Partial Differential Equations and Boundary Value Problems With Mathematica pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:CRC Pr I Llc

作者:Kythe, Prem K./ Puri, Pratap/ Schaferkotter, Michael R.

出品人:

页数:418

译者:

出版时间:

价格:764.00 元

装帧:HRD

isbn号码:9781584883142

丛书系列:

图书标签:

• 偏微分方程
• 边界值问题
• Mathematica
• 数值分析
• 数学建模
• 高等数学
• 应用数学
• 科学计算
• 工程数学
• 数学软件

《偏微分方程与边值问题》简介 聚焦理论基石与经典应用，构建严谨的数学分析框架 本书旨在为读者提供一个全面、深入且富有启发性的偏微分方程（PDE）和边值问题（BVP）的学习体验。我们摒弃对特定软件工具的过度依赖，转而将核心重点置于数学原理的深刻理解、严谨的理论推导以及经典物理问题的数学建模。本书的叙述风格力求清晰、逻辑严密，旨在培养读者独立分析和解决复杂数学问题的能力，为高等数学、理论物理、工程科学以及计算数学领域的研究奠定坚实的理论基础。 第一部分：基础与一阶方程的深入剖析 本书伊始，我们首先确立了偏微分方程的分类、基本概念和解的定义，特别是针对“弱解”和“强解”的讨论，为后续高级理论的引入做好了充分的准备。 第一章：偏微分方程导论与分类 本章详细阐述了二阶线性偏微分方程的基本形式（椭圆型、抛物线型、双曲型），并深入探讨了它们在物理学中的起源，例如瞬态传热、静力学平衡以及波动现象。我们引入了黎曼函数的概念，并讨论了在不同区域定义解的挑战。本章侧重于建立一套统一的符号和术语体系。 第二章：一阶偏微分方程的通解与特征线理论 我们详尽地分析了拟线性和非线性的一阶PDE。拉格朗日-查普林法（Method of Characteristics）被系统地推导和应用，用以求解柯西问题。对于拟线性方程，我们严格证明了特征线的存在性和唯一性，并展示了如何利用特征线来分析解的奇性传播。对于非线性方程（如霍奇金斯-汉密尔顿方程），本章探讨了黎曼不适定性（Riemann Inadmissibility），从而自然地引出我们需要发展更强大的工具——分布理论——来处理不连续解（如激波）的必要性。 第二部分：经典方程的经典解法与理论 本书的第二部分是全书的核心，专注于三大经典偏微分方程——拉普拉斯方程、热传导方程和波动方程——的理论分析。 第三章：椭圆型方程——拉普拉斯方程与泊松方程 本章以拉普拉斯方程 ($ abla^2 u = 0$) 为核心，系统介绍了解决这类稳态问题的基本方法。 1. 分离变量法（Separation of Variables）：在矩形、圆柱和球坐标系下，对齐次和非齐次方程进行求解，重点在于施图姆-刘维尔特征值问题的理论，并引入傅里叶级数的完备性。 2. 格林函数法（Green's Function Method）：这是求解非齐次边值问题的强大工具。我们严格推导了各种基本解（点源解），并阐述了互易性原理。 3. 最大值原理（Maximum Principle）：对强解和弱解，我们证明了强最大值原理和弱最大值原理，这对于建立解的先验估计至关重要，也是证明解唯一性的关键。 4. 调和函数的性质：深入探讨了平均值性质、拓扑性质（如解析性）以及势论的基础概念。 第四章：抛物线型方程——热传导方程 本章侧重于描述随时间演化的物理过程，如热传导。 1. 初值问题与初边值问题：系统地应用傅里叶变换（适用于无限域）和分离变量法（适用于有限域）求解热方程。 2. 解的平滑性与奇性“抹平”效应：分析抛物线型方程的半群性质，证明了即使初始条件不连续，解也会在$t>0$时立即变得光滑。 3. 时间方向的单边估计：类似于最大值原理，但应用于时间维度，确保了解在时间上的稳定性。 第五章：双曲型方程——波动方程 本章致力于描述波的传播现象，特别是涉及守恒律的系统。 1. 达朗贝尔公式（d'Alembert's Formula）：对无限长弦上的无阻尼振动问题，精确推导了该公式，并分析了其因果性（Causality）。 2. 特征锥与依赖域：严格定义了特征线在二阶双曲方程中的作用，阐明了解在某一点的取值仅依赖于其依赖域内的初始和边界数据。 3. 亥姆霍兹方程与混合边界条件：探讨了稳态波问题，以及在不同边界上混合了狄利克雷和诺依曼条件的求解技术。 第三部分：泛函分析方法与分布理论的引入 为了应对不光滑的边界条件和非经典解的需求，本书的最后一部分转向现代分析的工具。 第六章：弱解的概念与泛函分析基础 本章引入了严格的数学分析框架，为理解更一般化的解奠定基础。 1. Sobolev空间简介：定义$L^p$空间、Sobolev空间$W^{k,p}$和$H^k$空间。重点讨论了嵌入定理（如索博列夫嵌入定理），它允许我们在更高阶的导数意义下谈论函数。 2. 变分原理与能量方法：对于椭圆型方程，我们从最小势能泛函的角度出发，推导出弱形式（或变分形式）。 3. 测试函数方法：使用适当的“测试函数”来定义方程的弱解，这使得我们可以处理初始条件或边界条件不满足光滑性要求的场景。 第七章：傅里叶变换与（Schwartz）分布理论的初步应用 本章提供了处理奇点和不连续性的必备工具。 1. 分布（Generalized Functions）的定义：从连续线性泛函的角度正式定义了测试函数空间 $mathcal{D}$ 和分布空间 $mathcal{S}'$。 2. 基本函数的导数：计算并展示了狄拉克 $delta$ 函数、海维赛德阶跃函数的分布意义下的导数。 3. 利用分布求解：展示如何使用傅里叶变换将复杂的PDE（如泊松方程）转化为代数方程，从而在分布意义下求解，特别是解决点源问题。 总结 本书的内容组织遵循从具体到抽象、从经典到现代的逻辑路径。它要求读者具备扎实的实分析和常微分方程基础。通过对分离变量法、格林函数法以及特征线理论的细致推导，读者将能熟练掌握求解经典PDE的传统技术。最后，对Sobolev空间和分布理论的介绍，则为读者迈向现代PDE研究，特别是非线性问题和自由边界问题的研究，铺设了坚实的阶梯。本书旨在培养一种严谨的数学思维，而非仅仅停留在计算的表层。

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