Advanced Courses of Mathematical Analysis pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Velasco, M. V. (EDT)/ Rodriguez-Palacios, A. (EDT)

出品人:

页数:213

译者:

出版时间:

价格:1284.00元

装帧:HRD

isbn号码:9789812566522

丛书系列:

图书标签:

• 数学分析
• 微积分
• 实分析
• 高等数学
• 数学
• 分析学
• 数学教材
• 学术研究
• 数学建模
• 函数分析

《高等数学分析进阶》图书简介 献给渴望深入理解数学核心的探索者 本书旨在为那些已经掌握了标准微积分和初步数学分析基础的读者，提供一个通往更深层次、更严谨的分析学世界的坚实桥梁。我们聚焦于那些在经典教材中仅作简要提及，但在现代数学、理论物理乃至工程应用中扮演关键角色的核心概念和技术。这不是一本简单的习题集，也不是对基础概念的重复梳理，而是一次对分析学原理进行系统性重构与拓展的智力探险。 第一部分：拓扑基础与度量空间中的收敛性（Foundations in Topology and Convergence in Metric Spaces） 现代分析学的根基在于严谨的拓扑语言。本部分将从集合论的视角出发，迅速而有力地建立起度量空间的完备框架。我们首先回顾并深化对开集、闭集、紧致性（Compactness）和完备性（Completeness）的理解。重点将放在Baire纲定理（Baire Category Theorem）的深刻应用上，揭示完备度量空间在函数空间中扮演的核心角色。 随后，我们将进入函数空间的研究。对于赋范向量空间（Normed Vector Spaces），特别是巴拿赫空间（Banach Spaces），我们将详细探讨开闭映射定理、闭图像定理以及均匀有界性原理（Banach-Steinhaus Theorem）的证明及其在处理线性算子连续性问题上的威力。这些工具是泛函分析的基石，对于理解无限维空间中的线性问题至关重要。此外，我们还将引入等度连续性（Equicontinuity）的概念，并利用Arzelà-Ascoli定理来刻画函数族紧致性的充分必要条件，这对于求解微分方程的解的存在性至关重要。 第二部分：勒贝格积分的构建与测度论（Construction of the Lebesgue Integral and Measure Theory） 放弃黎曼积分的局限性，拥抱更强大的勒贝格积分是分析学成熟的标志。本部分将系统地、从头开始构建测度论。我们首先定义外测度（Outer Measure），然后引入Carathéodory可测集构造，精确界定σ-代数。我们将详细探讨勒贝格测度（Lebesgue Measure）的性质，特别是其平移不变性和可加性。 在测度论的基础上，本书将发展可测函数的概念，并随后严格定义勒贝格积分。与黎曼积分的逐点逼近不同，勒贝格积分的强大之处在于其对收敛性的优雅处理。我们将深入证明单调收敛定理（Monotone Convergence Theorem）和法图引理（Fatou's Lemma），并最终推导出分析学中最重要的收敛定理之一——勒贝格控制收敛定理（Lebesgue Dominated Convergence Theorem）。这些定理不仅是计算积分的利器，更是概率论和偏微分方程理论中不可或缺的工具。 第三部分：Lp空间与函数分析的初步接触（Lp Spaces and Introductory Functional Analysis） 结合第二部分的测度论成果，本部分专注于研究$L^p$ 空间，即勒贝格可积函数的函数空间。我们将证明闵可夫斯基不等式（Minkowski Inequality），确立这些空间作为巴拿赫空间的地位。特别地，我们将深入分析$L^1$和$L^2$空间的特性，后者作为希尔伯特空间（Hilbert Space）的典型代表，在傅里叶分析中具有核心地位。 在希尔伯特空间中，我们将探索正交性的力量。通过引入内积，我们可以讨论正交投影定理，并阐述如何利用Riesz-Fischer定理来完整化 $L^2$ 空间。此外，我们还会简要介绍傅里叶级数和傅里叶变换在$L^2$空间上的收敛性与等距性，这为理解信号处理和量子力学中的算子理论奠定了坚实的基础。 第四部分：傅里叶分析的严谨性与变分法简介（Rigors of Fourier Analysis and Introduction to Calculus of Variations） 本章将从分析的角度重新审视傅里叶分析，重点关注$L^p$ 空间上的卷积（Convolution）及其在积分方程中的作用。我们将探讨狄拉克函数在测度论和分布理论中的“非严格”角色，并引入三角积分（Trigonometric Integrals）的绝对收敛性与局部收敛性的区别。 最后，我们转向分析学的应用前沿——变分法。我们将从欧拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange Equation）的推导出发，介绍泛函的概念。重点在于利用泛函导数（Functional Derivative）的概念，并讨论极小曲面问题（Minimal Surface Problem）的变分原理，这使得读者得以窥见经典分析如何无缝衔接到现代微分几何和物理学的建模之中。 本书特色： 深度与广度兼备： 避免浅尝辄止，对关键定理的证明力求细致入微，同时兼顾到后续研究方向的引导。 强调内在联系： 清晰地展示拓扑、测度、积分与函数空间之间的相互依赖和递进关系。 面向研究： 提供的材料是研究生课程和研究人员进行更高级学习（如微分几何、泛函分析、概率论）所必需的知识储备。 本书适合数学、物理、理论工程等领域的本科高年级学生、研究生，以及需要巩固和深化分析基础的专业人士。阅读本书需要对实分析的基本概念（如极限、连续性、导数、黎曼积分）有扎实的掌握。

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