜在模型价值。 3. 三维空间中的向量代数： 引入空间向量的概念，解释点积和叉积在计算距离、角度、投影以及平面法向量中的核心作用。我们将展示如何使用向量运算简洁地解决复杂的空间位置关系问题，例如两异面直线的最短距离计算。 --- 第三部分：非欧几何的诞生与宇宙观的颠覆 (The Birth of Non-Euclidean Geometries and the Conceptual Upheaval) 这是全书最富思想深度的部分。它揭示了当放弃第五公设时，数学空间会呈现出何种惊人的形态，以及这对现代物理学基础的奠基作用。 核心内容聚焦于： 1. 罗巴切夫斯基几何（双曲几何）： 详细阐述罗氏几何中“平行线有无数条”的假设如何重构三角形内角和定理（内角和恒小于180°）。我们将用庞加莱圆盘模型和克莱因模型直观展示双曲空间的扭曲性质，并解释其在复杂网络理论中的应用潜力。 2. 黎曼几何（椭圆几何）： 分析球面几何（黎曼几何的特例）中“平行线不存在”的特性，即任意两条线段（大圆弧）都相交。探讨其“内角和恒大于180°”的性质，并联系地理学和天文学中的实际度量问题。 3. 几何学的独立性与一致性： 深入讨论高斯、波雅伊和洛巴切夫斯基在证明非欧几何与欧氏几何相互独立上的贡献。理解不同几何体系的有效性并不依赖于它们是否“描述了我们所见的世界”，而是取决于其内部逻辑的一致性。 --- 第四部分：几何学的拓扑学转向 (The Topological Turn: Geometry Without Measurement) 拓扑学是现代几何学的核心分支之一，它关注的是在连续变形（拉伸、弯曲，但不允许撕裂或粘合）下保持不变的性质，将几何学从度量和角度的束缚中解放出来。 核心内容聚焦于： 1. 拓扑学的基本概念： 介绍邻域、连续函数、开集与闭集的严格定义。我们将用直观的例子（如甜甜圈与咖啡杯的同胚性）解释拓扑不变性的重要性。 2. 欧拉示性数与图论基础： 详细计算复杂曲面（如球面、环面、双环面）的欧拉示性数（$chi$），并阐述这一数字如何作为区分不同拓扑空间的强有力工具。引入基础的图论，探讨柯尼斯堡七桥问题及其背后的欧拉路径理论。 3. 流形的概念： 简要介绍流形作为局部具有欧几里得空间结构的拓扑空间的概念，这是连接微分几何、广义相对论和数据科学的关键抽象工具。 --- 第五部分：现代应用与前沿展望 (Modern Applications and Future Frontiers) 本书的最后一部分将目光投向几何学在当代科学与技术中的实际应用，展示几何思维如何解决现实世界中的复杂问题。 核心内容聚焦于： 1. 微分几何与广义相对论： 解释测地线（空间中两点间的最短路径）在弯曲时空中的意义。简要介绍黎曼曲率张量如何描述时空的弯曲程度，这是理解引力本质的关键。 2. 计算几何与数据结构： 探讨计算几何在计算机图形学（CG）中的核心地位，如多边形剖分、凸包算法、最近邻搜索（K-D树）等。这些技术是现代三维建模、游戏引擎和机器人路径规划的基础。 3. 离散几何与优化问题： 分析如何利用几何原理解决组合优化问题，如包装问题（Packing Problems）、旅行商问题（TSP）的几何松弛解法。探讨离散微分几何在网格化处理和有限元分析中的作用。 读者对象： 本书适合具有扎实高中几何基础，渴望深入理解数学结构、探索几何学思维深度，并对数学史和前沿应用感兴趣的读者。它不仅是一本参考手册，更是一次对人类逻辑和空间想象力极限的探索之旅。阅读本书，您将不再把几何视为一套孤立的定理集合，而是理解其作为一种深刻的、不断演化的数学语言的本质。

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