The Schur Complement and Its Applications (Numerical Methods and Algorithms) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Zhang, Fuzhen 编

出品人:

页数:312

译者:

出版时间:2005-03-04

价格:USD 149.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387242712

丛书系列:

图书标签:

• Schur complement
• Linear algebra
• Matrix analysis
• Numerical analysis
• Algorithms
• Optimization
• Control theory
• Statistics
• Engineering
• Mathematics

数值分析与计算方法导论 本书导读： 本导论旨在为读者提供一套全面而深入的数值分析与计算方法基础，为理解和解决现代科学与工程中遇到的复杂数学问题奠定坚实的基础。我们专注于那些在计算实践中至关重要且应用广泛的理论框架、算法设计与实现技巧。全书结构紧凑，逻辑严谨，力求在理论深度与实际操作性之间取得完美的平衡。 第一部分：误差分析与浮点运算基础 本部分首先引入数值计算的基石——误差理论。我们将详尽探讨各种误差的来源（截断误差、舍入误差）及其传播规律。重点剖析浮点数的表示方式，包括IEEE 754标准，并深入讲解不同精度浮点运算的特性、限制以及它们在实际计算中可能导致的灾难性后果。通过大量的实例，读者将掌握如何量化和控制计算过程中的不确定性。此外，还将讨论条件数和稳定性概念，为后续算法的选择和分析提供理论依据。 第二部分：线性方程组的数值求解 线性代数是科学计算的灵魂，本部分将集中探讨大规模线性方程组 $mathbf{Ax} = mathbf{b}$ 的数值求解策略。 直接法： 详细阐述高斯消元法（Gaussian Elimination）的原理、实现及其复杂性。在此基础上，自然过渡到LU分解、Cholesky分解（针对对称正定矩阵）以及带状矩阵和稀疏矩阵的特殊分解技术。我们将分析这些方法在计算效率和数值稳定性方面的权衡。 迭代法： 针对特大或稀疏系统，迭代法是首选。本章系统介绍雅可比法（Jacobi）、高斯-赛德尔法（Gauss-Seidel）及其优化形式——SOR（Successive Over-Relaxation）。随后，深入探讨更高效的Krylov子空间方法，包括求解对称正定系统的共轭梯度法（CG）和求解一般系统的双共轭梯度法（BiCG）及其变种（如BiCGSTAB）。我们将严格分析这些迭代方法的收敛条件和速率。 第三部分：特征值问题的数值计算 矩阵的特征值和特征向量在动力学分析、数据降维（如PCA）中扮演核心角色。本部分将超越解析方法，聚焦于高效的数值算法。 直接法： 介绍相似变换在保持特征值不变性下的应用，重点讲解 Hessenberg 约简。 迭代法： 深入探讨幂法（Power Iteration）及其在寻找最大特征值中的应用，以及反幂法（Inverse Iteration）用于逼近特定特征值。随后，详细阐述QR算法，包括其基础原理、带移位（Shifts）的加速策略，以及如何将其应用于全矩阵和约简后的矩阵，以实现全局收敛。 第四部分：非线性方程与方程组的求解 当解析方法失效时，数值迭代成为唯一的出路。 单变量非线性方程： 覆盖经典方法，如二分法（Bisection Method）、割线法（Secant Method）和牛顿法（Newton's Method），并对比它们的收敛速度和鲁棒性。 多变量非线性方程组： 将牛顿法推广到高维空间，详细分析牛顿法及其拟牛顿方法（如BFGS、DFP），这些方法通过近似计算雅可比矩阵或其逆来避免昂贵的矩阵求逆，从而显著提高了效率。 第五部分：数值积分（Quadrature） 本章致力于计算定积分 $int_a^b f(x) dx$ 的数值近似值。内容涵盖牛顿-科茨公式（Newton-Cotes formulas，包括复合梯形法则和辛普森法则），以及更精确的数值积分技术——高斯求积（Gaussian Quadrature）。我们将探讨如何通过选择最佳的节点和权重来实现高阶精度，并分析不同方法在处理奇异点和高频振荡函数时的表现。 第六部分：常微分方程（ODEs）的数值解法 常微分方程是描述动态系统的基础。本部分侧重于初值问题的数值求解。 单步法： 详细介绍欧拉方法（Euler's method）的显式与隐式形式，以及更精确的龙格-库塔（Runge-Kutta, RK）方法族，特别是经典的四阶RK方法。 多步法： 介绍阿达姆斯方法（Adams Methods，如Adams-Bashforth和Adams-Moulton）以及隐式多步法。 稳定性与刚性问题： 重点分析数值方法的稳定区域，并引入刚性（Stiffness）的概念。对于刚性系统，我们将讨论隐式方法（如后向欧拉法）的必要性及其在实际求解中的挑战与解决方案。 第七部分：插值与数据拟合 本部分探讨如何通过有限的数据点来构建一个光滑的函数模型。 插值法： 详述拉格朗日插值多项式，并分析其高次插值中出现的Runge现象。随后，重点介绍分段插值，特别是样条插值（Spline Interpolation），强调三次样条（Cubic Splines）在保证二阶连续性下的优越性。 最小二乘法： 介绍线性最小二乘问题的理论基础和数值解法，包括QR分解在解决超定系统中的应用，以及如何利用正规方程或直接的QR分解来获得稳定的最小二乘解。 结论： 本书的特点在于强调算法背后的数学直觉和对计算效率的严格分析。每一章都穿插了丰富的算例和算法的流程描述，旨在培养读者将理论知识转化为高效、可靠的计算代码的能力。通过对误差、稳定性和收敛性的深入探讨，读者将能够批判性地评估和选择适用于特定工程或科学问题的数值方法。本书内容涵盖了现代计算科学的核心工具集，是工程、物理、数学和计算机科学领域研究生及高级本科生的理想教材。

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