Groups St Andrews 2005 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Cambridge Univ Pr

作者:Campbell, C. M. (EDT)/ Quick, M. R. (EDT)/ Robertson, E. F. (EDT)/ Smith, G. C. (EDT)

出品人:

页数:350

译者:

出版时间:2007-1

价格:$ 134.47

装帧:Pap

isbn号码:9780521694704

丛书系列:

图书标签:

• 群论
• 圣安德鲁斯
• 2005
• 代数
• 数学
• 学术会议
• 研究
• 抽象代数
• 拓扑群
• 李群
• 有限群

经典数学思想的交汇与前沿探索 书籍名称： Groups, Rings and Fields: An Algebraic Introduction 作者： [此处可填入两位或三位资深代数领域学者的名字，例如：A. J. MacIntosh, P. R. Davies, and S. K. Sharma] 出版年份： [例如：2010] 页数： 680页 --- 内容概述：代数结构世界的深度剖析与应用导引 《Groups, Rings, and Fields: An Algebraic Introduction》是一部面向高等本科生及研究生初学者的权威性教材，旨在提供对抽象代数核心概念——群（Groups）、环（Rings）和域（Fields）——的深入、严谨且富于洞察力的阐述。本书的编写遵循从具体实例到抽象定义，再到结构理论和高级应用的清晰逻辑线索，力求在代数理论的严密性与教学的直观性之间取得完美平衡。 本书的结构设计极具匠心，共分为四个主要部分，涵盖了当代代数研究中的关键领域，并辅以大量的例题、习题及具有启发性的历史注释。 --- 第一部分：群论的基石与结构分析 (Foundations of Group Theory) 本部分奠定了群论的基础，是理解后续所有代数结构的关键。 第一章：代数结构与二元运算 开篇回顾了基本的集合论概念，随后引入二元运算的严格定义，并详细讨论了幺半群（Semigroups）、独异点（Monoids）以及群的公理化定义。作者强调了平凡群、交换群（Abelian Groups）的初步性质。 第二章：子群、陪集与拉格朗日定理 本章深入探讨了子群的性质，特别是正规子群（Normal Subgroups）的重要性。陪集（Cosets）的构造被详细解析，并以此为工具推导出了群论中最基本、最核心的定理之一——拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）。对定理的证明采用了多种视角，并探讨了其在有限群分类中的初步应用。 第三章：群同态与群的构造 同构（Isomorphism）的概念被引入，用以区分在结构上等价的群。本章重点讲解了群同态（Group Homomorphisms）的性质，特别是核（Kernel）和像（Image）作为子群和正规子群的内在联系。康托尔的同构定理（Isomorphism Theorems）得到了详尽的论证，被视为连接不同群结构的关键桥梁。 第四章：群的作用与应用 本章将抽象的群概念与具体的集合操作联系起来。群在集合上的作用（Group Actions）的概念被系统介绍，包括轨道（Orbits）和稳定子（Stabilizers）的分析。基于此，作者给出了重要的应用：柯西定理（Cauchy's Theorem）和Sylow 定理的完整推导。Sylow 定理的多个版本及其在判断有限群结构方面的强大效用被充分展示。 第五章：特殊类型的群 对几种重要且常见的群进行了专门的讨论。这包括：有限生成阿贝尔群（Finitely Generated Abelian Groups）的分类定理（Structure Theorem），该定理以其简洁优美的形式被誉为代数中的“主定理”之一。此外，还讨论了置换群（Permutation Groups）的结构，包括循环群、二面体群（Dihedral Groups）以及对称群 $S_n$ 的交错群 $A_n$ 的性质。 --- 第二部分：环论的扩展与深化 (The Realm of Rings) 本书的第二部分将代数结构从单操作（群）扩展到双操作（环），这是代数结构从几何到解析学过渡的重要一步。 第六章：环的基本概念与子环 本章从二元运算的环定义出发，介绍了交换环（Commutative Rings）、单位环（Rings with Unity）以及单位的性质。子环、理想（Ideals）的概念被提出，并强调了理想在环同态中扮演的角色，类似于正规子群在群论中的地位。 第七章：环同态与商环 与群论类似，环同态被定义，并推导出相应的同构定理。商环（Quotient Rings）的构造清晰地展示了如何通过模一个理想来“简化”环的结构。 第八章：特殊的环结构：积分域与域 本章专注于具有更强性质的环。积分域（Integral Domains）的定义及其零因子（Zero Divisors）的排除被详细讨论。在此基础上，域（Fields）被定义为允许除法的积分域。作者随后探索了域的特征（Characteristic）以及素域（Prime Fields）的概念。 第九章：多项式环与唯一分解 多项式环 $R[x]$ 是本章的核心。对于域上的多项式环，作者详细阐述了欧几里得域（Euclidean Domains）、主理想域（Principal Ideal Domains, PIDs）和唯一分解整环（Unique Factorization Domains, UFDs）之间的层级关系。带余除法（Division Algorithm）在多项式环中的应用被详尽分析，并证明了多项式环 $F[x]$（其中 $F$ 为域）是 PID，进而也是 UFD。 --- 第三部分：域的扩张与伽罗瓦理论的引入 (Field Extensions and Galois Theory Preliminaries) 本书的第三部分是本书的亮点，它将代数工具应用于经典问题，如多项式的可解性。 第十章：域扩张的基础 域扩张 $E/F$ 的概念被引入。次序（Degree）和代数性（Algebraic/Transcendental Elements）是本章的重点。代数扩张的性质，特别是有限扩张的链式法则，被深入剖析。 第十一章：代数元与最小多项式 最小多项式（Minimal Polynomial）的唯一性和不可约性（Irreducibility）是关键。作者介绍了如何利用最小多项式构造新的域，如 $mathbb{Q}(sqrt{2})$ 这样的简单扩张。 第十二章：伽罗瓦理论的初步概念 本章是导论性的，聚焦于伽罗瓦群（Galois Group）的定义，即域扩张的自同构群。介绍了伽罗瓦扩张（Galois Extensions）的特征。虽然本书并未深入到完整的伽罗瓦对应，但它为读者理解有限域的结构以及五次及以上方程不可解性的根源打下了坚实的基础。 --- 第四部分：模论导论（Introduction to Modules） 作为对群论和环论的自然延伸，本部分提供了对模（Modules）的初步介绍，这是更抽象和普适的结构。 第十三章：模与自由模 模被定义为在环上作用的阿贝尔群。子模、商模以及模同态的概念被提出。重点讨论了自由模（Free Modules）和秩（Rank）的概念，为后续学习线性代数中向量空间的推广奠定了代数基础。 总结与特色： 本书的显著特点在于其对现代代数应用领域的广度覆盖和深度挖掘。书中穿插了对有限域（Finite Fields）结构及其在编码理论中潜在应用的简要讨论，以及对希尔伯特环（Hilbert Rings）等概念的提及，旨在激发学生对更深入研究的兴趣。习题设计难度适中，多数具有建设性，旨在检验对概念的理解而非单纯的计算能力。本书是构建扎实抽象代数知识体系的理想选择。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆