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出版者:Ace Academics Inc

作者:Ace Academics Inc 编

出品人:

页数:384

译者:

出版时间:

价格:$ 14.63

装帧:Pap

isbn号码:9781881374893

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高等代数与三角函数：掌握核心概念与解题技巧 本书旨在为寻求深入理解高等代数和三角函数基础概念，并希望在相关课程或考试中取得优异成绩的学生提供一套全面、系统且高度实用的学习资源。 本书并非针对特定教材或考试大纲编写，而是聚焦于构建坚实的数学思维框架，确保学习者能够灵活应对不同形式的题目和挑战。 第一部分：高等代数的坚实基础 本部分致力于夯实学习者在函数、方程和不等式处理方面的能力，这是所有高级数学分支的基石。 第一章：函数与图形的深入剖析 理解函数是高等代数的核心。本章将从最基础的定义出发，逐步深入到更复杂的函数类型及其性质。 1. 函数基础回顾与扩展： 集合论基础、定义域、值域的精确确定。重点分析有理函数、无理函数以及分段函数的特性。 2. 函数变换与组合： 深入探讨平移、拉伸、反射等几何变换如何影响函数表达式和图形。复合函数与反函数的构造、判定及其在实际问题中的应用，特别是单射、满射和双射的严格区分。 3. 多项式函数： 恒等定理、余数定理和因子定理的深入应用。高次多项式的求根策略，包括有理根定理和利用图形辅助确定实数根的范围。复数的引入及其在多项式求解中的关键作用。 4. 指数函数与对数函数： 自然对数 $e$ 的定义及其在增长与衰减模型中的重要性。指数和对数方程的求解技巧，尤其关注换底公式和不等式求解中的注意事项。 第二章：方程、不等式与数列的精细处理 本章侧重于代数方程的求解技术以及对数列规律的抽象与应用。 1. 超越方程的求解策略： 二次方程的完备解法（公式法、配方法），并扩展到三次和四次方程的简化方法（尽管通常不要求完全解析解，但理解其结构至关重要）。探讨数值逼近法（如二分法或牛顿法）的基本思想。 2. 不等式的系统解法： 线性、二次及高次代数不等式的求解。关键在于区间划分和符号分析。有理不等式的解法是重点，强调分母不为零的限制条件。绝对值不等式的技巧性处理。 3. 数列与级数： 算术数列和几何数列的通项公式与求和公式的推导与应用。等比数列的无穷和收敛性判定。更进一步，介绍调和数列及斐波那契数列的初步概念，培养对数列模式的敏感性。 4. 数学归纳法： 作为一种强大的证明工具，本节将通过一系列递推关系和不等式证明，展示数学归纳法严谨的逻辑结构和应用范围。 第二部分：三角函数的几何与代数统一 三角函数是连接几何空间与代数运算的桥梁。本部分旨在建立起对圆函数深刻的几何直觉和强大的代数操作能力。 第三章：角度、弧度与基本三角关系 1. 角度度量制： 深入理解角度制与弧度制的相互转换，理解弧度制在微积分和高等数学中更自然的地位。 2. 三角函数的定义与图像： 从单位圆出发，精确定义正弦、余弦、正切、余切、正割和余割函数。分析这些函数在各个象限的符号变化、周期性、奇偶性以及图像的完整绘制与特征分析（振幅、相位差、周期）。 3. 基本恒等式： 勾股定理在三角函数中的体现（平方关系）。倒数关系与商数关系。对这些基本恒等式的灵活应用是后续公式推导的基础。 第四章：三角恒等式与方程的精通 本章是三角学难度的集中体现，要求学习者不仅能记忆公式，更要理解其推导过程。 1. 和角与差角公式： 正弦、余弦的和差公式的推导（理解几何或复数法推导）。基于此推导出双角公式、半角公式。 2. 积化和差与和差化积： 掌握这些转换公式，它们是简化复杂三角表达式和求解特定类型方程的关键工具。 3. 逆三角函数： 反正弦、反余弦、反正切等函数的定义域、值域的限制，以及它们之间的相互关系。计算涉及逆三角函数的复合表达式。 4. 三角方程的求解： 区分代数解法和三角解法。处理带有周期性的方程，确保所有满足条件的解（在给定区间或一般形式下）都被找到。涉及多角公式的复杂方程求解。 第五章：三角形与向量的应用扩展 三角函数在解决实际几何问题中发挥着不可替代的作用。 1. 正弦定理与余弦定理： 详细分析在已知边角关系求解未知元素时的适用条件（SSA, SAS, SSS）。重点关注利用余弦定理解决非直角三角形问题。 2. 平面向量基础： 向量的几何表示、加减法和标量乘法。平面向量的坐标表示及其运算。 3. 点积与投影： 向量的点积（数量积）的代数定义与几何意义（投影）。点积在判断垂直关系和计算夹角中的应用。 4. 极坐标系： 介绍极坐标系的基本概念，以及如何将直角坐标与极坐标相互转换。绘制简单的极坐标方程图形，体会其在描述圆形、螺旋线等图形上的直观性。 结语与学习建议 本书提供了一个跨越高等代数基础到三角函数高级应用的知识框架。学习的深度来源于对“为什么”的探究，而非仅仅对“是什么”的记忆。我们强烈建议学习者在掌握每一个公式或定理后，尝试从最基本的公理或定义出发，推导出其正确性。熟练应用图形工具辅助代数运算，并通过解决大量综合性问题，巩固对这两种数学语言的驾驭能力。 真正的精通，在于能够将抽象的代数表达转化为清晰的几何图像，反之亦然。

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